5.2等差数列讲义-2025届高三数学一轮复习

第二节　等差数列 课程目标 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系. 基础知识 1.等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从　　　　起，每一项与它的前一项的　　　都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的　　　　，公差通常用字母d表示，符号表示为　　　　　　（n∈N*，d为常数）. 提醒　在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d＜0⇔{an}为递减数列. （2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝　　　　　　，其中A叫做a与b的等差中项. 2.等差数列的有关公式 （1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型，即an＝pn＋q，其中p为公差； （2）前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数模型，且没有常数项，即Sn＝An2＋Bn. 3.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）； （2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an； （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列； （4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为　　　　. 基础自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（　　） （2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.（　　） （3）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（　　） （4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（　　） 2.在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，则a5＝（　　） A.－6　　　　　　　 B.6 C.－10　 D.10 3.已知等差数列{an}，若a1＝12，a2＋a5＝36，则a6＝（　　） A.20　 B.24 C.28　 D.32 4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则an＝　　　　. 5.在首项为28的等差数列{an}中，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是　　　　. 常用结论 1.若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 2.若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}公差的. 3.若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd，＝. 4.若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an；＝；S奇－S偶＝an（中间项）. 结论运用 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－2 023，且－＝1，则S2 024＝（　　） A.0　 B.1 C.2 023　 D.2 024 2.在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n＝　　　　. 3.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为　　　　. 4.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且＝，则＝　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 　考点1 等差数列基本量的运算 性 【例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（　　） A.25　 B.22 C.20　 D.15 （2）（多选）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是（　　） A.a2＋a3＝0　 B.an＝2n－5 C.Sn＝n（n－4）　 D.d＝－2 方法技巧 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 （1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想； （2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素； （3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解； （4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 跟踪训练 1.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝（　　） A.6　 B.7 C.8　 D.9 2.在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为　　　　，前9圈的石板总数为　　　　. 　考点2 等差数列的判定与证明 性 【例2】记Sn为数列{an}的前n项和.已知＋n＝2an＋1.证明：{an}是等差数列. 变式 已知数列{an}的各项均为正数，∀n∈N*，＝anan＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.证明：数列{an}为等差数列. 方法技巧 判断数列{an}是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数； （2）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1； （3）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）； （4）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）. 提醒　（3）（4）只适用于客观题的求解与判断. 跟踪训练 1.已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn（a，b∈R）且a2＝3，a6＝11，则S7＝（　　） A.13　 B.49　　 C.35　 D.63 2.数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝－（n≥2），则数列{an}的第100项为（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 3.已知bn为数列{an}的前n项积，且＋＝2.证明：数列{bn}是等差数列. 　考点3 等差数列的性质及应用 性 考向1　等差数列项的性质 【例3】（1）在等差数列{an}中，已知a2＝5，am＝7，am＋3＝10，则数列{an}的前m项和为（　　） A.12　 B.22 C.23　 D.25 （2）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21＝34，则a11－b11＝（　　） A.－17　 B.－15 C.17　 D.15 方法技巧 　　利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an也可相互转化. 考向2　等差数列前n项和的性质 【例4】（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝（　　） A.110　 B.150 C.210　 D.280 （2）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋＝　　　　. 方法技巧 　　在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则： （1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an； （2）Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列. 考向3　等差数列前n项和的最值问题 【例5】（多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则（　　） A.a8＞0 B.a9＜0 C.，，…，中最大的项为 D.，，…，中最大的项为 方法技巧 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 跟踪训练 1.等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11＝（　　） A.14　　 B.15　　 C.16　　 D.17 2.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d＝　　　　. 3.在等差数列{an}中，＜－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn＜0时，n的最大值为　　　　. 第二节　等差数列 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.在等差数列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，则{an}的公差为（　　） A.－2　 B.2 C.－3　 D.3 2.记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝（　　） A.120　 B.140 C.160　 D.180 3.已知数列{an}和{bn}均为等差数列，a1＝1，b1＝2，a10＋b10＝39，则数列{an＋bn}的前50项和为（　　） A.5 000　 B.5 050 C.5 100　 D.5 150 4.中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第12月营收贯数为（　　） A.64　 B.66 C.68　 D.70 5.（多选）记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝3，S3＝－9，则有（　　） A.a1＝－5　 B.a4＜0 C.S6＝0　 D.S3＜S4 6.（多选）已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S8＞S9＞S7，则下列结论正确的是（　　） A.公差d＜0 B.在所有小于0的Sn中，S17最大 C.a8＞a9 D.满足Sn＞0的n的个数为15 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 025，则m＝　 　. 8.若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式an＝　 　. 9.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝　 　. 10.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an. （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明数列{}为等差数列，并求{bn}的通项公式. 综合应用 B 巩固 11.若数列{an}满足－＝d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”，已知数列为“调和数列”，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝（　　） A.10　 B.20 C.30　 D.40 12.已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16，若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为　 　. 13.设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. （1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； （2）若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 14.已知数列{an}的前n项和为Sn，若不等式an＋1≤Sn对任意的n∈N*恒成立，则称数列{an}为“和保值数列”.若{an}是公差为d的等差数列，且{an＋n}为“和保值数列”，则a1的取值范围为（　　） A.[0，＋∞）　 B.[－2，＋∞） C.[－1，＋∞）　 D.[1，＋∞） 15.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，＝a3·a7，且S8＝32. （1）求S10； （2）若数列{bn}是公差为－4的等差数列，其前n项和为Tn，且b1＝a13，则Tn是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，请说明理由. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二节　等差数列 课程目标 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系. 　基础知识 1.等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从　第2项　起，每一项与它的前一项的　差　都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的　公差　，公差通常用字母d表示，符号表示为　an＋1－an＝d　（n∈N*，d为常数）. 提醒　在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d＜0⇔{an}为递减数列. （2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝　　，其中A叫做a与b的等差中项. 2.等差数列的有关公式 （1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型，即an＝pn＋q，其中p为公差； （2）前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数模型，且没有常数项，即Sn＝An2＋Bn. 3.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）； （2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an； （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列； （4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为　m2d　. 基础自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（　×　） （2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.（　√　） （3）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（　√　） （4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（　×　） 2.在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，则a5＝（　　） A.－6　 B.6 C.－10　 D.10 解析：B　∵an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝－2，∴a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6.故选B. 3.已知等差数列{an}，若a1＝12，a2＋a5＝36，则a6＝（　　） A.20　 B.24 C.28　 D.32 解析：B　由等差数列的性质可知，a1＋a6＝a2＋a5＝36，所以a6＝36－a1＝24.故选B. 4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则an＝　3n－4　. 解析：由题意得解得则an＝－1＋（n－1）×3＝3n－4. 5.在首项为28的等差数列{an}中，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是　［－，－4）　. 解析：由题意知数列{an}满足即所以，即－≤d＜－4. 常用结论 1.若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 2.若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}公差的. 3.若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd，＝. 4.若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an；＝；S奇－S偶＝an（中间项）. 结论运用 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－2 023，且－＝1，则S2 024＝（　　） A.0　 B.1 C.2 023　 D.2 024 解析：A　由结论2可得：是等差数列，首项为－2 023，公差为1，所以＝－2 023＋（n－1）×1，所以＝－2 023＋（2 024－1）×1＝0，所以S2 024＝0.故选A. 2.在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n＝　5　. 解析：由结论3可得：S偶－S奇＝nd＝90－75＝15，又∵a2n－a1＝27，∴解得n＝5. 3.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为　29　. 解析：设项数为奇数2n－1，由结论4可得：S奇－S偶＝an＝319－290＝29. 4.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且＝，则＝　2　. 解析：由结论1可得：＝＝＝＝2. 　　聚焦考点 课堂演练 　考点1 等差数列基本量的运算 性 【例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（　　） A.25　 B.22 C.20　 D.15 （2）（多选）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是（　　） A.a2＋a3＝0　 B.an＝2n－5 C.Sn＝n（n－4）　 D.d＝－2 答案：（1）C　（2）ABC　 解析：（1）法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由得∴d＝＝＝1，a3＝a4－d＝5－1＝4，∴S5＝5a3＝5×4＝20.故选C. 法二　设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5，①，由a4a8＝45，可得（a1＋3d）（a1＋7d）＝45，②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C. （2）因为S4＝＝0，所以a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5，①.a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②.联立①②得所以an＝－3＋（n－1）×2＝2n－5，B正确，D错误；Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，C正确，故选A、B、C. 方法技巧 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 （1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想； （2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素； （3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解； （4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 跟踪训练 1.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝（　　） A.6　 B.7 C.8　 D.9 解析：C　公差d＝＝＝2，又Sn＝64，所以Sn＝na1＋d＝n＋n（n－1）＝n2＝64，解得n＝8（负值舍去）. 2.在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为　63　，前9圈的石板总数为　405　. 解析：由题可知从第1圈到第9圈石板数构成等差数列{an}，且首项a1＝9，公差d＝9，则第7圈的石板数为a7＝9＋6×9＝63，前9圈的石板总数为S9＝9×9＋×9＝405. 　考点2 等差数列的判定与证明 性 【例2】记Sn为数列{an}的前n项和.已知＋n＝2an＋1.证明：{an}是等差数列. 证明：由＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n，　① 所以2Sn＋1＋（n＋1）2＝2an＋1（n＋1）＋（n＋1），　② ②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1（n＋1）－2ann＋1， 化简得an＋1－an＝1， 所以数列{an}是公差为1的等差数列. 变式 已知数列{an}的各项均为正数，∀n∈N*，＝anan＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.证明：数列{an}为等差数列. 证明：＝anan＋2＋t， ＝an＋1an＋3＋t， 两式相减得＝， 即数列为常数列， 故＝＝2， an＋an＋2＝2an＋1， 所以数列{an}为等差数列. 方法技巧 判断数列{an}是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数； （2）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1； （3）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）； （4）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）. 提醒　（3）（4）只适用于客观题的求解与判断. 跟踪训练 1.已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn（a，b∈R）且a2＝3，a6＝11，则S7＝（　　） A.13　 B.49 C.35　 D.63 解析：B　由Sn＝an2＋bn（a，b∈R）可知数列{an}是等差数列，依题意得，d＝＝＝2，则an＝a2＋（n－2）d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49.故选B. 2.数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝－（n≥2），则数列{an}的第100项为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　因为＝－（n≥2），所以＋＝，所以为等差数列，首项为＝，第2项为＝1，所以d＝，所以＝＋99d＝＋99×＝50.所以a100＝.故选B. 3.已知bn为数列{an}的前n项积，且＋＝2.证明：数列{bn}是等差数列. 证明：因为bn是数列{an}的前n项积，所以当n≥2时，an＝， 代入＋＝2可得，＋＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn， 即bn－bn－1＝（n≥2）. 又＋＝＝2， 所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列. 　考点3 等差数列的性质及应用 性 考向1　等差数列项的性质 【例3】（1）在等差数列{an}中，已知a2＝5，am＝7，am＋3＝10，则数列{an}的前m项和为（　　） A.12　 B.22 C.23　 D.25 （2）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21＝34，则a11－b11＝（　　） A.－17　 B.－15 C.17　 D.15 答案：（1）B　（2）D 解析：（1）数列{an}是等差数列，设公差为d，所以am＋3＝am＋3d＝7＋3d＝10，解得d＝1，又a2＝5，所以a1＝4，所以am＝4＋（m－1）×1＝7，解得m＝4，所以数列{an}的前m项和为S4＝＝＝22.故选B. （2）因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以a11－b11＝－＝，又a1＝1，b1＝5，a21－b21＝34，所以a11－b11＝＝15，故选D. 方法技巧 　　利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an也可相互转化. 考向2　等差数列前n项和的性质 【例4】（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝（　D　） A.110　 B.150 C.210　 D.280 （2）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋＝　　. 解析：（1）因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列.故（S30－S20）＋S10＝2（S20－S10），所以S30＝150.又因为（S20－S10）＋（S40－S30）＝2（S30－S20），所以S40＝280. （2）∵＋＝＝＝，∴＝＝＝＝. 方法技巧 　　在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则： （1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an； （2）Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列. 考向3　等差数列前n项和的最值问题 【例5】（多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则（　　） A.a8＞0 B.a9＜0 C.，，…，中最大的项为 D.，，…，中最大的项为 解析：ABD　由S15＝＝15a8＞0，得a8＞0，故A正确；由S16＝＝＜0，得a9＋a8＜0，所以a9＜0，且d＜0，故B正确；所以数列{an}为递减数列，且a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15大于0，S16，…，Sn小于0，则＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，又S8＞S1，a1＞a8，所以＞＞0，所以，，…，中最大的项为，故C错误，D项正确. 方法技巧 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 跟踪训练 1.等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11＝（　　） A.14　 B.15 C.16　 D.17 解析：C　因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，所以a8＝24.所以a9－a11＝a8＋d－（a8＋3d）＝a8＝16.故选C. 2.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d＝　5　. 解析：设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，由32k＋27k＝59k＝354可得k＝6，故公差d＝＝＝5. 3.（2024·河南五市联考）在等差数列{an}中，＜－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn＜0时，n的最大值为　13　. 解析：因为等差数列{an}的前n项和Sn有最小值，所以d＞0，又＜－1，所以a7＜0，a8＞0，且a7＋a8＞0，又S13＝＝13a7＜0，S14＝＝7（a7＋a8）＞0，所以当Sn＜0时，n的最大值为13. 第二节　等差数列 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.在等差数列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，则{an}的公差为（　　） A.－2　 B.2 C.－3　 D.3 解析：B　设公差为d，因为a3＋a9＝2a6＝30，所以a6＝15，从而d＝＝2. 2.记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝（　　） A.120　 B.140 C.160　 D.180 解析：C　∵a3＋a7＝6，a12＝17，可得解得∴S16＝16×（－5）＋×2＝160，故选C. 3.已知数列{an}和{bn}均为等差数列，a1＝1，b1＝2，a10＋b10＝39，则数列{an＋bn}的前50项和为（　　） A.5 000　 B.5 050 C.5 100　 D.5 150 解析：B　因为数列{an}与{bn}均为等差数列，所以数列{an＋bn}仍为等差数列.其首项为a1＋b1＝3，公差d＝＝4，所以数列{an＋bn}的前50项和S50＝50×3＋×4＝5 050，故选B. 4.中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第12月营收贯数为（　　） A.64　 B.66 C.68　 D.70 解析：D　依题意，该人每个月的收入依次排成一列可构成等差数列{an}，设其前n项和为Sn，有a3＝25，S12＝510，设{an}的公差为d，因此解得所以该人第12月营收贯数a12＝a1＋11d＝15＋11×5＝70.故选D. 5.（多选）记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝3，S3＝－9，则有（　　） A.a1＝－5　 B.a4＜0 C.S6＝0　 D.S3＜S4 解析：ACD　由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝－9，得a2＝－3.设等差数列{an}的公差为d，则有d＝＝＝2，所以an＝a2＋（n－2）d＝－3＋（n－2）×2＝2n－7.所以a1＝2－7＝－5，a4＝8－7＝1＞0，S6＝6×（－5）＋×2＝0，由S4－S3＝a4＝1＞0，得S4＞S3，故选A、C、D. 6.（多选）已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S8＞S9＞S7，则下列结论正确的是（　　） A.公差d＜0 B.在所有小于0的Sn中，S17最大 C.a8＞a9 D.满足Sn＞0的n的个数为15 解析：ABC　∵S8＞S9，且S9＝S8＋a9，∴S8＞S8＋a9，即a9＜0，又S8＞S7，S8＝S7＋a8，∴S7＋a8＞S7，即a8＞0，∴d＝a9－a8＜0，故A、C中的结论正确；∵S9＞S7，S9＝S7＋a8＋a9，∴S7＋a8＋a9＞S7，即a8＋a9＞0，又a1＋a16＝a8＋a9，∴S16＝＝8（a8＋a9）＞0，又a1＋a15＝2a8，∴S15＝＝15a8＞0，又a1＋a17＝2a9，且a9＜0，∴S17＝＝17a9＜0，故B中的结论正确，D中的结论错误. 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 025，则m＝　1 013　. 解析：∵S3＝3a1＋3d，∴3a1＋3d＝a1＋4d，即d＝2，am＝a1＋（m－1）×2＝2m－1＝2 025，∴m＝1 013. 8.若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式an＝　2n＋1（答案不唯一）　. 解析：设{an}的公差为d，由题意得，a2＜a1d＜a3，所以a1＋d＜a1d＜a1＋2d，又a1，d为正整数，所以可取a1＝3，d＝2，故an＝3＋2（n－1）＝2n＋1. 9.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝　　. 解析：令S5＝t（t≠0），则由＝，得S10＝3S5＝3t，所以S10－S5＝2t.又由等差数列{an}的性质得S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等差数列，故有S10－S5＝2t，S15－S10＝3t，S20－S15＝4t，相加可得S20－S5＝9t，所以S20＝10t，所以＝＝. 10.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an. （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明数列{}为等差数列，并求{bn}的通项公式. 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1. 因为a1＝1符合上式，所以an＝2n－1. （2）因为bn＋1－2bn＝8an， 所以bn＋1－2bn＝2n＋2，即－＝2.又＝1， 所以数列{}是首项为1，公差为2的等差数列. 所以＝1＋2（n－1）＝2n－1. 所以bn＝（2n－1）×2n. 综合应用 B 巩固 11.若数列{an}满足－＝d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”，已知数列为“调和数列”，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝（　　） A.10　 B.20 C.30　 D.40 解析：B　因为数列为“调和数列”，所以由“调和数列”的定义可知xn＋1－xn＝d（n∈N*，d为常数），即数列{xn}为等差数列，则x1＋x2＋…＋x20＝＝200，所以x1＋x20＝20，故x5＋x16＝x1＋x20＝20，故选B. 12.已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16，若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为　　. 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a1＋d＝4，a1＋5d＝16，所以a1＝1，d＝3，设在数列{an}每相邻两项之间插入三个数所得新数列为{bn}，则新的等差数列{bn}的公差为＝，首项为b1＝a1＝1，所以新数列的通项公式为bn＝1＋（n－1）＝n＋，故b43＝×43＋＝. 13.设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. （1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； （2）若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解：（1）∵3a2＝3a1＋a3，∴3（a2－a1）＝a3， ∴3d＝a1＋2d，∴a1＝d，则an＝nd（d＞1）， ∴bn＝， ∴S3＝a1＋a2＋a3＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝， ∴6d＋＝21.整理，得2d2－7d＋3＝0， 即（2d－1）（d－3）＝0，解得d＝3或d＝（舍去）. ∴an＝3n，n∈N*. （2）若{bn}为等差数列， 则b1＋b3＝2b2，即＋＝2·. 整理，得－3a1d＋2d2＝0. 解得a1＝d或a1＝2d. 当a1＝d时，an＝nd，bn＝＝， ∴S99－T99＝（d＋99d）－（＋）＝99. 整理，得50d2－d－51＝0， 解得d＝或d＝－1（舍去）. 当a1＝2d时，an＝（n＋1）d，bn＝＝， ∴S99－T99＝（2d＋100d）－（＋）＝99. 整理，得51d2－d－50＝0， 解得d＝－或d＝1. ∵d＞1，∴此时无解. 综上可知，d＝. 14.已知数列{an}的前n项和为Sn，若不等式an＋1≤Sn对任意的n∈N*恒成立，则称数列{an}为“和保值数列”.若{an}是公差为d的等差数列，且{an＋n}为“和保值数列”，则a1的取值范围为（　　） A.[0，＋∞）　 B.[－2，＋∞） C.[－1，＋∞）　 D.[1，＋∞） 解析：C　由{an＋n}为“和保值数列”可得an＋1＋n＋1≤na1＋＋对任意的n∈N*恒成立，即a1＋nd＋n＋1≤na1＋＋对任意的n∈N*恒成立，即n2＋n－a1－1≥0对任意的n∈N*恒成立，当n＝1时，可得d≤－1；当n≥2时，不等式n2＋n－a1－1≥0恒成立，所以≥0，即d≥－1，故d＝－1.则（a1＋1）n－a1－1≥0.即（a1＋1）（n－1）≥0，故a1≥－1，故a1的取值范围为[－1，＋∞）.故选C. 15.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，＝a3·a7，且S8＝32. （1）求S10； （2）若数列{bn}是公差为－4的等差数列，其前n项和为Tn，且b1＝a13，则Tn是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，请说明理由. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则由题知解得所以S10＝10a1＋d＝－30＋90＝60. （2）由（1）可知b1＝a13＝－3＋12×2＝21. 因为数列{bn}的公差为－4，所以Tn＝21n＋×（－4）＝－2n2＋23n＝－2（n－）2＋. 所以当n＝6时，Tn有最大值T6＝－2×62＋23×6＝6 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$