精品解析：河南省郑州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

郑州市2023—2024学年下期期末考试 高二数学试题卷 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量 满足，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行指金､木､水､火､土.现将“金､木､水､火､土”排成一排，则“土､水”相邻的排法种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 72 4. 已知由样本数据组成一个样本，可得到回归直线方程为，且，则样本点的残差为（ ） A. 0.3 B. -0.3 C. 1.3 D. -1.3 5. 某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查.已知抽查的男生､女生人数均为，其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的.若本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则的最小值为（ ） 附：参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 6. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B. 在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越低 D. 已知随机变量，若，则 10. 已知函数，则“有两个零点”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（ ） A. 第2024行中，第1012个数最大 B. 杨辉三角中第8行的各数之和为256 C. 记第 行的第个数为，则 D. 在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 曲线在点处切线的斜率为_________________. 13. 某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有___________种.（用数字作答） 14. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是___________；如果此人患流感，此人选自 地区的概率___________. 四､解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 16. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车发展的方向.为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部将在2018年上半年，将在全国所有城市全面启用新能源汽车专用号牌.2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划》（2021—2035年）要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展.随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，又因其颜值高､空间大､提速快､用车成本低等特点深得民众的追捧，目前充电难问题已成为影响新能源汽车销量的关键因素，国家为了加快新能源汽车的普及，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019—2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 充电桩数量 万台 1 3 5 7 9 新能源汽车年销量 万辆 25 37 48 58 72 （1）由上表中新能源汽车年销售量和充电桩数量的样本数据所画出的散点图知，它们的关系可用线性回归模型拟合，请用所学统计知识进行定量分析；（结果精确到0.001）； （2）求 关于 的线性回归方程，且预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？ 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：. 17. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在上的最大值； （2）讨论的单调性. 18. 从2020年开始，新高考数学试卷中出现了一种新的题型多选题.教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的得分率，也有利于提高试卷的区分度.新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得6分.对而不全得3分，选项中有错误得0分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为 ，有3个选项正确的概率为 ，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中： （1）小明可以确认一道多选题的选项 是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得6分的概率为，求； （2）小明可以确认另一道多选题的选项 是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选 不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 19. 从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为 .牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在 轴找初始点，然后作在点处切线，切线与 轴交于点，再作在点处切线（ 轴，以下同），切线与 轴交于点，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近 .于是，求 近似解的过程转化为求，若设精度为 ，则把首次满足 的称为 的近似解. （1）设 ，试用牛顿法求方程 满足精度 的近似解（取 ，且结果保留小数点后第二位）； （2）如图，设函数； （i）由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释？ （ii）若设初始点为，类比上述算法，求所得前 个三角形的面积和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市2023—2024学年下期期末考试 高二数学试题卷 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照导数四则运算法则求导即可． 【详解】． 故选：C． 2. 已知随机变量 满足，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量线性运算的方差规律，直接求解即可． 【详解】根据随机变量线性运算的方差结论，得到，则． 故选：B. 3. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行指金､木､水､火､土.现将“金､木､水､火､土”排成一排，则“土､水”相邻的排法种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法计算即可求解. 【详解】将“土、水”绑在一起，当做一个整体，有种排法， 将该整体与“金､木､火”全排列，共有种排法， 所以共有种排法. 故选：C 4. 已知由样本数据组成一个样本，可得到回归直线方程为，且，则样本点的残差为（ ） A. 0.3 B. -0.3 C. 1.3 D. -1.3 【答案】A 【解析】 【分析】先将中心代入回归方程求出，将代入回归方程求得，结合残差的定义即可求解. 【详解】由题意知，将点代入， 得，所以， 将代入，解得， 所以样本点的残差为. 故选：A 5. 某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查.已知抽查的男生､女生人数均为，其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的.若本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则的最小值为（ ） 附：参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，作出 列联表，计算的值，依题意，须使的值不小于小概率对应的，求解不等式即得. 【详解】依题意，作出 列联表： 男生 女生 合计 喜爱乒乓球运动 不喜爱乒乓球运动 合计 则， 因本次调查得出“有的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，故得， 解得，因，故的最小值为23. 故选：D. 6. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导数，判断单调性，结合函数图象，求出的范围即可． 【详解】求导，令，得 ． 易知函数在单调递增，在单调递减，且，，由图象知 故选：D. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，即可比较，，由，可比较，，从而得到答案 【详解】构造函数，所以，即 在上单调递增， 所以，即，即，所以， 又因为，所以 ，则 ， 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B. 在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越低 D. 已知随机变量，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，根据线性相关性判断；对于B选项，当点再回归直线上时来判断；对于C选项，根据残差点分布特征判断；对于D选项，运用正态分布对称性解题即可． 【详解】对于A选项，根据线性相关性判断，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，则A正确； 对于B选项，当点在回归直线上时，去掉后，回归方程不改变，故B错误； 对于C选项，根据残差点分布特征，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，说明模型的拟合精度越高，故C错误； 对于D选项，运用正态分布对称性，随机变量，若，则，则，故D正确． 故选：AD. 10. 已知函数，则“有两个零点”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】令函数，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围，根据充分条件和必要条件的概念选出正确答案. 【详解】由题意知有两个相异实根，即 与的图像有两个交点. ，当， ，单调递增； 当，，单调递减. ；当，；当， ，所以. 又因为CD是的真子集，所以答案选CD. 故选：CD. 11. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（ ） A. 第2024行中，第1012个数最大 B. 杨辉三角中第8行的各数之和为256 C. 记第行的第个数为，则 D. 在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用的展开式的二项式系数的性质可判断AB；求出，再利用展开式的特征可判断C；利用可判断D. 【详解】对于A，因为杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数， 即，当为偶数时中间一项最大，因为， 所以中间一项最大，且为第 个数最大，故A错误； 对于B，杨辉三角中第8行的各数之和为，故B正确； 对于C，记第行的第个数为，则， 则，故C正确； 对于D，因为 ， 所以 时，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 ， 时，该三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024，而， 所以只适用于 ，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用的展开式的二项式系数性质解题. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 曲线在点处切线的斜率为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】解：因为，所以，所以 即曲线在点处切线的斜率为. 故答案为： 13. 某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有___________种.（用数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】由已知可得，将安排三人就座看成3个坐着人的座位和3个空座位排队，利用捆绑法和插空法结合排列数和组合数的计算可得答案. 【详解】由题意，可看成3个坐着人的座位和3个空座位排队， 恰有两个空座位相邻，故和另外一个空座位均不相邻， 先安排3个坐着人的座位，共有种坐法，产生4个空位， 然后安排空座位到空中，相邻的两个空位捆绑在一起，看做一个元素，有种坐法，然后再从剩余的3个空中选择一个，将剩余的一个空座位安上，有种坐法， 所以共有种坐法. 故答案为：72. 14. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是___________；如果此人患流感，此人选自 地区的概率___________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用全概率公式可求这个人患流感的概率；利用条件概率公式可求如果此人患流感，此人选自 地区的概率. 【详解】记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自 地区，记事件此人来自 地区，记事件此人来自地区， 则，且、、彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 ； 由条件概率公式可得. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1）1792 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数之和的公式建立方程，可求解n的值，从而求出展开式的通项公式，令x的指数为4，即可求解； （2）根据（1），令x的指数为整数，求出r的值，进而可以求解. 【小问1详解】 由二项式系数和为，则，解得 ； 则展开式的通项公式为，， 令，解得 ，所以展开式中含的系数为； 【小问2详解】 由（1）可知，令，且，则， 则展开式中的有理项分别为，，. 16. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车发展的方向.为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部将在2018年上半年，将在全国所有城市全面启用新能源汽车专用号牌.2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划》（2021—2035年）要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展.随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，又因其颜值高､空间大､提速快､用车成本低等特点深得民众的追捧，目前充电难问题已成为影响新能源汽车销量的关键因素，国家为了加快新能源汽车的普及，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019—2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 充电桩数量 万台 1 3 5 7 9 新能源汽车年销量 万辆 25 37 48 58 72 （1）由上表中新能源汽车年销售量和充电桩数量的样本数据所画出的散点图知，它们的关系可用线性回归模型拟合，请用所学统计知识进行定量分析；（结果精确到0.001）； （2）求 关于 的线性回归方程，且预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？ 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：. 【答案】（1）答案见解析 （2）；157.25万辆 【解析】 【分析】（1）先求出，，结合题意中的公式计算即可求解； （2）根据最小二乘法计算，进而求出，写出线性回归方程．将 代入方程即可下结论. 【小问1详解】 由题知，， 又，，， 所以， 因为y与x的相关系数近似为0.999，非常接近1， 所以y与x的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合y与x的关系； 【小问2详解】 ， ， 所以y关于x的线性回归方程为． 当 时，， 故当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆． 17. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在上的最大值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数研究函数单调性，从而得最值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，综合可得出函数的单调性. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，当或 时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，函数在上的最大值为； 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，由，可得，， 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时， ，此时，函数单调递增， 当时，对任意的 ， ， 此时，函数在上单调递增； 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时， ，此时，函数单调递增， 综上所述，当时，函数在、上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在、上的单调递增，在上单调递减. 18. 从2020年开始，新高考数学试卷中出现了一种新的题型多选题.教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的得分率，也有利于提高试卷的区分度.新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得6分.对而不全得3分，选项中有错误得0分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为 ，有3个选项正确的概率为 ，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中： （1）小明可以确认一道多选题的选项 是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得6分的概率为，求； （2）小明可以确认另一道多选题的选项 是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选 不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）分别求出方案①，方案②，方案③的得分或者得分期望值，然后根据得分情况选择方案即可． 【小问1详解】 （1）根据题意可知，不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件A1，“有3个选项正确”为事件A2，“小明该题得6分”为事件B， 则，解得； 【小问2详解】 若小明选择方案①，则小明的得分为3分， 若小明选择方案②，记小明该题得分为X， 则X的可能取值为0，3，6，对应概率为： ， ， ， 故， 若小明选择方案③，记小明该题得分为Y， 则Y的可能取值为0，6，对应概率为： ， ， 故， E（Y）＜E（X）＜3， 故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案①． 19. 从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为 .牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在 轴找初始点，然后作在点处切线，切线与 轴交于点，再作在点处切线（ 轴，以下同），切线与 轴交于点，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近 .于是，求 近似解的过程转化为求，若设精度为 ，则把首次满足 的称为 的近似解. （1）设 ，试用牛顿法求方程 满足精度 的近似解（取 ，且结果保留小数点后第二位）； （2）如图，设函数； （i）由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释？ （ii）若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和. 【答案】（1） （2）（i）证明：设，则， 因为，所以 ， 则处切线为， 切线与 轴相交得， ，即为定值，根据牛顿法，此函数没有零点； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程 的近似值； （2）（i）设，则，由，求得点处的切线方程，得到，即可得证； （ii）再根据 得到，从而，求解； 【小问1详解】 由函数 ，则 ， 切线斜率 ， , 那么在 点处的切线方程为 ， 所以，且 ， ， , 那么在点处的切线方程为， 所以 ，且 ， 故用牛顿法求方程 满足精度 的近似解为 ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为 得， 所以，， 所以， ， ． 故所得前n个三角形的面积和为 . 【点睛】关键点点睛：根据，利用叠加法得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $