精品解析：安徽省蚌埠市五河第一中学2023-2024学年高一下学期阶段性测试数学试卷

2023-2024学年度五河一中第二学期阶段性测试 数学试卷 一、单选题 1. 已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求得复数，从而得到结果. 【详解】依题意，得 ， 故. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 3. 已知平面向量满足，且，则向量的夹角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果. 【详解】， ， 所以， 可得， 即，， 设两向量夹角为， 则， ， ， 即为，故选A. 【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）. 4. 等于（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可求三角函数式的值. 【详解】由于， 于是， ， ， 三式相加即得． 故选：A 5. 将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变换规律求得的解析式，进而得的解析式，再利用三角函数的单调性求得的范围． 【详解】将的图象横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象． ， 由，， 得， ∴的增区间为， 若在上单调递增，则， ∴且，∴且， 又，∴当时，， 故答案为：B． 6. 已知中，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求出的最大值． 【详解】因为， 所以， 即 所以，由余弦定理得： ， 即， ， 当且仅当即时取等号， 显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时， 所以，即的最大值是． 故选：D． 7. 在中，，，，若，若，则的值为（ ） A. 2或 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件判断出三点共线，然后根据向量数量积列方程，化简求得的值. 【详解】设是的中点， 由于，所以， 所以三点共线，且， ，且， 所以， 令，则， 所以 ， 解得，则，解得. 故选：D 8. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案. 【详解】当，， 因为在上单调递增，故，则； 当，，且，， 又因为在上有且仅有1个零点， 故讨论两种情况： ①， ②， 综上：的取值范围为， 故选：C. 二、多选题 9. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ） A. ，则的外接圆半径是4 B. 若，则 C. 在，解三角形有两解． D. 已知，则； 【答案】BD 【解析】 【分析】A、B、C选项直接由正弦定理进行判断即可；D选项利用余弦定理判断即可. 【详解】对于A，设外接圆半径为，则，故，A错误； 对于B，由可得，又，故，B正确； 对于C，由可得，又，所以，三角形只有一解，C错误； 对于D，由可得，故，又，故，D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，均为单位向量．若，则在上的投影向量为 B. 是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的重心； C. 已知为的外心，边长为定值，则为定值； D. 若点满足，则点是的垂心. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据数量积的运算律得到，然后求投影向量即可；BCD选项，根据平面向量四心的结论判断即可. 【详解】A选项，，因为为单位向量，所以， 所以在上的投影向量为，故A正确； B选项，设中点为，则， 又，所以点三点共线，且点为射线上的动点，通过三角形的重心，故B正确； C选项，， 因为、为定值，所以为定值，故C正确； D选项，表示在、上的投影相等，即点到、的距离相等，所以点在角的角平分线上， 同理可得点在角的角平分线上，即点为内心，故D错. 故选：ABC. 11. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【详解】是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错； 由得，所以， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，， ，C正确； 由得， 所以， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错． 故选：BC． 三、填空题 12. 已知平面向量，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由平行向量的坐标表示可得，再由两角差的余弦公式和同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】因为平面向量，若， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 13. 已知复数满足，则的最大值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】确定表示复数几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离为， 所以的最大值为. 故答案为：5 14. “弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由面积之比得到，不妨设，，再由锐角三角函数推导出，，将两式相乘结合诱导公式及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为小正方形与大正方形的面积之比为，所以， 设，则，又， 不妨设，，所以，， 所以， 又，，所以， 又，所以，， 所以，即， 所以，即， 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知，且是第三象限角. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得和，得到，再由正切的倍角公式，即可求解； （2）由（1），结合，代入即可求解. 【小问1详解】 解：由， 可得，因为是第三象限角，可得，所以. 则. 【小问2详解】 解：由（1）知且， 可得. 16. 在复数范围内有关于的方程. （1）求该方程的根； （2）求的值； （3）有人观察到，得，试求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求根公式即可求解复数根. （2）对目标式子变形，代入即可求值. （3）由于，结合，即可求解. 【小问1详解】 因为， 则在复数范围内由求根公式可得方程的根为， 则，. 【小问2详解】 因为，所以，则， 由（1）知，故. 【小问3详解】 因为，所以， 所以 . 17. 如图，在等腰梯形中，，，点为边上靠近点的六等分点，为中点． （1）用表示； （2）设为中点，是线段（不含端点）上的动点，交于点，若，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算法则求解； （2）设，将通过用表示，在根据共线，将通过用表示，然后利用平面向量基本定理列方程求出的关系，代入求范围即可. 【小问1详解】 由已知得 ； 【小问2详解】 设， 则，， ， 由于共线，设， 则， 所以，所以， 因为是线段（不含端点）上的动点， 所以，所以， 所以， 当时，. 18. 已知， （1）若，求的值； （2）在三角形ABC中，若，求的最大值； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用角的变换即可求解； （2）由条件先求角，再求出角的范围，利用三角恒等变换化简转换，结合角的范围，即而求解最大值； （3）由题意把转化为，利用换元法及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 函数, 因为，所以， 所以， . 【小问2详解】 由， 而，可得，即， 所以， 因为，所以, 则， 故当时，取最大值，最大值为． 【小问3详解】 由（1）可知 , 令，因为，所以，从而， 则即为：在上恒成立， 所以在在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立． 所以，即实数a的取值范围为. 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． （1）求的值； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理将角化为边，再根据余弦定理，即可求解； （2）首先根据三角形的面积公式求解和的正弦和余弦，再利用两角和的正弦公式求，最后代入三角形的面积公式； （3）根据向量的线性关系，以及平面向量基本定理，表示，再利用所设变量，转化为函数关系求值域. 【小问1详解】 由， 由正弦定理，可得， 由余弦定理，可得， 得，且，所以； 【小问2详解】 由为边上中线，可得， 则， 由，可得， 则，则， 则， ， 则； 【小问3详解】 由，可得， 设， 由的面积为面积的，可得， 则，则，设，由为中线，可得， 则，由共线可得， ， 由可得， 由，可得，则 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由面积公式得，从而利用向量转化求数量积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度五河一中第二学期阶段性测试 数学试卷 一、单选题 1. 已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，且，则向量的夹角为 A. B. C. D. 4. 等于（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，若，若，则的值为（ ） A. 2或 B. C. 1 D. 2 8. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ） A. ，则的外接圆半径是4 B. 若，则 C. 在，解三角形有两解． D. 已知，则； 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，均为单位向量．若，则在上的投影向量为 B. 是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的重心； C. 已知为的外心，边长为定值，则为定值； D. 若点满足，则点是的垂心. 11. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题 12. 已知平面向量，若，则______． 13. 已知复数满足，则的最大值为__________． 14. “弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为________． 四、解答题 15. 已知，且是第三象限角. （1）求的值； （2）求的值. 16. 在复数范围内有关于的方程. （1）求该方程的根； （2）求的值； （3）有人观察到，得，试求的值. 17. 如图，在等腰梯形中，，，点为边上靠近点的六等分点，为中点． （1）用表示； （2）设为中点，是线段（不含端点）上的动点，交于点，若，，求的取值范围． 18. 已知， （1）若，求的值； （2）在三角形ABC中，若，求的最大值； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． （1）求的值； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $