精品解析：福建省莆田市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

莆田市2023—2024学年第二学期期末诊断 七年级数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列调查中，最适合作全面调查是（　　） A. 了解莆田市初中学生每天阅读的时间 B. 调查莆田市端午节期间市场上粽子的质量情况 C. 检测木兰溪水质的情况 D. 了解某校七年级3班学生的身高情况 4. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时所有秤绳都平行，如图所示，若，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式的解集是，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，甲和乙的杯子中均装有一定量的水，以下是他们的对话： 甲说：“如果把你杯子中的水的一半倒入我的杯中，我的杯子就装满了．” 乙说：“如果把你杯子中水的倒入我的杯中我的杯子也装满了．” 问：甲和乙的杯子中各装有多少水？ 设甲和乙的杯子中分别装水，，可列方程组为（ ） A B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将沿着的正方向向右平移个单位后得到点．有四个点、、、，一定在线段上的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. “与2的差小于的3倍”用不等式表示为 ________． 12. 某校为了了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了频数分布直方图，已知图中第一组至第四组小长方形的高之比为2：3：4：1，那么第三组的频数是______． 13. 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为________． 14. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为_________． 15. 如图，雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B．若目标A位置表示为，则目标B的位置可以表示为 ___________． 16. 如图所示，将三张边长分别为，，正方形纸片按图甲、乙两种方式放置在相同的长方形内（图甲、图乙中三张正方形纸片均有部分重叠），未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图甲中阴影部分的周长为，图乙中阴影部分的周长为，则________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤． 17. ． 18. 解方程组：． 19. 解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 20 如图，已知：，求度数． 21. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．2024年莆田市获评“中国美好生活城市”．某学校积极组织师生参加创建“美好生活城市”志愿者服务活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有 人，请补全条形统计图； （2）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数； （3）为了持续保持“中国美好生活城市”样态，作为莆田市民，你有什么建议？（至少写2条） 22. 随着科学技术的飞速发展，智能机器人逐渐进入越来越多的领域和岗位，更好服务于人们的生活．某酒店为提高服务质量和效率，计划购进，两种型号的送餐机器人，经过市场调查发现，型号的送餐机器人单价比型号的送餐机器人的单价贵300元，3台型号的送餐机器人比4台型号的送餐机器人便宜1400元． （1）求，两种型号的送餐机器人的单价各是多少元？ （2）若该酒店准备用不超过10万元购进，两种型号的送餐机器人共40台，求该酒店最多可以购进型号的送餐机器人多少台？ 23. 人教版七年级下册数学课本第页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． （1）【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即 ．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得， ． 即 ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 24. 在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是． （1）已知点，，． ①若点，，的“近距”是，则的值为 _； ②点，，的“近距”的最大值为_； （2）已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标． 25. 为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了，两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即，．连接，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为秒． 【初步应用】 ①当时，两条光线夹角（锐角）的度数为 ； ②当时，求两条光线夹角（锐角）的度数． 【推理验证】 当时，射线与射线所在直线交于点，请画出图形并说明． 【拓展探究】 当射线首次从转至的过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线垂直，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市2023—2024学年第二学期期末诊断 七年级数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．由题意根据图形平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由图可知B不是平移得到，C不是平移得到，D不是平移得到， A是利用图形的平移得到． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，判断已知点的横坐标和纵坐标的坐标符号情况即可． 【详解】的横坐标，纵坐标 可知在第三象限 故选：C． 3. 下列调查中，最适合作全面调查的是（　　） A. 了解莆田市初中学生每天阅读的时间 B. 调查莆田市端午节期间市场上粽子的质量情况 C. 检测木兰溪水质的情况 D. 了解某校七年级3班学生身高情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抽样调查（抽查）及全面调查（普查）的实际应用，根据抽样调查（抽查）及全面调查（普查）的定义及区别逐项验证即可得到答案．熟记抽查与普查的定义及区别是解决问题的关键． 【详解】解：A、了解莆田市初中学生每天阅读的时间，总体容量较大，最适合抽样调查，不符合题意； B、调查莆田市端午节期间市场上粽子的质量情况，具有破坏性，最适合抽样调查，不符合题意； C、检测木兰溪水质的情况，总体容量较大，最适合抽样调查，不符合题意； D、了解某校七年级3班学生的身高情况，最适合全面调查，符合题意； 故选：D． 4. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时所有秤绳都平行，如图所示，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质求角度、邻补角等知识，由邻补角得到，再由平行线性质即可得到答案，熟记平行线性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ， ， 故选：B． 5. 如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴．根据数轴上被覆盖的数在3与4之间，估算出各个选项中的无理数在哪两个整数之间逐项进行判断即可． 【详解】解：根据数轴可知，被覆盖的数在3与4之间； A、，不在3与4之间，故本选项不符合题意； B、，不在3与4之间，故本选项不符合题意； C、，在3与4之间，故本选项符合题意； D、，不在3与4之间，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 关于的不等式的解集是，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据已知不等式的解集确定出a的范围即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集是， ∴， 解得：， 在数轴上表示为． 故选：B． 7. 汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角度计算，对顶角相等．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，甲和乙的杯子中均装有一定量的水，以下是他们的对话： 甲说：“如果把你杯子中的水的一半倒入我的杯中，我的杯子就装满了．” 乙说：“如果把你杯子中水的倒入我的杯中我的杯子也装满了．” 问：甲和乙的杯子中各装有多少水？ 设甲和乙的杯子中分别装水，，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲和乙的杯子中分别装水，，根据甲杯子中水加乙杯子中水的一半等于，乙杯子中的水加甲杯子中水的等于列出方程组即可． 【详解】解：设甲和乙的杯子中分别装水，，根据题意得： ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，解题的关键是根据两个杯子的对话找出题目中的等量关系式． 9. 在平面直角坐标系中，将沿着的正方向向右平移个单位后得到点．有四个点、、、，一定在线段上的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的过程以及四个点的坐标进行分析比较即可判断． 【详解】解：∵将A （n2，1）沿着x的正方向向右平移n2+3个单位后得到B点， ∴B（2n2+3，1）， ∵n2≥0， ∴2n2+3＞0， ∴线段AB在第一象限，点B在点A右侧，且与x轴平行，距离x轴1个单位， 因为点M（-2n2，1）距离x轴1个单位，在点A左侧，当n=0时，M点可以跟A点重合，点M不一定在线段AB上． 点N（3n2，1）距离x轴1个单位，沿着x的正方向向右平移2n2个单位后得到的，不一定在线段AB上，有可能在线段AB延长线上．不在线段AB上， 点P（n2+2，n2+4）在点A右侧，且距离x轴n2+4个单位，不一定在线段AB上， 点Q（n2+1，1）距离x轴1个单位，是将A （n2，1）沿着x的正方向向右平移1个单位后得到的，一定在线段AB上． 所以一定在线段AB上的是点Q． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，解决本题的关键是掌握平移的性质． 10. 将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 【详解】解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. “与2的差小于的3倍”用不等式表示为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式．理解题意并正确的列一元一次不等式是解题的关键． 依题意得，． 【详解】解：由题意知，“与2的差小于的3倍”用不等式表示为， 故答案为：． 12. 某校为了了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了频数分布直方图，已知图中第一组至第四组小长方形的高之比为2：3：4：1，那么第三组的频数是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查频数（率分布直方图，解题的关键是掌握矩形的高度即为该组频数及频数之和等于总数、频率频数总数．用总人数乘以第三组小长方形的高所占比例即可． 【详解】解：根据题意第三组的频数是， 故答案为：16． 13. 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为________． 【答案】，， 【解析】 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.分三种情况找到等量关系，再列出二元一次方程组即可. 【详解】解：设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，就从右边长方形的宽60入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据2个小长方形的长等于1个小长方形的长加上3个小长方形的宽，一个小长方形的长＋一个小长方形的宽，可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据1个小长方形的长等于3个小长方形的宽，4个小长方形的宽，可得方程组； 故答案为：，， 14. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为_________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：100． 15. 如图，雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B．若目标A的位置表示为，则目标B的位置可以表示为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，解决本题的关键根据A的位置可以表示方法确定：距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数．按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解． 【详解】解：∵目标A的位置表示为， ∴目标B的位置可以表示为， 故答案为：． 16. 如图所示，将三张边长分别为，，正方形纸片按图甲、乙两种方式放置在相同的长方形内（图甲、图乙中三张正方形纸片均有部分重叠），未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图甲中阴影部分的周长为，图乙中阴影部分的周长为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移和整式的运算，先根据平移的性质求出的值，再进行作差求解，掌握平移的性质是解题的关键. 【详解】解：在长方形中，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤． 17. ． 【答案】 【解析】 【分析】先由立方根、平方根、去绝对值运算化简，再由实数加减运算法则求解即可得到答案．本题考查实数运算，涉及立方根、平方根、去绝对值运算及实数加减运算等知识，熟记立方根、平方根、去绝对值运算及实数加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案，熟记加减消元法解二元一次方程组的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 得； 把代入①， 得； 原方程组的解为． 19. 解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 先解出每个不等式的解集，然后在数轴上画出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， ∴， 不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 20. 如图，已知：，求度数． 【答案】68° 【解析】 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可先证明AD∥BC，再利用平行线的性质可得到∠1=∠BFE=∠2=68°． 【详解】解：∵∠A=135°，∠B=45°， ∴∠A+∠B=135°+45°=180°， ∴AD∥BC， ∴∠1=∠BFE=68°， ∵∠BFE=∠2， ∴∠2=68°． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 21. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．2024年莆田市获评“中国美好生活城市”．某学校积极组织师生参加创建“美好生活城市”志愿者服务活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有 人，请补全条形统计图； （2）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数； （3）为了持续保持“中国美好生活城市”样态，作为莆田市民，你有什么建议？（至少写2条） 【答案】（1）300，图见解析 （2）参加“文明宣传”项目的师生人数为360人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，根据样本估计总体，解题的关键是正确从统计图中获取需要数据． （1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出本次调查的师生总人数，进而求“文明宣传”的人数，补全统计图； （2）用该校总人数乘以得出参加志愿者服务的人数，再乘以参加“文明宣传”项目的师生人数所占百分比，即可解答； （3）从“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”四个方面进行建议即可． 【小问1详解】 解：由条形图得到“清洁卫生”的人数为60人，由扇形图得到“清洁卫生”的人数的比例为， ∴调查的总人数为：（人）， ∴“文明宣传”的人数为：（人）， 补全图形如下： 故答案为：300； 【小问2详解】 解：根据题意可得：（人）， 答：参加“文明宣传”项目的师生人数为360人． 【小问3详解】 解：为了持续保持“中国美好生活城市”样态，作为莆田市民，我有如下建议： ①遵守交通规则；②垃圾分类，不乱扔垃圾，保持城市清洁卫生． 22. 随着科学技术的飞速发展，智能机器人逐渐进入越来越多的领域和岗位，更好服务于人们的生活．某酒店为提高服务质量和效率，计划购进，两种型号的送餐机器人，经过市场调查发现，型号的送餐机器人单价比型号的送餐机器人的单价贵300元，3台型号的送餐机器人比4台型号的送餐机器人便宜1400元． （1）求，两种型号的送餐机器人的单价各是多少元？ （2）若该酒店准备用不超过10万元购进，两种型号的送餐机器人共40台，求该酒店最多可以购进型号的送餐机器人多少台？ 【答案】（1）两种型号的送餐机器人的单价分别是2600元和2300元 （2）该酒店最多可以购进种型号的送餐机器人26台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设种型号的送餐机器人的单价是元，种型号的送餐机器人的单价是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设该酒店购进种型号的送餐机器人台，根据题意建立不等式，解不等式即可得． 【小问1详解】 解：设种型号的送餐机器人的单价是元，种型号的送餐机器人的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：两种型号的送餐机器人的单价分别是2600元和2300元． 【小问2详解】 解：设该酒店购进种型号的送餐机器人台， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴最大取值为26， 答：该酒店最多可以购进种型号的送餐机器人26台． 23. 人教版七年级下册数学课本第页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． （1）【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即 ．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得， ． 即 ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 【答案】（1），， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了反证法．理解题意，类比作答是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． 【小问1详解】 解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 故答案为：，，； 小问2详解】 解：假设是有理数，那么存在两个互质正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 24. 在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是． （1）已知点，，． ①若点，，的“近距”是，则的值为 _； ②点，，的“近距”的最大值为_； （2）已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标． 【答案】（1）①或；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据坐标的特点．判定轴，轴，根据斜边大于直角边，判定，，，，列出等式计算即可．②根据坐标的特点．判定轴，轴，根据斜边大于直角边，判定，，，，再讨论即可得解． （2）法一：过点作交于于，根据，求出 ，当时，，重合，则近距为；当时，则，．得出此时近距为．当点与点重合时，即时，近距最大值为； 当时，则，即，推出此时近距的最大值小于．即可得出． 法二：连接，根据得出 ，根据题意得出，则，，然后进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． 【小问1详解】 解：①，，， 轴，轴，，， 斜边大于直角边， ，， 点，，的“近距”是， ， 或， 解得或， 故答案为：或． ②，，， 轴，轴，，， 斜边大于直角边， ，， 当点，，的“近距”为时，点，，的“近距”为，且， 当点，，的“近距”为时，点，，的“近距”为，且， 综上：点，，的“近距”的最大值为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：法一：过点作交于于， ， ， ， ， 当时，，重合，则近距为； 当时，则，． ，此时近距为． 当点与点重合时，即时，近距最大值为； 当时，则，即， ①若，则近距为； ②若，则近距为； ③若，则近距为； 此时近距的最大值小于． 综上：近距最大值为，此时． 法二：连接， ， ， ， ， ， 点为线段上一动点， ， ，， ①当时，， 若时，近距为， 则，得， ， 此时不合题意舍去； 若时，近距为， 则，得， 又， ， 此时近距的最大值为， ②当时，， 若时，近距为， 则，得， 又， ， ， 则近距的最大值为； 若时，近距为， ，得， 又， ， ， 则近距小于， 当时，近距的最大值为， 综上：近距的最大值为，此时，，即． 【点睛】本题考查的知识点是新定义，数轴上两点之间的距离，直角三角形的性质，平面直角坐标系，解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握题目所给新定义． 25. 为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了，两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即，．连接，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为秒． 【初步应用】 ①当时，两条光线夹角（锐角）的度数为 ； ②当时，求两条光线夹角（锐角）的度数． 【推理验证】 当时，射线与射线所在直线交于点，请画出图形并说明． 【拓展探究】 当射线首次从转至的过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线垂直，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】初步应用：①；②两条光线夹角的度数为；推理验证：画图证明见解析；拓展探究：存在，当为45，67.5，112.5，135时，射线与射线互相垂直 【解析】 【分析】（1）①根据三角形外角的性质得出，根据角平分线的定义得到，进而根据，以及平行线的性质即可求解②设与交于点，过点作，根据平行线的性质得到，即可解答 （2）过点作，根据平行线的性质得到，即可解答 （3）分三种情况讨论，①当时；②当时；③当时；根据平行线的性质，利用与互相垂直，列出方程，解方程即可求解 【详解】① ②当时， 设与交于点 过点作 ∵ ∴ ∴ 同理： ∴ ∴ ∴两条光线夹角度数为． （2）画出图形 证明：过点作， ∵ ∴ ∴ 同理： ∴ ∴ （3）当时 当时 当时 当时 综上所述：当为45，67.5，112.5，135时，射线与射线互相垂直． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $