精品解析：2024年广东省深圳市松泉实验学校中考模拟数学试题

广东省深圳市松泉实验学校2024年中考模拟数学试题 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 当前，手机移动支付已成为当下流行的消费支付方式．如果在微信零钱记录中，收入100元，记作元，那么支出50元应记作为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正数与负数的意义，掌握与理解正数与负数的意义是解题的关键． 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两个量，根据正数与负数的意义即可得出． 【详解】微信零钱收入与微信零钱支出是具有相反意义的量， 收入100元，记作元，那么支出50元应记作为元， 故选：B． 2. 下列四个运动会项目图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 3. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，将嫦娥六号探测器直接送入近地点高度约200公里，远地点高度约380000公里的预定地月转移轨道．将380000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意； B. ，故选项B正确，符合题意； C. 与不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意； D. ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 5. 某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡时间，统计结果如表： 时间/小时 7 8 9 10 人数 6 9 11 4 这些学生睡眠时间的众数、中位数是（ ） A. 众数是11，中位数是8.5 B. 众数是9，中位数是8.5 C. 众数是9，中位数是9 D. 众数是10，中位数是9 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义，即可求解． 【详解】解：睡眠时间为9小时的人数最多，学生睡眠时间的众数是9小时， 一共有30个学生，睡眠时间从小到大排序后，第15、16个数据分别是：8，9，即：中位数为8.5． 故选B． 【点睛】本题主要考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义，是解题的关键． 6. 如图，菱形的对角线，相交于点O．若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴是等边三角形， ， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ， 故选：C． 7. 如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数的定义以及函数图象的识别．探究大水杯中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，从而确定图象． 【详解】解：开始往大水杯中均匀注水，h的值由0逐渐增大，当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时变慢． 观察四个图象，选项C符合题意． 故选：C． 8. 小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了.设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据公共汽车的平均速度为x千米/时，得出出租车的平均速度为（x+20）千米/时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了，得出分式方程即可． 解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时， 根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：×， 根据题意得出： =×， 故选A． 9. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ） A. 80米 B. 米 C. 160米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴米， 在中，米． 即该主塔的高度是米． 故选：B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10. 如图1，中，点P从点A出发，沿匀速运动，过点作，垂足为，设点到点的距离为，的面积为，则关于的函数图象如图2所示，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，勾股定理，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． 当点运动到点处时，求出，再利用，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，当点运动到点处时， 由图2得，，的面积， ， ， ，， ， 得， ， ， ． 故选：C． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，1个白球，从布袋中摸出1个球，则摸出红球的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．用红球的个数除以球的总个数即为所求的概率． 【详解】解：∵在一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球， ∴从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率为． 故答案为：． 12. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 【详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 13. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可． 【详解】解：设的半径是r， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为10． 故答案为：10． 14. 如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．先求得每个小正方形的边长，再求得与，利用相似三角形的性质结合勾股定理求得点的坐标，据此求解即可． 【详解】解：作轴于点， ∵，，且， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：24． 15. 如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交、于点G、F，且．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，可得，，利用，结合矩形的性质证明，即，设，而，则，，，再求解，由折叠可得：，，利用 ，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴四边形是矩形， 则，， ∵， ， ∵矩形， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴设， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键． 三、解答题（本题共7小题，共55分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握零次幂，特殊角的三角函数值的计算，二次根式的性质化简，绝对值的性质化简等知识是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键． 先化简括号，再将除法转化为乘法，最后进行加减运算，再将代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 幸福社区开展“共建节约型社区 活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取社区50名居民，对其2024年5月1日（劳动节）当天使用塑料袋数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表： 信息Ⅰ：使用塑料袋数量频数分布表 组别 使用塑料袋数量(个) 频数 A 5 B m C 11 D 14 E n 合计 50 信息Ⅱ：使用塑料袋数量扇形统计图 信息Ⅲ： C组包含的数据：10，10，11，11，11，12，12，13，13，13，14． 请结合以上信息完成下列问题： （1）统计表中的 ， ； （2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 度； （3）抽取的50名居民2024年5月1日当天塑料袋使用数量的中位数是 ； （4）已知该社区中2024年5月1日当天有3000名居民参加这次活动，请估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数． 【答案】（1）10，10 （2）36 （3）13.5个 （4）1440名 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，理解题意，能从表和统计图中准确获取信息是解答的关键． （1）先用样本人数乘以B组所占的百分数求得m值，进而可求得n值； （2）用乘以A组所占的比例可求解； （3）利用中位数的求解方法求解即可； （4）用当天总人数乘以样本中当天使用塑料袋的数量不少于15个所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， 故答案为：10，10； 【小问2详解】 解：A组对应扇形的圆心角为， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：将50个数据从小到大排列，第25和第26个数据为13和14， ∴当天塑料袋使用数量的中位数是（个）， 故答案为：13.5个； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数为1440名． 19. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）每盒产品的成本为30元 （2）当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设原料单价为元，则原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元 【小问2详解】 根据题意，得， 关于的函数解析式为：； ∴， ， 抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 20. 如图，已知中，． （1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） ①的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线与相交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径画圆，交边于点M． （2）在（1）的条件下求证：是的切线； （3）若，，求的半径． 【答案】 （1）作图如图所示： （2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠ADC+∠ODA=90°，即∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴是的切线； （3）6． 【解析】 【分析】（1）①按照题意，用尺规作图画角平分线即可；②按照题意，用尺规作图画垂直平分线即可；③按照题意，用圆规作图画圆即可； （2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，导角证∠ODC=90°即可； （3）由（2）可得OD∥AC，进而证△BOD∽△BAC，列出比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可知，OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图、切线的证明和相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用尺规作图，准确应用相关性质进行推理运算． 21. 综合与实践 主题：设计高速公路的隧道 情境素材 素 材 1 高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶． 素 材 2 据调查，一般的大型货车宽，车货总高度从地面算起不超过．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于． 素 材 3 某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）．每条车道的宽为（其中），车道两端（、）与隧道两侧的距离均为． 问题解决 问 题 1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度的合理范围． 问 题 2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分，．求抛物线的解析式． 【答案】， 【解析】 【分析】问题一：根据车道的宽度范围，结合，即可求解， 问题二：中点，建立坐标系，作，求出点点的坐标，代入抛物线表达式，即可求解， 本题考查了，二次函数的应用，解题的关键是：根据题意建立坐标系． 【详解】解：问题1：∵每条车道的宽为（其中），，，， ∴， ∵ ∴， 问题2：取中点，以为轴，建立坐标系，作交抛物线于点， 设抛物线表达式：， ∵，，， ∴， 由题意得：， ∴， 将、代入， 得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：， 故答案为：，． 22. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究： 如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则　　°． 如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：． 如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式． 【答案】 25； 证明：将沿直线折叠后，当点恰好落在上时， ，，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【解析】 【分析】图1：由余角的性质和折叠的性质可求解； 图2：由“”可证，可得，，由锐角三角函数可求解； 图3：由“ ”可证，可得，，由锐角三角函数可求解； 【详解】解：如图1，，， ， 将沿直线折叠后，点落在点处， ， ； 如图2，略 如图3，解：将沿直线折叠后，当点恰好落在上时， ，，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市松泉实验学校2024年中考模拟数学试题 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 当前，手机移动支付已成为当下流行的消费支付方式．如果在微信零钱记录中，收入100元，记作元，那么支出50元应记作为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列四个运动会项目图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，将嫦娥六号探测器直接送入近地点高度约200公里，远地点高度约380000公里的预定地月转移轨道．将380000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡时间，统计结果如表： 时间/小时 7 8 9 10 人数 6 9 11 4 这些学生睡眠时间的众数、中位数是（ ） A. 众数是11，中位数是8.5 B. 众数是9，中位数是8.5 C. 众数是9，中位数是9 D. 众数是10，中位数是9 6. 如图，菱形的对角线，相交于点O．若，则（ ） A. B. 3 C. D. 7. 如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了.设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是( ) A. B. C. D. 9. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ） A. 80米 B. 米 C. 160米 D. 米 10. 如图1，中，点P从点A出发，沿匀速运动，过点作，垂足为，设点到点的距离为，的面积为，则关于的函数图象如图2所示，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，1个白球，从布袋中摸出1个球，则摸出红球的概率为_______． 12. 分解因式3x3-12x=________ 13. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为_______． 14. 如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则______． 15. 如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交、于点G、F，且．若，，则_______． 三、解答题（本题共7小题，共55分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 幸福社区开展“共建节约型社区 活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取社区50名居民，对其2024年5月1日（劳动节）当天使用塑料袋数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表： 信息Ⅰ：使用塑料袋数量频数分布表 组别 使用塑料袋数量(个) 频数 A 5 B m C 11 D 14 E n 合计 50 信息Ⅱ：使用塑料袋数量扇形统计图 信息Ⅲ： C组包含的数据：10，10，11，11，11，12，12，13，13，13，14． 请结合以上信息完成下列问题： （1）统计表中的 ， ； （2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 度； （3）抽取的50名居民2024年5月1日当天塑料袋使用数量的中位数是 ； （4）已知该社区中2024年5月1日当天有3000名居民参加这次活动，请估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数． 19. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 20. 如图，已知中，． （1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） ①的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线与相交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径画圆，交边于点M． （2）在（1）的条件下求证：是的切线； （3）若，，求的半径． 21. 综合与实践 主题：设计高速公路的隧道 情境素材 素 材 1 高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶． 素 材 2 据调查，一般的大型货车宽，车货总高度从地面算起不超过．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于． 素 材 3 某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）．每条车道的宽为（其中），车道两端（、）与隧道两侧的距离均为． 问题解决 问 题 1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度的合理范围． 问 题 2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分，．求抛物线的解析式． 22. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究： 如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则　　°． 如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：． 如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $