精品解析：广东省深圳高级中学北校区2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

2023-2024学年广东省深圳高级中学北校区九年级（下）第15周月考数学试卷 一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案涂在答卷相应位置上，否则不给分．） 1. 一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 某高速（限速）某路段的车速监测仪监测到连续辆车的车速分别为：（单位：），则这组数据的中位数为（ ） A B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一块含角的直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图分别是个高压电塔的位置．已知电塔两点水平之间的距离为米（），，则从电视塔到海拔上升的高度（的长）为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则（ ） A. B. C. 1 D. 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11 分解因式：___． 12. 已知方程的一个根是，则m的值是_______． 13. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交于点D和点E，若，，则的周长为______． 14. 如图，正方形放置在直角坐标系中，反比例函数经过点和边的中点，已知，则的值为______． 15. 如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则______． 三．解答题（本题共7小题，共45分） 16 计算： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 某校开展了中国传统文化知识的宣传活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 优秀 60 0.6 良好 a 0.25 合格 10 b 基本合格 5 005 合计 c 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）补全条形统计图； （3）在“优秀”中有甲乙丙丁四个人，随机抽2人恰好抽到甲乙2人的概率是________； （4）该学校共有1200名学生，估计测试成绩等级在良好及以上（包括良好）的学生约有多少人？ 19. 某初三某班计划购买定制钢笔和纪念卡册两种毕业纪念礼物，已知购买支定制钢笔和本纪念卡册共需元，购买支定制钢笔和本纪念卡册共需元． （1）求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？ （2）该班计划购买定制钢笔和纪念卡册共件，总费用不超过元，且纪念卡册本数小于定制钢笔数量的倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？ 20. 如图，是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接，，点P为线段延长线上一点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）作的角平分线，交于点M，交于点N． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，求_______． 21. 根据以下索材，探索完成任务． 你知道羽毛球的比赛规则吗? 问题背景 素材1 如图，在羽毛球单打比赛中，场地的边界线分为左右边界和前后边界．球员站在自己一方的后场发球，将球发到对角的对方的后场，或使用其他技巧将球发到对方的前场． 素材2 球员在发球时，必须将球击过网并发到对方场地的对角后场边界之内．如果球落在边界之外，则发球失分．在接发球时，球员必须站在自己一方的接发球区域内接球． 素材3 如图2，若发球队员的击球点距离地面1米，网高1.55米，对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与击球点水平距离为8.68米，羽毛球的运行轨迹可以抽象为抛物线的一部分图象． 问题解决 条件 在水平地面上建α轴．过击球点A向水平地面做垂线，建y轴．在平面直角坐标条件系中，发球人的击球点A的坐标为．（以下三次发球均为有效发球，不考虑左右边界） 任务1 第一次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足，此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米，且抛物线恰好关于球网对称，如果按轨迹运行，羽毛球能够过网并落在对方前场． 请问此时的羽毛球是否出界?请说明理由． 任务2 第二次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为4米，此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米． 请问此时的羽毛球过网了吗?请说明理由． 任务3 第三次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为8米，球网与发球人的击球点的水平距离为2米，此时对方球员站立的地点与球网的水平距离为3米，该球员向上伸直手臂挥拍的最大高度为2.2米．（参考数据：） 请问该球员至少要后退多少米才能接到球?请说明理由． 22. 在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N． （1）【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论； （2）【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若．连接交于点G．求的长； （3）【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年广东省深圳高级中学北校区九年级（下）第15周月考数学试卷 一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案涂在答卷相应位置上，否则不给分．） 1. 一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数的加减运算法则列式计算即可，在列式时要注意上升是加法，下降是减法． 【详解】解：根据题意可列式﹣7+10﹣8=﹣5， ∴半夜的气温是﹣5℃． 故选：B． 【点睛】本题主要考查正负数在实际生活中的应用以及有理数加减混合运算，准确根据题意列式运算是解题关键． 2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 3. 一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式即可求解． 【详解】解： 不等式两边同时乘以得，， 移项得，，含有“”符号，用实心点表示，表示在数轴上，如图所示， 故选：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，掌握解不等式的性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键． 4. 某高速（限速）某路段的车速监测仪监测到连续辆车的车速分别为：（单位：），则这组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，当这组数据的个数是偶数时，取中间两个数的和的一半，当这组数据的个数是奇数时，取中间的数，由此即可求解． 【详解】解：数据重新排序为， ∴中位数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查中位数，理解并掌握中位数的计算方法是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则逐项判断即可． 【详解】A．，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D．，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 6. 一块含角的直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平角的定义得到，再根据三角形外角性质得到，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直尺的对边互相平行， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质及三角形外角性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及三角形外角的性质是解题的关键． 7. 某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得甲的进价是元，根据用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件列出方程即可 【详解】解：设乙的进价为x元，则甲的进价是元，根据题意得， ， 故选：C 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8. 如图分别是个高压电塔的位置．已知电塔两点水平之间的距离为米（），，则从电视塔到海拔上升的高度（的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中根据的正切值即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查直角三角形中正切的计算，理解正切的计算方法是解题的关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵次函数的图象经过一、三、四象限， ∴，， 对于二次函数的图象， ∵，开口向上，排除A、B选项； ∵，， ∴对称轴， ∴D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键． 10. 如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，首先证明，再利用平行线分线段成比例定理求出，推出，，可得结论． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数，设正方形的边长为，求出，． 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【详解】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 已知方程的一个根是，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入，得， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交于点D和点E，若，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹， 是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故答案：． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 14. 如图，正方形放置在直角坐标系中，反比例函数经过点和边的中点，已知，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，，过点作轴于，过点作轴于，证明，得，，从而得点，则，证明，得，，得点，进而求出点，则，可得，解出即可得解． 【详解】解：∵点， ∴， 设，则，， 如图，过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， 整理得：t2﹣3t﹣8＝0， 解得：，或（不合题意，舍去）， 当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，反比例函数的图像，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识点．解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定和性质，理解函数图像上的点的坐标满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图像上． 15. 如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，设，过作交于，根据，设，，根据可得，，再延长、交于点，即可得到，求出，，然后根据得到，可以求出，最后求出即可． 【详解】过作交于，延长、交于点， ∵ ∴设， ∵， ∴设，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴, ∵矩形， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 整理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，难度比较大，解题的关键是设未知数表示线段并求出不同未知数的关系． 三．解答题（本题共7小题，共45分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据非零数的零次幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负指数幂的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查实数的综合运算，掌握非零数的零次幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负指数幂的运算法则是解题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 18. 某校开展了中国传统文化知识宣传活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 优秀 60 0.6 良好 a 0.25 合格 10 b 基本合格 5 0.05 合计 c 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）补全条形统计图； （3）在“优秀”中有甲乙丙丁四个人，随机抽2人恰好抽到甲乙2人的概率是________； （4）该学校共有1200名学生，估计测试成绩等级在良好及以上（包括良好）的学生约有多少人？ 【答案】（1）25；0.1；100 （2）见解析 （3） （4）1020 【解析】 【分析】（1）由优秀人数除以频率得出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由（1）的结果，补全条形统计图即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可； （4）由学校总人数乘以等级在良好以上（包括良好）的学生的频率即可． 【小问1详解】 抽取的学生人数为：（人）， ∴， ∴， 故答案为：25，0.1，100； 【小问2详解】 补全条形统计图： 【小问3详解】 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙两名同学同时被选中的概率为． 故答案为：． 【小问4详解】 估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有人数为：（人） 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和频数分布表，由样本的百分比估计总体的数量．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 某初三某班计划购买定制钢笔和纪念卡册两种毕业纪念礼物，已知购买支定制钢笔和本纪念卡册共需元，购买支定制钢笔和本纪念卡册共需元． （1）求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？ （2）该班计划购买定制钢笔和纪念卡册共件，总费用不超过元，且纪念卡册本数小于定制钢笔数量的倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？ 【答案】（1）每支定制钢笔的价格为元，每本纪念卡册的价格为元 （2）种，见解析 【解析】 【分析】（1）设每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为、元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买定制钢笔支，则纪念卡册有本，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为、元， 依题意，得：， 解得：， 答：每支定制钢笔的价格为元，每本纪念卡册的价格为元． 【小问2详解】 解：设购买定制钢笔支，则纪念卡册有本 依题意，得： 解得： 取整数， ＝，，，， 总共有种方案， 分别为： 方案：购买定制钢笔支，纪念卡册本； 方案：购买定制钢笔支，纪念卡册本； 方案：购买定制钢笔支，纪念卡册本； 方案：购买定制钢笔支，纪念卡册本； 方案：购买定制钢笔支，纪念卡册本． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组和不等式组是解题的关键． 20. 如图，是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接，，点P为线段延长线上一点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）作的角平分线，交于点M，交于点N． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，求_______． 【答案】（1）见解析； （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）连接，如图，先根据圆周角定理得到，然后证明，则根据切线的判定方法可得到结论； （2）①利用基本作图作的平分线即可； ②先利用三角形外角性质得到，，再利用等量代换可证明，则判断为等腰直角三角形，进而得出答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵是半圆O的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 ①如图，为所作； ②∵平分， ∴ ∵，， 而， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理和切线的判定． 21. 根据以下索材，探索完成任务． 你知道羽毛球的比赛规则吗? 问题背景 素材1 如图，在羽毛球单打比赛中，场地的边界线分为左右边界和前后边界．球员站在自己一方的后场发球，将球发到对角的对方的后场，或使用其他技巧将球发到对方的前场． 素材2 球员在发球时，必须将球击过网并发到对方场地的对角后场边界之内．如果球落在边界之外，则发球失分．在接发球时，球员必须站在自己一方的接发球区域内接球． 素材3 如图2，若发球队员的击球点距离地面1米，网高1.55米，对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与击球点水平距离为8.68米，羽毛球的运行轨迹可以抽象为抛物线的一部分图象． 问题解决 条件 在水平地面上建α轴．过击球点A向水平地面做垂线，建y轴．在平面直角坐标条件系中，发球人的击球点A的坐标为．（以下三次发球均为有效发球，不考虑左右边界） 任务1 第一次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足，此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米，且抛物线恰好关于球网对称，如果按轨迹运行，羽毛球能够过网并落在对方前场． 请问此时的羽毛球是否出界?请说明理由． 任务2 第二次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为4米，此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米． 请问此时的羽毛球过网了吗?请说明理由． 任务3 第三次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为8米，球网与发球人的击球点的水平距离为2米，此时对方球员站立的地点与球网的水平距离为3米，该球员向上伸直手臂挥拍的最大高度为2.2米．（参考数据：） 请问该球员至少要后退多少米才能接到球?请说明理由． 【答案】任务1：羽毛球未出界，理由见详解 任务2：羽毛球未过网，理由见详解 任务3：球员至少要后退1.4米，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解羽毛球的知识和抛物线的知识在其中的作用是解决本题的关键． （1）根据抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线，可得抛物线经过点．根据第一次发球需要超过3.96米而少于8.68米，可知球未出界； （2）根据抛物线经过点和可得抛物线解析式，算出当时，的值也就求得了此时球的高度，与球网高度比较可得是否过网； （3）根据抛物线经过点，可得抛物线解析式，进而把代入可得的值，减去球网与发球人的击球点的水平距离为2米和对方球员站立的地点与球网的水平距离3米，可得需要后退的距离． 【详解】解：任务1、抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， 抛物线经过点． 对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与击球点水平距离为8.68米，， 羽毛球未出界； 任务2、由题意得：经过点，． ． 解得：． 抛物线解析式为：． 当时，． ， 羽毛球未过网； 任务3、由题意得：经过点，． ． 解得：． ． 当时． ． ． ． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 该球员至少要后退的米数（米． 答：该球员至少要后退1.4米． 22. 在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N． （1）【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论； （2）【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若．连接交于点G．求的长； （3）【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，则，，由翻折的性质得，，，由旋转的性质得，，，，，证明，则，进而可证； （2）由四边形是菱形，是对角线，，可得 ，，由翻折的性质得，，，，，由旋转的性质得，，则，即是的平分线，证明，则．，如图2，连接，证明，则，由，可得，进而可求的长； （3）由题意知，分①在点右侧，；②在点左侧，两种情况求解作答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 由翻折的性质得，，， 由旋转的性质得，，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴，， 由翻折性质得，，，，， 由旋转的性质得，， ∴，即是的平分线， 又∵， ∴， ， ， ， ∴． ∴， 如图2，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折的性质可知，，， ∴， 由题意知，分①在点右侧，；②在点左侧，两种情况求解； ①当在点右侧，时，如图3， 设，则，， 由勾股定理得，， ∴； ②当在点左侧，时，如图4， 设，则，， 由勾股定理得，， 同理①，； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正弦是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$