第01讲【实数及其运算】初中数学暑假同步专题提升复习讲义（人教版）1

第01讲【实数及其运算】初中数学暑假同步专题提升复习讲义（人教版） 【核心考点】 一、实数及分类 1．， 2．常见的无理数：开不尽方的数，消不掉的数，有一定规律的无限不循环小数； 二、数轴及相反数与绝对值 1．数轴的三要素：原点，正方向，单位长度； 2．实数与数轴上的点一一对应； 3．a的相反数是-a，如果a、b互为相反数，则a+b=0，当ab≠0时，； 4．在数轴上，一个数表示的点到原点的距离就是这个数的绝对值，互为相反数的两个数表示的点到原点的距离相等； 5．绝对值的性质： （1）， （2）一个数的绝对值是非负数，即； 三、近似数与科学记数法 1．精确度：近似数的最后一位表示这个数的精确度； 2．科学记数法规则：，其中，n为整数，当时，n等于a的整数位数减去1；当时，n等于a的左起第一个非零数至小数点之间（包含第一个非零数）的数字个数的相反数； 四、实数大小比较 1．法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小； 2．数轴比较：在数轴上，左边的数小于右边的数； 四、实数的运算 1．运算顺序：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的； 2．运算律：加法交换律和结合律，乘法交换律和结合律，乘法分配律； 3．指数幂的运算：，当n为正偶数时，（-1）n=1，当n为正奇数时，（-1）n=-1； 五、非负数的性质 1．常见的非负数：； 2．非负数就是正负数和零，非负数的最小值是0； 3．非负数的和是非负数，积是非负数； 4．若n个非负数的和为0，那么这n个数都为0； 【重点难点】 实数的有关概念 此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如相反数、倒数、绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键． 【专项练习】 一、单选题 1．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（    ） A． B． C． D． 2．一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（    ） 北京 济南 太原 郑州 A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 6．欢乐六一，多彩童年，每年6月1日这天，孩子们都会用各种形式欢度自己的节日，还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗？已知泡泡的厚度约为0.000000326米，数据“0.000000326”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．对于实数x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，，若，则满足条件的整数a共有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，数轴上点，表示的数分别是，，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是(    ) A． B． C． D． 9．下列命题中是真命题的是（   ） A．两直线平行，内错角互补 B．0.1是0.1的一个平方根 C．同角的补角互补 D．平行于同一直线的两条直线平行 10．定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（为整数） D． 二、填空题 11．比较大小： ； ． 12．若实数满足，则的立方根为 ． 13．定义：在平面直角坐标系中，将点变换为，我们把这种变换称为“变换”．已知点，，经过“变换”的对应点分别是D，E，F．若，则 ． 14．是的绝对值，是的相反数，则 ． 15．有一组数据：记，，，…，．，则 ． 16．定义一种新的运算“”，若，则，如：．已知，则 ． 三、解答题 17．“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买1箱A种盐皮蛋和2箱B种盐皮蛋共需70元；若购买2箱A种盐皮蛋和3箱B种盐皮蛋共需120元． (1)A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 18．某商场计划拨款9万元购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，问有多少种不同的进货方案？并写出这些方案； (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在第（1）小题的几个方案中，为使销售时获得利润最多，你选择哪种方案？并说明理由． 19．某蔬菜经营户从周谷堆批发市场批发蔬菜进行零售，已知青椒比豆角的批发价每千克贵元，用元购买的豆角重量是用元购买的青椒重量的两倍． (1)求青椒和豆角的批发单价； (2)销售第一天，青椒和豆角的零售价分别为元千克，元千克，求该经营户当天全部售完批发的青椒和豆角后一共获利多少元； (3)第二天，该经营户到批发市场得知，青椒和豆角的批发单价不变，于是该经营户用元批发青椒和豆角共千克，但在运输过程中青椒损坏了%，而豆角没有损坏，仍按昨天的零售价销售，要想当天售完所有蔬菜后，所获利润不低于第一天利润的倍，那么该蔬菜经营户应该如何给青椒定价？（精确到元） 20．已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．    (1)则______，______，______； (2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标； (3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， ，将 平移到，点A的对应点，且，交y轴于点E． (1)求A，B两点的坐标； (2)求证：点E是 的中点； (3)若的面积为24，求点 D的坐标． 22．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而， ∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴， ∴， ∴59319的立方根的十位数字是3， ∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：1331的立方根是一个　　　位数，其个位数字是　　　； (2)仿照上面的方法求238328的立方根a，并验证a是238328的立方根． 23．阅读材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，请解答下列问题： (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)若的整数部分为，是的算术平方根，求的立方根． 24．如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标系原点，点在第一象限，过点 向 轴作垂线，垂足为点 ，连接 ，．点 从点 出发，沿 轴的正半轴以每秒 个单位长度的速度运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动，点 与点 同时出发，设点 的运动时间为 秒，连接 ，，．    (1)直接写出 的值，_____； (2)当 时， ①请探究 ，， 之间的数量关系，并说明理由； ②试判断四边形 的面积是否变化？若不变化，请求出四边形 的面积；若变化，请说明理由； (3)当 时，请求出 的值及 的面积． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为．    (1)平移线段得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，若点的坐标为，求点的坐标； (2)如图②，平移线段到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，且点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接．若三角形的面积等于7，求点C、D的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点，使（、分别表示三角形、三角形的面积）？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【参考答案】 1．A 【解答】∵，，， ∴， ∴气温最低的是北京． 故选：A． 2．A 【解答】， ，， ，， 四边形一定是平行四边形． 故选：A． 3．B 【解答】由题意，得 A选项，∵， ∴；不符合题意； B选项，∵， ∴，符合题意； C选项，∵，， ∴，不符合题意； D选项，∵， ∴；不符合题意； 故选：B． 4．D 【解答】∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．C 【解答】∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 6．C 【解答】， 故选：C． 7．A 【解答】由题意得：， 解得：， 由于a为整数，则a取2，3，4三个数； 故选：A． 8．B 【解答】由题意可知，，，，， ， ， ， 由勾股定理得：． ． 则点表示的数是， 故选：B． 9．D 【解答】A、两直线平行，内错角相等，故原说法错误，不符合题意； B、0.1是0.01的一个平方根，故原说法错误，不符合题意； C、同角的补角相等，故原说法错误，不符合题意； D、平行于同一直线的两条直线平行，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 10．D 【解答】∵， ∴，即， ∴，故选项A错误，不符合题意； 例如，，， ∵， ∴， ∴不成立，选项B错误，不符合题； 例如，，， ∴， ∴（为整数）不成立，选项C错误，不符合题； ∵为不超过的最大整数， ∴，选项D正确，符合题意． 故选：D． 11． 【解答】∵，， 又∵， ∴； ∵，， 又∵， ∴． 故答案为：；． 12． 【解答】∵根据二次根式有意义的条件，得： 解得，； ∴代入原式， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：． 13．或 【解答】，经过“变换”的对应点分别是E，F， ， 轴， ， ， ， 解得或， 故答案为：或； 14．0 【解答】由题意可得：，， 则． 故答案为：0． 15． 【解答】 ， ∴ ， 故答案为：． 16． 【解答】由新定义可知，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．(1)种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元 (2)有三种购买方案 (3)购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元 【解答】（1）解：设种盐皮蛋每箱价格元，种盐皮蛋每箱价格元， 由题意可得：，解得：， 答：种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元． （2）解：设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱， 购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍， ， 解得， 又为正整数， 所有可能的取值为18，19，20，则共有三种购买方案； （3）由（1）（2）可得，①当，时，购买总费用为（元）， ②当，时，购买总费用为（元）， ③当，时，购买总费用为（元）， 所以购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元． 18．(1)共有两种方案：方案一：购进甲种电视机台，则购进乙种电视机台；方案二：购进甲种电视机台，则购进丙种电视机台 (2)应选择方案二，理由见解析 【解答】（1）解：设购进甲种电视机台，则购进乙种电视机台， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴购进甲种电视机台，则购进乙种电视机台； 设购进甲种电视机台，则购进丙种电视机台， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴购进甲种电视机台，则购进丙种电视机台； 设购进乙种电视机台，则购进丙种电视机台， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，共有两种方案：方案一：购进甲种电视机台，则购进乙种电视机台；方案二：购进甲种电视机台，则购进丙种电视机台； （2）解：方案一：（元）， 方案二：， ∵， ∴方案二获利更多， ∴应选择方案二． 19．(1)豆角的批发价为元千克，则青椒的批发价为元千克 (2)该经营户当天全部售完批发的青椒和豆角后一共获利元； (3)该蔬菜经营户给青椒定价为元 【解答】（1）解：设豆角的批发价为元千克，则青椒的批发价为元千克，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解， （元） 答：豆角的批发价为元千克，则青椒的批发价为元千克， （2）解：依题意，（元） 答：该经营户当天全部售完批发的青椒和豆角后一共获利元； （3）解：设青椒为千克，豆角千克， 解得： 设青椒定价为元，根据题意得， 解得： ∴该蔬菜经营户给青椒定价为元 答：该蔬菜经营户给青椒定价为元 20．(1)5，4，3 (2)点的坐标为或 (3) 【解答】（1）解：∵， ∴，，， ，，， 故答案为：5，4，3． （2）由（1）可知，，    ∵三角形的面积等于3， ∴，则 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）由（1）可知，， 过点作轴，轴，则，，，， 则，， ∴ ，    ∵平分四边形的面积， ∴，即：， ∴，即：， ∵点为中点， ∴点的坐标为：， 即：点的坐标为． 21．(1)，； (2)见解析 (3) 【解答】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，； （2）证明：∵ 平移到，点的对应点C的坐标为， ∴点的对应点D的坐标为， ∴线段中点的横坐标为，即中点在y轴上， ∵交y轴于点E， ∴点E是 的中点； （3）解：∵，， ∴中点E的坐标为，即， 连接，如图， 由平移性质得， 则，即, ∴，解得， ∴点D坐标为 22．(1)两；1 (2)的立方根是62，验证见解析 【解答】（1）解：∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数是1， 故答案为：两；1． （2）∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划除后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62， 验证：． 23．(1) (2) 【解答】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 的整数部分为， 是的算术平方根， ， ， 的立方根为． 24．(1)2 (2)①，理由见解析；②不变，12 (3)当或6时，，此时的面积为或84． 【解答】（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）； （2）解：①，理由如下： 如图1，过点N作轴，    ∵轴， ∴轴， ∴， ∴． ②如图2，由（1）得，，    ∴， ∴； 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不变，． （3）解：当时，如下图，此时点N在上，，，     ， ， ， ， ， ； 当时，如下图，此时点N在的延长线上，，，     ， ， ， ， ，， ， ， 综上可知，当或6时，，此时的面积为或84． 25．(1) (2)， (3)存在，点的坐标为或 【解答】（1）解：∵点的坐标为，平移到点的坐标为， ∴点坐标向左平移5个单位，向上平移4个单位， ∴点平移到点的坐标为， ∴； （2）解：∵点在轴的正半轴上，点在第二象限内， ∴线段向左平移3个单位，再向上平移个单位， ∴，， 如图，连接，    ∴ ， 解得，， ∴，； （3）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得，或， ∴存在，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$