7.3直线、平面平行的判定与性质讲义-2025届高三数学一轮复习

第三节　直线、平面平行的判定与性质 课程目标 1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的关系，归纳出有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明. 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 基础知识 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面　　一条直线与此平面　　的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行”） ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面　　，那么该直线与交线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”） ⇒a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条　　　　与另一个平面平行，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”） ⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面　　，那么　　　　平行 ⇒a∥b 基础自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一条直线和一个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（　　） （2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.（　　） （3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（　　） （4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（　　） 2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　） A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交 3.已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为　　　　. 5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为　　　　. 常用结论 1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. 3.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 4.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 结论运用 1.（多选）下列命题中，正确的是（　　） A.平行于同一直线的两个平面互相平行 B.平行于同一平面的两个平面互相平行 C.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 D.夹在两个平行平面间的平行线段长度相等 2.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 直线与平面平行的判定与性质 性 考向1　直线与平面平行的判定与证明 【例1】　如图，四边形ABCD为矩形，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE. 方法技巧 线面平行的证明方法 考向2　直线与平面平行的性质 【例2】　如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，E为PB的中点，F是PC上的点，且EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点. 方法技巧 线面平行性质的应用 　　证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行. 提醒　应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤. 跟踪训练 如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明： （1）DF∥平面PBE； （2）DF∥l. 考点2 平面与平面平行的判定及性质 【例3】　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH（GH与B1C1不重合）. （1）求证：BC∥GH；（2）若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 变式 在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值. 方法技巧 1.证明面面平行的常用方法 （1）利用面面平行的判定定理； （2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）； （3）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）. 2.面面平行条件的应用 （1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行； （2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线. 跟踪训练 如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： （1）BE∥平面DMF； （2）平面BDE∥平面MNG. 考点3 平行关系的综合应用 【例4】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝. （1）求证：PQ∥平面A1D1DA； （2）若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明. 方法技巧 三种平行关系的转化 性质定理 跟踪训练 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. （1）求证：AB∥平面EFGH； （2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH的周长l的取值范围. 第三节 直线、平面平行的判定与性质 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α与β平行的是（　　） A.l∥α，l∥β B.α内不共线的三点到β的距离相等 C.l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥β D.l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β 2.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则直线AC和平面DEF的位置关系是（　　） A.平行　 B.相交 C.在平面内　 D.不能确定 3.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（　　） A.2∶3　　　　　　 B.2∶5 C.4∶9　 D.4∶25 4.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且　　，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有（　　） A.①②　 B.②③ C.①③　 D.①②③ 5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝（　　） A.　 B. C.　 D. 6.（多选）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，则（　　） A.BD∥平面EGHF B.FH∥平面ABC C.AC∥平面EGHF D.直线GE，HF，AC交于一点 7.在三棱柱ABC-A'B'C'中，截面A'B'C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A'B'的位置关系为　 　. 8.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为　 　. 9.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件　 　时，就有MN∥平面B1BDD1（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）. 10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1的中点.证明：平面AEC1∥平面BDF. 综合应用 B 巩固 11.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（　　） A.1条　　　　　 B.2条 C.3条　 D.无数条 12.（多选）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（　　） A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值 C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D.当容器倾斜如图③所示时，AE·AH为定值 13.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点. （1）证明：PB∥平面AEC； （2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论. 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为　　. 15.如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD. （1）求证：EF∥平面β； （2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三节　直线、平面平行的判定与性质 课程目标 1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的关系，归纳出有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明. 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 基础知识 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面　外　一条直线与此平面　内　的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行”） ⇒a∥α 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面　相交　，那么该直线与交线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”） ⇒a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一个平面内的两条　相交直线　与另一个平面平行，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”） ⇒α∥β 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面　相交　，那么　两条交线　平行 ⇒a∥b 基础自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一条直线和一个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（　×　） （2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.（　×　） （3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（　×　） （4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（　√　） 2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　） A.一条直线不相交　 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交　 D.任意一条直线都不相交 解析：D　因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，因此直线a和平面α内的任意一条直线都不相交. 3.已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为　平行　. 解析：连接BD，则AC∩BD＝O，连接OE（图略），则OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE. 5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为　平行四边形　. 解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形. 常用结论 1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. 3.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 4.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 结论运用 1.（多选）下列命题中，正确的是（　　） A.平行于同一直线的两个平面互相平行 B.平行于同一平面的两个平面互相平行 C.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 D.夹在两个平行平面间的平行线段长度相等 解析：BCD　对于A：平行于同一直线的两平面可能平行，也可能相交，A不正确；由结论4可知B正确；由结论1可知C正确，由结论2可知D正确，故选B、C、D. 2.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝　　. 解析：由结论3知＝，∴AB＝＝＝. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 直线与平面平行的判定与性质 性 考向1　直线与平面平行的判定与证明 【例1】　如图，四边形ABCD为矩形，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE. 证明：法一　如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接NC，NF，因为AF∥DN，且AF＝DN， 所以四边形ADNF为平行四边形， 所以AD∥FN，且AD＝FN， 又四边形ABCD为矩形， 所以AD∥BC且AD＝BC， 所以FN∥BC且FN＝BC， 所以四边形BCNF为平行四边形， 所以BF∥NC， 因为BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE， 所以BF∥平面CDE. 法二　因为四边形ABCD为矩形， 所以AB∥CD， 因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE， 所以AB∥平面CDE. 又AF∥ED，AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE， 所以AF∥平面CDE. 因为AF∩AB＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF， 所以平面ABF∥平面CDE， 又BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE. 方法技巧 线面平行的证明方法 考向2　直线与平面平行的性质 【例2】　如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，E为PB的中点，F是PC上的点，且EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点. 证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 因为P∈平面PBC，P∈平面PAD， 所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM， 又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM. 因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，所以EF∥PM，从而得EF∥BC. 因为E为PB的中点，所以F为PC的中点. 方法技巧 线面平行性质的应用 　　证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行. 提醒　应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤. 跟踪训练 如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明： （1）DF∥平面PBE； （2）DF∥l. 证明：（1）取PB的中点G，连接FG，EG，因为点F为PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝BC， 因为四边形ABCD为长方形， 所以BC∥AD，且BC＝AD， 所以DE∥FG，DE＝FG， 所以四边形DEGF为平行四边形， 所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE. （2）由（1）知DF∥平面PBE， 又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l， 所以DF∥l. 考点2 平面与平面平行的判定及性质 【例3】　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH（GH与B1C1不重合）. （1）求证：BC∥GH； （2）若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 证明：（1）由三棱柱ABC-A1B1C1的性质知，平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG， ∴由面面平行的性质定理得BC∥GH. （2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1􀰿AB， ∴A1G􀰿EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 变式 在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值. 解：如图，连接A1B交AB1于O，连接OD1. 由平面BC1D∥平面AB1D1， 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O， ∴BC1∥D1O，则＝＝1. 又由题设得＝，∴＝1，即＝1. 方法技巧 1.证明面面平行的常用方法 （1）利用面面平行的判定定理； （2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）； （3）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）. 2.面面平行条件的应用 （1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行； （2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线. 跟踪训练 如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： （1）BE∥平面DMF； （2）平面BDE∥平面MNG. 证明：（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点. 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. （2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG， 又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点，N为AD的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE∥平面MNG. 考点3 平行关系的综合应用 【例4】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝. （1）求证：PQ∥平面A1D1DA； （2）若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明. 解：（1）证明：连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM， 所以＝＝，又因为＝＝， 所以＝＝，所以PQ∥MD1. 又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA， 故PQ∥平面A1D1DA. （2）当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA，如图.证明如下： 因为＝，即＝， 故＝.所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA， 又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA. 方法技巧 三种平行关系的转化 　　　　 性质定理 跟踪训练 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. （1）求证：AB∥平面EFGH； （2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH的周长l的取值范围. 解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB， 又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. （2）设EF＝x（0＜x＜4），由（1）知EF∥AB， ∴＝＝. 与（1）同理可得CD∥FG，∴＝， 则＝＝＝1－，∴FG＝6－x. ∴四边形EFGH的周长l＝2（x＋6－x）＝12－x. 又∵0＜x＜4，∴8＜l＜12， 故四边形EFGH的周长l的取值范围是（8，12）. 第三节 直线、平面平行的判定与性质 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α与β平行的是（　　） A.l∥α，l∥β B.α内不共线的三点到β的距离相等 C.l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥β D.l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β 解析：D　对于A，α和β可平行也可相交；对于B，必须是α内不共线的三点，且在β的同侧到β的距离相等，才可判定平面α与平面β平行，故B错误；对于C，当l，m是平面α内的两条平行直线时，α与β可能相交，故C错误；对于D，过直线l，m分别作平面与平面α，β相交，设交线分别为l1，m1与l2，m2，由l∥α，l∥β得l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，则l1∥β，同理m1∥β，因为l1与m1相交，所以α∥β.故选D. 2.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则直线AC和平面DEF的位置关系是（　　） A.平行　 B.相交 C.在平面内　 D.不能确定 解析：A　如图，由＝得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF. 3.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（　　） A.2∶3　　　　　　 B.2∶5 C.4∶9　 D.4∶25 解析：D　∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25. 4.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且　　，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有（　　） A.①②　 B.②③ C.①③　 D.①②③ 解析：C　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确. 5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝. 6.（多选）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，则（　　） A.BD∥平面EGHF B.FH∥平面ABC C.AC∥平面EGHF D.直线GE，HF，AC交于一点 解析：AD　因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD，且GH＝BD，又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD，则EF∥GH.易知BD∥平面EGHF，FH与AC为相交直线，故A正确，B、C错误；因为EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EGHF为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，而EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，则点M在平面ABC与平面ACD的交线上，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即直线GE，HF，AC交于一点，故D正确. 7.在三棱柱ABC-A'B'C'中，截面A'B'C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A'B'的位置关系为　平行　. 解析：在三棱柱ABC-A'B'C'中，A'B'∥AB，AB⊂平面ABC，A'B'⊄平面ABC，所以A'B'∥平面ABC.又A'B'⊂平面A'B'C，平面A'B'C∩平面ABC＝a，所以A'B'∥a. 8.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为　矩形　. 解析：因为CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形.又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四边形EFGH为矩形. 9.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件　点M与点H重合（点M只要在线段FH上即可）　时，就有MN∥平面B1BDD1（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）. 解析：连接HN，FH，FN（图略），则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1. 10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1的中点.证明：平面AEC1∥平面BDF. 证明：如图，连接EF， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1∥DD1且CC1＝DD1， ∵E，F分别为DD1，CC1的中点， ∴CF∥DE且CF＝DE. ∴四边形CDEF为平行四边形，则EF∥CD且EF＝CD. ∵AB∥CD且AB＝CD，∴EF∥AB且EF＝AB，故四边形ABFE为平行四边形，∴BF∥AE， ∵BF⊄平面AEC1，AE⊂平面AEC1， ∴BF∥平面AEC1. ∵C1F∥DE且C1F＝DE， ∴四边形C1EDF为平行四边形，∴C1E∥DF， ∵DF⊄平面AEC1，C1E⊂平面AEC1， ∴DF∥平面AEC1， ∵BF∩DF＝F，BF⊂平面BDF，DF⊂平面BDF， ∴平面AEC1∥平面BDF. 综合应用 B 巩固 11.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（　　） A.1条　　　　　 B.2条 C.3条　 D.无数条 解析：D　如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于点H，过H作HG∥AC交BC于点G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，则平面MHGN∥平面ACC1A1，则MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条.故选D. 12.（多选）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（　　） A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值 C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D.当容器倾斜如图③所示时，AE·AH为定值 解析：AD　根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行），结合题图易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图③所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH-BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确. 13.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点. （1）证明：PB∥平面AEC； （2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论. 解：（1）证明：设BD与AC的交点为O，连接EO. ∵四边形ABCD为矩形， ∴O为BD的中点. 又E为PD的中点，∴EO∥PB， ∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC， ∴PB∥平面AEC. （2）PC的中点G即为所求的点. 证明如下：连接GE，FG， ∵E为PD的中点，∴GE􀰿CD. 又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形， ∴FA􀰿CD.∴FA􀰿GE. ∴四边形AFGE为平行四边形，∴FG∥AE. 又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC， ∴FG∥平面AEC. 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为　2　. 解析：如图所示，分别取棱D1C1，AB的中点E，F，连接A1E，A1F，CF，CE，则平面A1ECF为符合题意的截面，易知截面是菱形.连接EF，A1C，易知EF＝2，A1C＝2，EF⊥A1C，所以截面的面积S＝EF·A1C＝2. 15.如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD. （1）求证：EF∥平面β； （2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长. 解：（1）证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD. ∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD. 又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β. ②当AB与CD异面时，如图所示， 设平面ACD∩平面β＝HD， 且HD＝AC， ∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥HD， ∴四边形ACDH是平行四边形. 在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH. ∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH， ∴GF∥HD，EG∥BH. 又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H， ∴平面EFG∥平面β. 又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β. 综合①②可知，EF∥平面β. （2）如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF. ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴ME∥BD，MF∥AC， 且ME＝BD＝3， MF＝AC＝2. ∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角， ∴∠EMF＝60°或120°. ∴在△EFM中，由余弦定理得 EF＝ ＝＝， 即EF＝或EF＝ 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$