7.1基本立体图形及表面积与体积讲义-2025届高三数学一轮复习

第七章立体几何与空间向量 第一节　基本立体图形及表面积与体积 课程目标 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图. 基础知识 1.基本立体图形 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相　　且　　　 多边形 互相 　且　　　 侧棱 互相　　且　　　 相交于一点，但不一定相等 延长线交于　　 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 提醒　四棱柱、四面体的结构特征及关系 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，　　　　于底面 长度　　且相交于一点 长度相等且延长线交于　 轴截面 全等的　　　 全等的　　　 全等的　　　 圆面 侧面展开图 　　　 扇形 扇环 2.立体图形的直观图 （1）画法：常用斜二测画法； （2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为　　　　（或　　　　），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度　　　　，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的　　　　. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝　　　 S圆锥侧＝　　　 S圆台侧＝　　　 提醒　几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. 4.空间几何体的表面积与体积公式 　 　名称 几何体　 　 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝　　　　 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝　　　　 球 S＝4πR2 V＝　　　　 基础自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（　　） （2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（　　） （3）菱形的直观图仍是菱形.（　　） （4）圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形.（　　） 2.下列命题中正确的是（　　） A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 C.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 3.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（　　） A.8倍　　　　　　 B.4倍 C.2倍　 D.2倍 4.若一个正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，则侧棱长为　　　　. 5.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为　　　　. 常用结论 1.原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系： （1）S直观图＝S原图形；（2）S原图形＝2S直观图. 2.几个与球有关的切、接常用结论 （1）设正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝； （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 结论运用 1.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图O'A'B'C'的面积为4，则该平面图形的面积为（　　） A.　 B.4 C.8　 D.2 2.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.12π　 B.24π C.36π　 D.144π 3.正四面体的外接球和内切球的表面积之比是（　　） A.7∶2　 B.5∶2 C.3∶1　 D.9∶1 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 基本立体图形性 考向1　空间几何体的结构特征 【例1】　下列结论正确的是（　　） A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 方法技巧 辨别空间几何体的两种方法 考向2　直观图 【例2】　已知在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为　　　　. 方法技巧 　　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置.平行于x轴的线段的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半. 考向3　展开图 【例3】　某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　） A.2　　　　　　 B.2 C.3　 D.2 方法技巧 1.多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部分空间问题转化为平面问题. 2.旋转体表面展开图一般沿母线剪开，其中圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图为扇形，圆台的侧面展开图为扇环，球无法展开. 跟踪训练 1.下列四个命题正确的是（　　） A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.底面是长方形的直四棱柱是长方体，所有棱长均相等的长方体是正方体 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，CC1＝，动点M在棱CC1上，连接MA，MD1，则MD1＋MA的最小值为（　　） A.3　 B. C.　 D. 3.已知△ABC的斜二测直观图如图所示，则△ABC的面积为　　　　. 考点2 空间几何体的表面积 【例4】用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3π，则原圆锥的母线长为（　　） A.2　　　　　　　　 B. C.4　 D.2 方法技巧 求解几何体表面积的类型及方法 （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系； （3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 跟踪训练 1.某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） A.36＋12π　 B.40＋12π C.36＋16π　 D.40＋16π 2.如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面A1B1C1D1）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为4 cm2，9 cm2，且A1A＝B1B＝C1C＝D1D.若该容器模型的体积为 cm3，则该容器模型的表面积为　　　　 cm2. 考点3 空间几何体的体积 【例5】（1）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A-A1EF的体积为　　　　； （2）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　　　. 变式： 若本例（2）条件变为：底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，则所得棱台的体积为　　　　. 方法技巧 求空间几何体体积的常用方法 （1）公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积； （3）等体积法：一个几何体无论怎样转动，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解. 跟踪训练 1.在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（　　） A.1　 B. C.2　 D.3 2.如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为　　　　. 第一节　基本立体图形及表面积与体积 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.下列说法中正确的是（　　） A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 2.如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去一小部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（　　） A.棱台　B.四棱柱　　C.五棱柱　 D.六棱柱 3.若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形中AO的长度为（　　） A.　 B.2　　C.2　 D. 4.已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积的比值为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 5.“斗”不仅是我国古代的容量单位，还是量粮食的器具，如图所示，其可近似看作正四棱台，上底面是边长为6 dm的正方形，下底面是边长为2 dm的正方形，高为4 dm.“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（　　） A.8　 B.16　　C.2　 D.4 6.如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为（　　） A.90π　 B.63π　　C.42π　 D.36π 7.（多选）如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，其中O为圆心，则（　　） A.该圆锥的母线长为5 B.该圆锥的体积为12π C.该圆锥的表面积为15π D.三棱锥S-ABC体积的最大值为12 8.（多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分别为V1，V2，V3，则（　　） A.V3＝2V1　 B.V3＝V2 C.V2＝2（V1＋V3）　 D.2V3＝3V1 9.已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等，则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是 　，圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是　 　. 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，P是线段BC1上的一动点，则A1P＋PC的最小值为　 　. 基础达标 B 11.如图①是一种常见的玩具，图②是该玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该玩具的表面积为（　　） A.8（6＋6＋）　 B.6（8＋8＋） C.8（6＋6＋）　 D.6（8＋8＋） 12.（多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是（　　） A.直三棱柱的侧面积是4＋2 B.直三棱柱的体积是 C.三棱锥E-AA1O的体积为定值 D.AE＋EC1的最小值为2 13.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱组成.已知正四棱柱的底面边长为3 cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为　 　，体积为　 　cm3. 14.扇面是中国书画作品的一种重要表现形式.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为.若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，求该几何体的高. 15.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍. （1）若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为6 m，当PO1为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章立体几何与空间向量 第一节　基本立体图形及表面积与体积 课程目标 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图. 基础知识 1.基本立体图形 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相　平行　且　全等　 多边形 互相　平行　且　相似　 侧棱 互相　平行　且　相等　 相交于一点，但不一定相等 延长线交于　一点　 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 提醒　四棱柱、四面体的结构特征及关系 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，　垂直　于底面 长度　相等　且相交于一点 长度相等且延长线交于　一点　 轴截面 全等的　矩形　 全等的　等腰三角形　 全等的　等腰梯形　 圆面 侧面展开图 　矩形　 扇形 扇环 2.立体图形的直观图 （1）画法：常用斜二测画法； （2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为　45°　（或　135°　），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度　不变　，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的　一半　. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝　2πrl S圆锥侧＝　πrl S圆台侧＝π（r＋r'）l 提醒　几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. 4.空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝　Sh　 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝　（S上＋S下＋）h　 球 S＝4πR2 V＝　πR3　 基础自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（　×　） （2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（　×　） （3）菱形的直观图仍是菱形.（　×　） （4）圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形.（　√　） 2.下列命题中正确的是（　　） A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 C.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 解析：D　A不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥；C错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；由棱台的定义知，棱台各侧棱的延长线交于一点，D正确. 3.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（　　） A.8倍　 B.4倍　　C.2倍　 D.2倍 解析：C　若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的倍，则球体积扩大为原来的2倍. 4.若一个正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，则侧棱长为　2　. 解析：如图，∵四棱锥的底面是边长为2的正方形，高PO＝，∴AO＝，∴侧棱长PA＝＝2. 5.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为　39π　. 解析：设该圆锥的高为h ，则由已知条件可得×π×62×h＝30π，解得h＝，则圆锥的母线长为＝＝，故该圆锥的侧面积为π×6×＝39π. 常用结论 1.原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系： （1）S直观图＝S原图形；（2）S原图形＝2S直观图. 2.几个与球有关的切、接常用结论 （1）设正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝； （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 结论运用 1.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图O'A'B'C'的面积为4，则该平面图形的面积为（　　） A.　 B.4　　C.8　 D.2 解析：C　由结论1知S原图形＝2S直观图，得S原图形＝2×4＝8. 2.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.12π　 B.24π　　C.36π　 D.144π 解析：C　设外接球的半径为R，由结论2知2R＝×2＝6，所以R＝3，于是该球的表面积S＝4πR2＝36π，故选C. 3.正四面体的外接球和内切球的表面积之比是（　　） A.7∶2　 B.5∶2　C.3∶1　 D.9∶1 解析：D　由结论2知正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，所以它们的表面积之比为9∶1， 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 基本立体图形性 考向1　空间几何体的结构特征 【例1】　下列结论正确的是（　　） A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 解析：D　由图①知，A错误；如图②，当两个平行截面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确. 方法技巧 辨别空间几何体的两种方法 考向2　直观图 【例2】已知在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为　　. 解析：法一　实际图形和直观图如图①和图②所示.因为OE＝＝1，由斜二测画法可知O'E'＝，E'F＝，D'C'＝1，A'B'＝3，则直观图A'B'C'D'的面积S'＝×＝. 法二　因为OE＝＝1，S原图形＝×1＝2，故S直观图＝×2＝. 方法技巧 　　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置.平行于x轴的线段的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半. 考向3　展开图 【例3】某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　） A.2　 B.2 C.3　 D.2 解析：B　圆柱的侧面展开图及M，N的位置（N为EP的四等分点）如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径.EN＝×16＝4，EM＝2，∴MN＝＝＝2.故选B. 方法技巧 1.多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部分空间问题转化为平面问题. 2.旋转体表面展开图一般沿母线剪开，其中圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图为扇形，圆台的侧面展开图为扇环，球无法展开. 跟踪训练 1.下列四个命题正确的是（　　） A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.底面是长方形的直四棱柱是长方体，所有棱长均相等的长方体是正方体 解析：D　对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立，故B错；对于C，若底面不是矩形，则C错；对于D，由长方体、正方体的结构特征知，D正确. 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，CC1＝，动点M在棱CC1上，连接MA，MD1，则MD1＋MA的最小值为（　　） A.3　 B. C.　 D. 解析：C　由题意，将平面DCC1D1展开到矩形ACC1A1所在平面，结合展开图可知当A，M，D1三点共线时，MD1＋MA取得最小值，最小值为展开图中D1A的长度.因为AC＝＝2，CD＝1，所以展开图中AD＝3.又因为DD1＝CC1＝，所以展开图中D1A＝＝.故选C. 3.已知△ABC的斜二测直观图如图所示，则△ABC的面积为　2　. 解析：由题意，△ABC的斜二测直观图的面积S'＝×1×2×sin 45°＝，所以△ABC的面积S＝2S'＝2×＝2. 考点2 空间几何体的表面积 【例4】用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3π，则原圆锥的母线长为（　　） A.2　 B. C.4　 D.2 解析：D　设圆台的母线长为l，因为由圆锥截得的圆台的上、下底面半径分别为1和2，所以原圆锥的母线长为2l，又圆台的侧面积为3π，所以π（1＋2）l＝3π，解得l＝，所以原圆锥的母线长为2.故选D. 方法技巧 求解几何体表面积的类型及方法 （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系； （3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 跟踪训练 1.某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） A.36＋12π B.40＋12π C.36＋16π D.40＋16π 解析：B　由题意可知该几何体的表面积为4×2×4＋2×2×2＋4π＋×4π×4＝40＋12π.故选B. 2.如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面A1B1C1D1）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为4 cm2，9 cm2，且A1A＝B1B＝C1C＝D1D.若该容器模型的体积为 cm3，则该容器模型的表面积为　5＋9　 cm2. 解析：由题意得，该容器模型为正四棱台，上、下底面的边长分别为2 cm，3 cm，设该棱台的高为h，则由棱台体积公式V＝h（S上＋S下＋）得，＝h×（4＋9＋6），解得h＝1（cm），所以侧面等腰梯形的高h'＝＝（cm），所以S表＝4×＋9＝5＋9（cm2）. 考点3 空间几何体的体积 【例5】（1）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A-A1EF的体积为　8　； （2）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　. 解析：（1）由正三棱柱的底面边长为4，得点F到平面A1AE的距离等于点C到平面A1ABB1的距离，为×4＝2，则＝＝×2＝××6×4×2＝8. （2）法一　如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×（22＋12＋）×＝. 法二　如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为，所以＝×（22＋12＋）×＝. 变式： 若本例（2）条件变为：底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，则所得棱台的体积为　28　. 解析：法一　如图，在正四棱锥A-BCDE中截去正四棱锥A-B'C'D'E'.过点A作AO⊥平面BCDE于点O，交平面B'C'D'E'于点O'.过点O作OF⊥CD于点F，连接AF交C'D'于点F'，连接O'F'，则O'F'⊥C'D'.易知△AO'F'∽△AOF，∴＝，即＝，得OO'＝3，∴所得正四棱台上底面的边长为2，下底面的边长为4，高为3，∴V＝×（4＋16＋）×3＝28. 法二　由法一，知四棱锥A-BCDE的高AO＝6，∴V四棱台B'C'D'E'-BCDE＝V四棱锥A-BCDE－V四棱锥A-B'C'D'E'＝×4×4×6－×2×2×3＝28. 方法技巧 求空间几何体体积的常用方法 （1）公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积； （3）等体积法：一个几何体无论怎样转动，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解. 跟踪训练 1.在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（　　） A.1　 B. C.2　 D.3 解析：A　取棱AB的中点D，连接PD，CD.∵PA＝PB＝2，CA＝CB＝AB＝2，∴PD＝CD＝.又∵PC＝，∴PC2＝PD2＋CD2，则PD⊥DC.又∵PD⊥AB，DC，AB⊂平面ABC，AB∩DC＝D，∴PD⊥平面ABC，∴VP-ABC＝S△ABC·PD＝××2××＝1.故选A. 2.如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为　4　. 解析：法一（分割法）　因为几何体有两对相对面互相平行，如下左图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝（×2×1）×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝（×2×1）×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝2＋2＝4. 法二（补形法）　因为几何体有两对相对面互相平行，如上右图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半.又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝×8＝4. 第一节　基本立体图形及表面积与体积 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.下列说法中正确的是（　　） A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 解析：C　棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误.易知C正确. 2.如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去一小部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（　　） A.棱台　B.四棱柱　　C.五棱柱　 D.六棱柱 解析：C　由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱. 3.若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形中AO的长度为（　　） A.　 B.2　　C.2　 D. 解析：B　过点A'作A'D'⊥O'B'，垂足为D'.因为A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，所以O'A'＝＝，所以原四边形中AO的长度为2O'A'＝2.故选B. 4.已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积的比值为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 解析：C　设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的母线长l＝2r，圆柱的母线长等于圆锥的高h＝r，记圆锥和圆柱的侧面积分别为S1，S2，则＝＝＝.故选C. 5.“斗”不仅是我国古代的容量单位，还是量粮食的器具，如图所示，其可近似看作正四棱台，上底面是边长为6 dm的正方形，下底面是边长为2 dm的正方形，高为4 dm.“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（　　） A.8　 B.16　　C.2　 D.4 解析：A　由题意可知，正四棱台的侧面均为等腰梯形，则其斜高为＝2（dm），所以“斗”的所有侧面的面积之和为S侧＝4××（6＋2）×2＝32（dm2），下底面的面积为S下底＝4 dm2，所以＝8. 6.如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为（　　） A.90π　 B.63π　　C.42π　 D.36π 解析：B　由几何体的直观图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B. 7.（多选）如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，其中O为圆心，则（　　） A.该圆锥的母线长为5 B.该圆锥的体积为12π C.该圆锥的表面积为15π D.三棱锥S-ABC体积的最大值为12 解析：ABD　该圆锥的母线长为＝5，A正确；该圆锥的体积为×π×32×4＝12π，B正确；该圆锥的表面积为π×3×（3＋5）＝24π，C错误；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝×6×3＝9，三棱锥S-ABC体积的最大值为×9×4＝12，D正确.故选A、B、D. 8.（多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分别为V1，V2，V3，则（　　） A.V3＝2V1　 B.V3＝V2 C.V2＝2（V1＋V3）　 D.2V3＝3V1 解析：AC　由题可知V1＝＝＝·B1P，V2＝＝－（V1＋V3），V3＝VC-ABP＝VP-ABC＝S△ABC·BP，根据三棱柱的性质易得S△ABC＝，又BP＝2B1P，所以V3＝2V1，A正确，D错误；因为＝·BB1＝3（S△ABC·B1P＋S△ABC·BP）＝3（V1＋V3），所以V2＝3（V1＋V3）－（V1＋V3）＝2（V1＋V3），B错误，C正确. 9.已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等，则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是　　，圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是　1　. 解析：设圆锥底面圆半径为r，则高为r，设球的半径为R，则2R＝r，R＝r，∴＝＝，圆锥的表面积S圆锥＝πr2＋πr·2r＝3πr2，球O的表面积S球＝4πR2＝4π·r2＝3πr2，＝＝1. 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，P是线段BC1上的一动点，则A1P＋PC的最小值为　＋　. 解析：如图①，连接A1B，A1C1，将△BCC1沿BC1翻折到与△A1BC1在同一个平面内，如图②所示.已知△A1BC1为等边三角形，△BCC1为等腰三角形，两个三角形有公共边BC1，则当P是BC1的中点时，A1，P，C三点共线，此时A1P＋PC取最小值＋. 　 基础达标 B 11.如图①是一种常见的玩具，图②是该玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该玩具的表面积为（　　） A.8（6＋6＋）　 B.6（8＋8＋） C.8（6＋6＋）　 D.6（8＋8＋） 解析：A　由题图可知，该玩具可以看成是一个棱长为2＋2的正方体截去了8个正三棱锥所余下的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为S＝6×［（2＋2）2－4×××］＋8××2×＝8（6＋6＋）. 12.（多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是（　　） A.直三棱柱的侧面积是4＋2 B.直三棱柱的体积是 C.三棱锥E-AA1O的体积为定值 D.AE＋EC1的最小值为2 解析：ACD　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确； 如图所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥E-AA1O的高为定值，＝××2＝，所以＝××＝，故C正确； 将侧面AA1B1B和BB1C1C展开到一个平面上，则四边形AA1C1C为边长为2的正方形，如图所示.则AC1即为所求AE＋EC1的最小值，AC1＝＝2，故D正确. 13.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱组成.已知正四棱柱的底面边长为3 cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为　8　，体积为　18　cm3. 解析：易知两个正四棱柱的公共部分为两个正四棱锥拼接而成，且两个正四棱锥的底面重合，所以公共部分构成的多面体的面数为8，因为正四棱柱的底面边长为3，则公共部分的两个正四棱锥的底面边长为3，高为，所以体积V＝×2×（3）2×＝18（cm3）. 14.扇面是中国书画作品的一种重要表现形式.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为.若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，求该几何体的高. 解：由题意知该几何体为圆台，如图所示，其中AB，CD分别为上、下底面圆的直径， 设圆台的上底面圆的半径为r1，圆心为O1，下底面圆的半径r2，圆心为O2， 则得 过点A作AM⊥CD，交CD于点M，连接O1O2，则四边形AO1O2M为矩形，所以△ADM为直角三角形，AO1＝MO2，AM＝O1O2. 圆台的母线长l＝AD＝27－12＝15， 所以圆台的高h＝AM＝＝＝10. 15.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍. （1）若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为6 m，当PO1为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？ 解：（1）∵PO1＝2（m），正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，∴O1O＝8（m）， ∴仓库的容积V＝×62×2＋62×8＝312（m3）. （2）若正四棱锥的侧棱长为6 m，设PO1＝x（m），则O1O＝4x（m），A1O1＝（m），A1B1＝（m）， ∴正四棱柱侧面积S＝4·4x·＝16x·（0＜x＜6）， ∴S≤16×＝288，当且仅当x＝，即x＝3时，Smax＝288（m2）， ∴当PO1＝3（m）时，正四棱柱侧面积最大，最大为288（m2 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$