江苏省淮安市2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试卷

高二数学 第1页（共 4页） 2023—2024学年度第二学期高二年级期末调研测试 数学试题 2024.06 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．集合     ( , , ) 0,1 , , 2,3,4A x y z x y z   中元素的个数为 A. 18 B. 12 C. 8 D. 5 2．下列求导运算正确的是 A. 1(ln 2) ' 2  B. 3(e ) ' 3e C. 1( ) 'x xa x a   D. (cos ) ' sinx x  3．已知空间向量 (2,1,0), ( 1, ,3), (0,0,1)a b t c       ，若向量 , ,a b c    共面,则实数 t为 A. 1 B. 1 2  C. 3 D. 3 4 4．已知随机变量 ~ (4, )X B p ,若 8( 2) 27 P X   ,则 p  A. 1 4 B. 1 4 或 3 4 C. 1 3 D. 1 3 或 2 3 5． 正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， E为 AB中点，则直线 1A E， 1C D所成角的余弦值为 A. 15 15 B. 10 10 C. 1 2 D. 3 3 6．随机变量 X 的概率分布为 ) , ( 1,2,3,4) 10 kP X k k  ( ，则 (2 1)D X   A.1 B.2 C.3 D.4 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答 案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，只要将答题卡交回。 高二数学 第2页（共 4页） 7．三棱锥 P ABC 中， PAB△ ， ABC△ 均为边长为 2的等边三角形，平面 PAB  平面 ABC，则三棱锥 P ABC 的外接球表面积为 A. 5π 3 B. 10π 3 C. 20π 3 D. 40π 3 8．函数 1( ) lnf x x x   ， ( ) e xg x x  ，若存在正数 1 2,x x ，使得 1 2( ) ( )f x g x ，则 1 2 x x 的 最小值为 A. 1 e B. e C.1 D. e 1e  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．为了探讨学生的物理成绩 y与数学成绩 x之间的关系，从某批学生中随机抽取 10名学 生的成绩 ( , )( 1,2, ,10)i ix y i   ，并已计算出 80x  ，物理成绩 y关于数学成绩 x的线性 回归方程为  0.8 12.5y x  ， 下列说法正确的有 A． 76.5y  B．相关系数 0r  C． 样本数据 (70,65)的残差为 3.5 D．当某学生数学成绩为 100时，物理成绩一定为 92.5 10．已知 3 2 n x x       的展开式第 6项和第 8项的二项式系数相等，下列说法正确的有 A. 12n  C.展开式中有理项共有 3项 B. 第 3项的系数为 66 D.奇数项系数和为 123 1 11．已知函数 ( ), ( )f x g x 的定义域均为 I ，若存在函数 ( ) ( , )p x kx b k b  R ，使得函数 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )F x f x p x G x p x g x    在 I 上有 '( ) 0, '( ) 0, ( ) 0, ( ) 0F x G x F x G x    恒 成立，则称 ( ), ( )f x g x 为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴” 函数的有 A. 3( ) , ( ) , (1, )f x x g x x I    B. 2 1( ) , ( ) e , (e, ) e x x xf x g x I     C. ( ) sin , ( ) cos , (π, )f x x g x x I    D. ln 1 1( ) , ( ) , (1, ) ln x xf x g x x I x x       三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．随机变量 ~  01N ， ，    x P x  ≤ ，若  1.53 0.063   ，则  1.53P    ____． 13．已知 ( ) e 1xf x x   ，过点 (2, )m 作 ( )f x 的切线，若切线斜率为1，则m  _________． 14．已知甲、乙两袋中装有除颜色外其它完全相同的小球，甲袋中有 1只白球和 3只红 球，乙袋中有 2只白球和 3只红球，先从甲袋中取 2只球放入乙袋，再从乙袋中取 2 只球，则从乙取出的 2只球都是红球的概率为_________． 高二数学 第3页（共 4页） 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 已知 2( ) lnf x ax x  ， a为常数. （1）若 1 2 a  ，求 ( )f x 在 1[ ,2] 2 上的单调区间； （2）若 0a≤ ， ( )y f x 在 1[ , ]e e 上的最小值为 2 ，求 a的值． ▲ ▲ ▲ 16．（15分） 我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年 6月 3日，嫦娥六号完成了人类首次月球 背面智能采样工作，并于 6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月 球资源提供了保证.为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比 较关注”），某校随机抽取男生和女生各 50名进行调查，数据表明：男生中有 90%的同 学“十分关注”，女生中有 60%的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. （1）根据条件，列出 2 2 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为对探月工程的关 注程度与性别有关； （2）在以上“十分关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取 10人组成科技兴趣小 组，再在这 10人中随机抽取 3人进行重点培训，求这 3人中至少有 2名男生的概率. 附：        2 2 , n ad bc a b c d a c b d        其中 n a b c d    . 2 0( )P x ≥ 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 0x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ▲ ▲ ▲ 17．(15分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩形， PA 平面 ABCD， 5PB  ， 6PC  ， 2PD  . （1）证明：平面 PAB 平面 PBC； （2）求二面角 B PC D  的余弦值； （3）求点C到平面 PBD的距离. ▲ ▲ ▲ P A B CD 高二数学 第4页（共 4页） 18．（17分） 一只不透明的口袋中放有形状、大小完全相同的 4个黑球和 2个白球，若每次摸一 个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得 1分，摸到白球得 1 分，用随机变量 表示 k 次摸球后得 1分的总次数，用随机变量 X 表示 k 次摸球后总得分. （1）若摸球100次. ①求 的数学期望； ②求 X 的数学期望； （2）当摸球次数 k 为何值时， 4X  的概率取得最大值. ▲ ▲ ▲ 19．（17分） 已知函数 1( ) ln xf x x   . （1）若 ( ) ( )F x mx f x  在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围； （2）若 ( ) ( ) ( )G x x a f x  . ①是否存在实数 a使得 ( )G x 的图象为轴对称图形，若存在，求 a的值，若不存在， 说明理由； ②函数 ( )H x  1( )G x 在 (2, ) 上有且仅有一个极值点，求正实数 a的取值范围. ▲ ▲ ▲ 准安市2023~2024学年度第二学期期末调研测试 高二数学参考答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.A2.D3.B 4.D5.B6.D 7.C 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABC 10.AC 11.BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.0.874 13.3 8 4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1Df=2r-nx,定义域为0+m,f)=x-,令f)>0有x>1. ·f)在刂上单调递减，在山，2)]上单调递增. …6分 (2))=2ar-,a≤0时，x>0,∴f)<0.f)在，d上单调递减。 fx)m=f(e)=ae2-1=-2.… -11分 解得a=-1 <0，符合题意 1 ∴a= e2 ……13分 16.(1)由题意可得2×2列联表： 男 女 合计 十分关注 45 5 50 比较关注 30 20 50 合计 75 25 100 2=45×20-30×5y =12>10.828. …5分 50×50×75×25 ∴.有99.9%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关. …6分 (2)由题意，10人中男生6人，女生4人. …9分 记“3人中至少有2名男生”为事件A,则 P()-C-C2 2 C。C3 …15分 17.(1),PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,∴.PA⊥BC.,底面ABCD为矩形， ∴.BC⊥AB,又'AB∩PA=AABC平面PAB,PAC平面PAB,∴.BC⊥平面PAB.3分 ,BCC平面PBC,∴.平面PAB⊥平面PBC.… …4分 (2)设AB=a,AD=b,AP=c,由题意有 a2+b2=5 b2+c2=2 ,解得a=2,b=1,c=1.- 6分 a2+b2+c2=6 以{AB,AD,A户为基底建立如图所示的空间直角坐 标系.则有B(2,0,0),C(2,1,0),D0,10),P0,0,1).则 PB=(2,0,-1),PC=(2,l,-1) (n.PB=0 设平面PBC的一个法向量n=(K,,z), n.PC=0 [2x-z=0 2x+y-z=0 令x=1,有n=(1,0,2).… …8分 取PD中点M,则有AM⊥PD.又CD⊥平面PAD,AMc平面PAD,有 AM⊥CD.又，PD∩CD=D,PDc平面PCD,CDc平面PCD,∴.AM⊥平面 PCD,平面PCD的法向量i=0为，设=面角B-PC-D为a,易知a为能 1 o 角，则有cosa= 1m-w5.5 5, …10分 (3)PB=BD=5,PD=V2,易得PBD的PD边上的高为3N …11分 2 设点C到平面PBD距离为d,'nCD='c-PD,.SPsd=SABCD PA,则有 1352d=21,解得d 3 …15分 22 2 （1)PA0=”,PB=mPB1A0=m=PL4B ,∴P(AB)= n 18. m+n m+n m+n P(A) (m+n) ∴P(AB)=P(A)PB),,事件A与事件B相互独立. …5分 (2)①得1分（摸到黑球）的总次数为1，则得-1分（摸到白球）的次数为100-7. 易得7B10,3,B0)=10 2200 33 …8分 X=Ly+(-)-00-月=2Y=100,EX0=2EM-100=100 …10分 ②设摸球k次时X=4,则k为偶数，且摸到黑球的次数比白球多4次 令k=2n,neN,PX=4=C2,(月2月 …12分 (k+2)1 fk+2) 宁专+-2 f(k) k! 33 (专+2-2 2(k+1)k+2) 9+ 8k+1k+2≥1… 9k-2)(k+6) …15分 化简得k2+12k-124≤0，∴k≤6时，f(k+2)>f),k≥8时fk+2)<fk). .k=8时P(X=4)有最大值.… …17分 19.(1)F(x)=m- x+由题意知F()≥0对xe(0,)恒成立，即m≥ 1,1 1 x-x 令g)一文8在0的上单调适地，在兮上单调建花 则有gm=g兮=4，m≥4. …4分 (2)①G定义域为Q,猜测G)对称轴为x=,此时a=下证结论成立. 1 1 -x +x +=xh-n子=c0. 7分 2*x 存在a=行使得G)关于x=号对称 …8分 ②H)=(-a)ln(x-),H)定义域为(2，+o) =-+g0d=-0+g的 m()=IGx-1 m()2a-Dxxax+1-2a) ，…10分 x-1 (x-1)2 (-1) 当a>0时，ar+1-2a>0,m'(x)>0,m(x)在(2，+oo)上单调递增，m(2)=2(2a-). 若a≥行，则有>0，此时H)=子m<0,)在2+四上单调递减，无极 值。… …12分 若0<a<分m2-2a-<0,当>2时 m(x)=In(x-1)-xar >--l m(e+D)>Ine-1-1 15分 又m(x)在(2，+o)上单调递增，，∴3x。∈(2，e2+1),使得m(x)=0 且有x∈(2，)时m(x)<0,x∈(Ko,e2+)时m(x)>0,x=x为H()的唯一极值点. 综上，0<a<2 1 …17分