精品解析：江苏省常州市教育学会2023-2024学年高二下学期6月学业水平监测数学试题

常州市教育学会学业水平监测 高二数学 2024年6月 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. 18 C. D. 8 3. 对于实数，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高近似服从正态分布，且，则在10000位高一新生中身高在区间内的人数约为（ ） A. 2000 B. 4000 C. 6000 D. 8000 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知符号函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 对任意的， C. 函数的值域为 D. 函数的值域为或 10. 现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M：该球为红球，事件：该球出自编号为的袋子，则（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，点的轨迹长度为 B. 若平面，则长度的最小值为2 C. 当时，二面角的余弦值的最小值是 D. 记直线与平面所成角为，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，若存在实数，，使得，请写出的一个可能值：___________. 13. 如图，在半径为8的半圆形纸片中，为圆心，为直径，是弧的中点，是弧的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线与所成角的余弦值是___________. 14. 定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，命题：，为真命题.实数的取值集合记为. （1）求集合； （2）设的定义域为集合，若，求实数的取值范围. 16. 如图，直线平面，四边形是梯形，，，为线段上异于端点的一点，，四边形是平行四边形. （1）若是的中点，求证：平面； （2）求二面角的大小. 17. 在①在区间上单调递增，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数，___________. （1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调增区间. 18. 某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题. （1）对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率； （2）求聊天机器人答对题数的数学期望； （3）答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率. 19. 已知函数，. （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市教育学会学业水平监测 高二数学 2024年6月 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将集合化简，再利用交集运算的定义求解. 【详解】集合， 因为， 所以，即. 故选：B 2. 已知曲线在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. 18 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】借助导数的运算法则求出导数后，结合导数的几何意义计算即可得. 【详解】，由题意，解得. 故选：C. 3. 对于实数，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质 点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件． 4. 从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出从5人中选2人的方法数，再求出选的两人恰有1名男生与1名女生的方法数，然后由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】因为从3名男生与2名女生中选出2人有种选法， 选的两人恰有1名男生与1名女生的有种选法， 所以所求的概率为. 故选：C 5. 某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高近似服从正态分布，且，则在10000位高一新生中身高在区间内的人数约为（ ） A. 2000 B. 4000 C. 6000 D. 8000 【答案】D 【解析】 【分析】借助正态分布的对称性可得，即可得解. 【详解】由，，则， ，故人数约为人. 故选：D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：D. 7. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正切型函数的图像得出，再算出，从而得解. 【详解】由图像可知：，所以， 把代入解析式得：， 因为，取得， 所以，则. 故选：B. 8. 已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解. 【详解】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为：， 即，则有，即， 即，即， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知符号函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 对任意的， C. 函数的值域为 D. 函数的值域为或 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：利用周期函数性质举出反例即可得；对B：将与都写成分段形式即可得；对C、D：利用符号函数，将所给函数化为分段函数形式后结合指数与对数函数的性质分段计算其值域即可得. 【详解】对A：由，当时，，故不是周期函数，故A错误； 对B：，由，则， 故对任意的，，故B正确； 对C：，当时，， 当时，，当时，， 综上所述，函数的值域为，故C错误； 对D：，则时，， 当时，，当时，， 故函数的值域为或，故D正确. 故选：BD. 10. 现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M：该球为红球，事件：该球出自编号为的袋子，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意可知， 故, , 故选：ACD 11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，点的轨迹长度为 B. 若平面，则长度的最小值为2 C. 当时，二面角的余弦值的最小值是 D. 记直线与平面所成角为，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出点坐标，对A：利用空间两点间距离公式计算即可得点轨迹，即可得其长度；对B：借助空间向量求出平面法向量可得点轨迹，即可得其长度的最小值；对C：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点轨迹即可得其范围；对D：求出平面法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，设，，， 对A：，故， 则点的轨迹为以为圆心，为半径，且在正方形内部的半圆， 则点的轨迹长度为，故A正确； 对B：，，， 则，，令平面的法向量为， 则有，可令，则，即， 由平面，则有， 即，则 ，故B错误； 对C：，，， 设平面的法向量为， 则有， 可令，则，，即， 易得轴平面，故平面的法向量可为， 则， 由A知，故，即， 则， 故二面角的余弦值的最小值是，故C错误； 对D：，平面法向量为， 则， 由，，则， 故，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而借助平面的法向量研究位置关系，借助空间向量的夹角公式研究二面角或线面角. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，若存在实数，，使得，请写出的一个可能值：___________. 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】取即可代入求解. 【详解】取，则，满足，此时， 故答案为：2（答案不唯一） 13. 如图，在半径为8的半圆形纸片中，为圆心，为直径，是弧的中点，是弧的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线与所成角的余弦值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的几何特征，结合异面直线所成角的几何法，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】如图， 设圆锥的底面圆半径为，则， 是弧的中点，为等腰直角三角形，故， 过作交底面圆于，则为弧中点，故, 又, 所以， 故异面直线与所成角的余弦值． 故答案为：. 14. 定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题先分析出实数，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可. 【详解】因为，， 所以两个数中有一个负数，不妔设，所以， 由已知可得，所以， 所以，所以， 所以，所以， 由，故的最大值是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，命题：，为真命题.实数的取值集合记为. （1）求集合； （2）设的定义域为集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出的取值范围，即可求出； （2）依题意可得，解得即可求出，再根据，得到，解得即可. 【小问1详解】 因为命题：，为真命题， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 对于函数，则， 即，因为， 解得， 所以，又， 所以，解得，即实数的取值范围为. 16. 如图，直线平面，四边形是梯形，，，为线段上异于端点的一点，，四边形是平行四边形. （1）若是的中点，求证：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得； （2）结合所给位置关系，建立适当空间直角坐标系，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 连接，设其与交于，由四边形是平行四边形，则为中点， 连接，又是的中点，则， 由平面,平面,故平面； 【小问2详解】 由平面，平面，则，， 有，，平面，故平面， 又平面，故，故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、， 则、、, 令平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 令，则有，，，， 即，， 则， 由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为， 则二面角的大小为. 17. 在①在区间上单调递增，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数，___________. （1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出，进而求出函数在上的最值，再结合恒成立的不等式求解即得. （2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数的性质求出递增区间. 【小问1详解】 选条件①：在区间上单调递增， 又，得， 所以满足条件，得， 即，又，所以取，所以； 选条件②：，得， 又，所以，得，所以； 选条件③：，知直线是的一条对称轴， 所以，则． 又，所以． 所以， 当时，，所以， 由恒成立，得， 当时，的最大值为，的最小值为， 则， 所以实数的取值范围． 【小问2详解】 由（1）知， 将函数的图象向右平移个单位后，得， 再将得到的图象上各点的横坐标变为倍，得， 由，得， 的单调增区间是． 18. 某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题. （1）对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率； （2）求聊天机器人答对题数的数学期望； （3）答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率. 【答案】（1） （2）3.75 （3） 【解析】 【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率； （2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到，根据二项分布期望公式求出答案； （3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率. 【小问1详解】 小王能全部答对的概率为； 【小问2详解】 设每次输入的问题出现语法错误为事件A，则， 聊天机器人作答正确为事件， 则 ， 故聊天机器人答对题数， 数学期望； 【小问3详解】 由题意可得小王最少答对4道题， 小王能答对5道题的概率为，答对4道题的概率为， 由（2）知，聊天机器人答对题数， 故机器人能答对5道题的概率为， 机器人能答对4道题的概率为， 故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题， 故机器人获胜的概率为， 小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题， 其中都答对5道题的概率为， 都答对4道题的概率为， 所以小王获胜的概率为. 19. 已知函数，. （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明. 【答案】（1） （2）当时，关于的方程有三个不同的实数根，证明如下： 当时，令，即， 令，则， 由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 故存在，，使， 由，故是方程的一个根， 则，，又时，， 故存在，使，即是方程的一个根， 存在，使，即是方程的一个根， 综上所述，当时，关于的方程有三个不同的实数根. 【解析】 【分析】（1）参变分离后可得在上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解； （2）构造函数，结合导数讨论其单调性，可得其极值点，结合零点的存在性定理即可得其零点个数，即可得方程的实数根的个数. 【小问1详解】 ，则有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 则当时，恒成立， 故在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 即有，故； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于灵活利用零点的存在性定理判断函数是否在某个固定区间内有零点，从而得到方程的根的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $