球的切、接问题讲义-2025届高三数学一轮复习

第一节第2课时 　球的切、接问题 1.常规解法：球的直径或半径的求法 （1）正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径 （2）若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有. （3）确定球心是关键：球心在过底面外心且垂直于底面的直线上. 2.几个与球有关的切、接常用结论 （1）设正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a 　　聚焦考点 课堂演练 　考点1 几何体的外接球 性 考向1　柱体的外接球 【例1】　已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积为　　　　. 方法技巧 1.求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径. 2.求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可. 考向2　锥体的外接球 【例2】　（1）已知三棱锥P-ABC，其中PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为（　　） A.12π　 B.16π C.20π　 D.24π （2）已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥PO1的侧面积为　　　　. 方法技巧 1.求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂线的交点即为球心. 2.求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，再将直外接圆柱作出，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可. 3.求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径即可. 考向3　可补成规则几何体的外接球 【例3】（1）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为　　　　； （2）在三棱锥P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，设BC＝1，PB＝CD＝2，则该三棱锥的外接球的体积为　　　　. 方法技巧 1.若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图①所示. 2.若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图②所示. 3.正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝，如图③所示. 4.若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图④所示. 跟踪训练 1.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（　　） A.2π　　　　　　 B.4π C.16π　 D. 2.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.100π　 B.128π C.144π　 D.192π 3.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝　　　　. 　 考点2 几何体的内切球 性 【例4】（1）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P-ABC有一个内切球O，则球O的体积为（　　） A.　 B. C.　 D.9π （2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　　　　. 方法技巧 空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径. 跟踪训练 1.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是（　　） A.12　 B.2 C.6　 D.48 2.六氟化硫，化学式为SF6，在常温常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫的分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（　　） A.　 B. C.　 D. 第2课时　球的切、接问题 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.正方体的外接球与内切球的表面积之比为（　　） A.　 B.3 C.3　 D. 2.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（　　） A.　 B.2 C.3　 D. 3.已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为2，则半球的表面积为（　　） A.10π　 B.12π C.15π　 D.18π 4.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说法正确的是（　　） A.体积之比为　 B.体积之比为 C.表面积之比为　 D.表面积之比为2 5.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A'，则三棱锥A'-DEF的外接球体积为（　　） A.8π　 B.6π C.4π　 D.2π 6.（多选）已知球O的半径为，则下列结论正确的是（　　） A.球O的表面积为6π B.球O的内接正方体的棱长为1 C.球O的外切正方体的棱长为 D.球O的内接正四面体的棱长为2 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为　 　. 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　 　个公共点. 9.已知某圆台的上、下底面圆的面积分别为9π，16π，轴截面面积为49，若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为　 　. 10.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，则该三棱锥的内切球的体积为　 　. 基础达标 B 11.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（　　） A.3π　 B.4π C.9π　 D.12π 12.四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为　 　. 13.如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中有两个球，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为　 　. 14.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1，且存在一个半径为r的球，与该正四棱台的各个面均相切.设该正四棱台的外接球半径为R，求的值. 15.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，底面周长为8，PD＝3，且PD是四棱锥的高，设AB＝x. （1）当x＝3时，求三棱锥A-PBC的体积； （2）求四棱锥外接球的表面积的最小值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一节第2课时 球的切、接问题 1.常规解法：球的直径或半径的求法 （1）正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径 （2）若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有. （3）确定球心是关键：球心在过底面外心且垂直于底面的直线上. 2.几个与球有关的切、接常用结论 （1）设正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a 　　聚焦考点 课堂演练 　考点1 几何体的外接球 性 考向1　柱体的外接球 【例1】　已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积为　8π　. 解析：设直三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC外接圆的半径为r，直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半径为R，如图，所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点.在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，所以由余弦定理得cos 120°＝＝－，所以BC＝，所以由正弦定理得2r＝＝2，所以r＝1.在Rt△OMC中，OC＝R，OM＝AA1＝1，MC＝r＝1，所以R2＝12＋12＝2，所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为4πR2＝8π. 方法技巧 1.求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径. 2.求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可. 考向2　锥体的外接球 【例2】　（1）已知三棱锥P-ABC，其中PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为（　C　） A.12π　　 B.16π　　　C.20π　　 D.24π （2）已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥PO1的侧面积为　3π　. 解析：（1）∵PA⊥平面ABC，∴把三棱锥P-ABC补成直三棱柱PB'C'-ABC，如图所示，设E，F分别为上、下底面三角形的外心，则EF的中点O为直三棱柱PB'C'-ABC的球心，在△ABC中，由余弦定理知BC＝2，∵2FA＝＝＝4，∴FA＝2，∵PA＝2，∴OF＝PA＝1，设该三棱锥外接球半径为R，∴R＝OA＝＝，∴表面积S＝4πR2＝20π. （2）设O1B＝r，球O的半径为R，则PB＝3r，PO1＝2r.由球O的表面积为4πR2＝，得R2＝.在Rt△OO1B中，R2＝（PO1－R）2＋r2，即R2＝（2r－R）2＋r2，解得r＝1，故圆锥PO1的侧面积为πr·PB＝3r2π＝3π. 方法技巧 1.求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂线的交点即为球心. 2.求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，再将直外接圆柱作出，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可. 3.求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径即可. 考向3　可补成规则几何体的外接球 【例3】（1）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为　16π　； （2）在三棱锥P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，设BC＝1，PB＝CD＝2，则该三棱锥的外接球的体积为　π　. 解析：（1）四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高的长方体的外接球，所以球O的半径R＝＝2，所以球O的表面积S＝4πR2＝16π. （2）如图，将三棱锥P-BCD放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，则三棱锥P-BCD的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球的直径PD＝＝＝3，所以该球的体积为π×（）3＝π. 方法技巧 1.若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图①所示. 2.若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图②所示. 3.正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝，如图③所示. 4.若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图④所示. 跟踪训练 1.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（　　） A.2π　 B.4π　　 C.16π　 D. 解析：B　依题意，作球的轴截面如图所示，其中O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知πR3＝36π，解得R＝3，由于圆柱的高为2，则OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝＝2，母线EC＝＝2，故圆锥的侧面积为S＝π·DC·EC＝π×2×2＝4π. 2.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.100π　 B.128π　　C.144π　 D.192π 解析：A　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 3.知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝　2　. 解析：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝××3＝.将三棱锥S-ABC补形为正三棱柱SB1C1-ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝SA.又球的半径R＝OA＝2，OA2＝O＋O1A2，所以4＝SA2＋3，得SA＝2. 　考点2 几何体的内切球 性 【例4】（1）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P-ABC有一个内切球O，则球O的体积为（　C　） A.　 B.　　 C.　 D.9π （2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　π　. 解析：（1）设球O的半径为r，则三棱锥P-ABC的体积V＝××3×4×4＝×（×3×4＋×4×3＋×5×4＋×4×5）×r，解得r＝，所以球O的体积V＝πr3＝，故选C. （2）圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得r＝，故内切球的体积为π（）3＝π. 方法技巧 　　空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径. 跟踪训练 1.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是（　　） A.12　 B.2 C.6　 D.48 解析：C　设球的半径为R，由R3＝，得R＝1.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2，正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为a，则a×sin×＝1，所以a＝2，所以这个正三棱柱的体积V＝×（2）2×2＝6.故选C. 2.六氟化硫，化学式为SF6，在常温常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫的分子结构为正八面体结 构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 解析：C　设正八面体内切球半径为R，给正八面体标出字母如图所示，连接AC，BD交于点O，连接EO，因为EA＝EC，ED＝EB，所以EO⊥AC，EO⊥BD，又AC和BD交于点O，所以EO⊥平面ABCD，所以O为正八面体的中心，所以O到八个面的距离相等，且距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC切于点H，所以OH⊥平面EBC，所以OH即为正八面体内切球的半径，所以R＝OH，因为正八面体的棱长为2，所以EB＝EC＝BC＝2，OB＝OC＝，EO＝＝，所以S△EBC＝，S△OBC＝1，因为VE-OBC＝VO-EBC，即×S△OBC×EO＝×S△EBC×OH，所以OH＝，即R＝，所以正八面体内切球的表面积为4πR2＝. 第2课时　球的切、接问题 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.正方体的外接球与内切球的表面积之比为（　　） A.　 B.3 C.3　 D. 解析：C　设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R＝，所以R＝，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r＝1，即r＝，所以＝，正方体的外接球与内切球的表面积之比为＝＝3. 2.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（　　） A.　 B.2 C.3　 D. 解析：C　设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5，设四棱柱的高为h，则（）2＋（）2＝R2，解得h＝3. 3.已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为2，则半球的表面积为（　　） A.10π　 B.12π C.15π　 D.18π 解析：D　因为正方体的一个面在半球的底面圆内，所以过正方体体对角线的轴截面如图所示，又正方体的棱长为2，所以FG＝2，EF＝2，则OF＝（O为半球的球心），OG＝＝，即半球的半径为，所以半球的表面积为×4π×（）2＋π×（）2＝18π，故选D. 4.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说法正确的是（　　） A.体积之比为　 B.体积之比为 C.表面积之比为　 D.表面积之比为2 解析：A　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝πR3，∴＝＝；S圆柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2，∴＝＝，故选A. 5.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A'，则三棱锥A'-DEF的外接球体积为（　　） A.8π　 B.6π C.4π　 D.2π 解析：A　依题意，A'D⊥A'E，A'E⊥A'F，A'D⊥A'F，且A'D＝4，A'E＝A'F＝2，于是四面体A'-DEF可以补形成以A'D，A'E，A'F为相邻三条棱的长方体，该长方体的外接球与四面体A'-DEF的外接球相同，设四面体A'-DEF的外接球的半径R，则2R为长方体的体对角线长，即2R＝＝2，所以四面体A'-DEF的外接球体积为π×（）3＝8π.故选A. 6.（多选）已知球O的半径为，则下列结论正确的是（　　） A.球O的表面积为6π B.球O的内接正方体的棱长为1 C.球O的外切正方体的棱长为 D.球O的内接正四面体的棱长为2 解析：AD　球的表面积为4π×（）2＝4π×＝6π，A正确；正方体的体对角线长为2×＝，棱长为＝，B错误；球的外切正方体的棱长为2×＝，C错误；将正四面体A-B1CD1补形为正方体如图所示，正方体的体对角线长为2×＝，棱长为＝，所以正四面体的棱长为×＝2，D正确.故选A、D. 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为　π　. 解析：如图，连接OA，OM，由题意得∠CAO＝∠BAO＝30°，AC＝BCtan 30°＝×＝1，OC＝ACtan 30°＝1×＝，所以题图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为π·AC2·BC－π·OC3＝π·12×－π·（）3＝π. 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　12　个公共点. 解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点. 9.已知某圆台的上、下底面圆的面积分别为9π，16π，轴截面面积为49，若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为　100 π　. 解析：设圆台的上、下底面圆半径分别为r1，r2，则有π＝9π，π＝16π，解得r1＝3，r2＝4，设圆台的高为h，由圆台的轴截面面积为49可知×h＝49，解得h＝7，设圆台的上、下底面圆圆心分别为O1，O2，OO1＝x，球O的半径为R，当圆台的两个底面在球心O异侧时，如图①所示，OO2＝7－x，则R2＝x2＋32＝（7－x）2＋42，解得x＝4，R＝5；当圆台的两个底面在球心O同侧时，如图②所示，OO2＝x－7，R2＝x2＋32＝（x－7）2＋42，解得x＝4，OO2＝－3（舍），故球O的表面积为S＝4πR2＝100π. 10.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，则该三棱锥的内切球的体积为　　. 解析：因为AC＝4，BC＝3，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC为直角三角形.因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，所以PC＝＝5.因为BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC.所以三棱锥P-ABC的表面积S＝×4×3＋×4×3＋×5×3＋×5×3＝27，且三棱锥P-ABC的体积VP-ABC＝××4×3×3＝6.设三棱锥P-ABC的内切球的半径为R，则由VP-ABC＝SR＝9R＝6，解得R＝，所以三棱锥P-ABC的内切球的体积V＝R3＝×（）3＝. 基础达标 B 11.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（　　） A.3π　 B.4π C.9π　 D.12π 解析：B　如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，设球的半径为R，则＝，可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因为CD⊥AB，AB为球的直径，所以△ACD∽△CBD，所以＝，所以CD＝＝，因此，这两个圆锥的体积之和为π×CD2·（AD＋BD）＝π×3×4＝4π. 12.四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为　16π　. 解析：如图，连接AC，BD，AC∩BD＝G，取AD的中点E，连接PE.∵四边形ABCD为矩形，∴G为四边形ABCD的外接圆圆心.在线段PE上取ME＝PE，∵△PAD为等边三角形，∴M为△PAD外接圆圆心，过G，M分别作平面ABCD和平面PAD的垂线，则两垂线的交点即为球O的球心O，连接OP，∵△PAD为等边三角形，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE∥OG.同理可得，OM∥EG，∴四边形OMEG为矩形，∴OM＝EG＝AB＝1，PM＝PE＝×＝，∴OP＝＝2，即球O的半径R＝2，∴球O的表面积S＝4πR2＝16π. 13.如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中有两个球，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为　5－　. 解析：由题意可知大球的半径R＝2，设小球的半径为r（0＜r＜2），大球的球心为O，小球的球心为C，E为小球与上底面的切点，如图所示，连接CO，CE，过点O作OD⊥CE交EC的延长线于点D，由题意可知，OD＝2－r，CD＝4－r，CO＝2＋r，由CO2＝CD2＋OD2，得（2＋r）2＝（4－r）2＋（2－r）2，即r2－10r＋10＝0，r∈（0，2），解得r＝5－. 14.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1，且存在一个半径为r的球，与该正四棱台的各个面均相切.设该正四棱台的外接球半径为R，求的值. 解：如图①，作出该正四棱台与其内切球的轴截面，由题意，设HM＝a，则KF＝2a，而HG＝KG＝QG＝r，易得MQ＝HM＝a，FQ＝FK＝2a，则MF＝3a， 在Rt△GQM中，MG2＝a2＋r2，在Rt△GKF中，FG2＝4a2＋r2，易得∠MGF＝90°，所以MG2＋FG2＝MF2，即a2＋r2＋4a2＋r2＝9a2，解得r＝a，则HK＝2a. 如图②，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接AC，BD交于点O2，连接O1O2，可知A1O1＝a，O1O2＝HK＝2a，AO2＝2a， 设O为该正四棱台的外接球的球心，连接A1O，AO，则＋＝O1O2，即＋＝2a，解得R＝.所以＝＝. 15.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，底面周长为8，PD＝3，且PD是四棱锥的高，设AB＝x. （1）当x＝3时，求三棱锥A-PBC的体积； （2）求四棱锥外接球的表面积的最小值. 解：（1）当x＝3时，AB＝3，BC＝1， 则S△ABC＝×AB×BC＝， ∴V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC＝×PD×S△ABC＝. （2）将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-A1B1C1P，如图所示， 则四棱锥P-ABCD的外接球和长方体ABCD-A1B1C1P的外接球相同. ∵AB＝x，∴BC＝4－x，则四棱锥P-ABCD外接球的半径R＝＝， 易知当x＝2时，R取得最小值，此时四棱锥外接球的表面积的最小值为4π×（）2＝17 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$