精品解析：山东省枣庄市第八中学2023-2024学年高二下学期6月诊断检测数学试题

2023-2024学年度第二学期阶段检测 高二数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 30 D. 90 4. 若函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（    ） A. 若，，则的最大值为4 B. ，，则的最小值是4 C. 当时，有最大值 D. 的最小值为 8. 函数在定义域R上处处可导，其导函数为．已知，，且当时，．若，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ） A. 不同的站队方式共有种 B. 若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有种 C. 若甲、乙、丙站一起，则不同的站队方式共有种 D. 甲不在两端，则不同的站队方式共有种 10. 已知两个变量y与x对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 m 8 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. y与x正相关 B. C. 样本数据y的第60百分位数为8 D. 各组数据的残差和为0 11. 若函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上单调递增 C. 的极小值点为 D. 有两个零点 三.填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则c的值为______． 13. 已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为______． 14. 已知函数，若存在，使得成立，则k的最大值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式，且其二项式系数之和为64． （1）求和； （2）求； （3）求． 16. 某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生： 评分分组 70分以下 人数 3 27 38 32 女生： 评分分组 70分以下 频数 5 35 34 26 学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意． （1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？ 满意 不满意 总计 男生 女生 总计 （2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 18. 在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为． （1）若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率； （2）某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案： 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止． 方案二：从袋中进行有放回摸球次． 分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理． 19. 对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数： （1）设，求证：： （2）①证明不等式：： ②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期阶段检测 高二数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：D 2. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于， 由此可得． 故选:A. 3. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 30 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：D 4. 若函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知，分段函数在定义域上单调递减，分别限定各函数的单调性以及端点处的取值即可求出实数的取值范围. 【详解】根据题意可知，函数在上单调递减， 所以需满足，解得. 即实数的取值范围为. 故选：A 5. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据近视情况分为超过和低于两种可能，利用全概率公式计算可得． 【详解】某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过， 超过近视率约为，不超过近视率约为， 所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是． 故选：C． 6. 设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集. 【详解】设， ，即， ， 在上单调递减，又， 不等式， 即，， 原不等式的解集为. 故选：D 【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解. 7. 下列说法正确的是（    ） A. 若，，则的最大值为4 B. ，，则的最小值是4 C. 当时，有最大值 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质计算一一判定选项即可. 【详解】对于A，由题意及基本不等式可知：， 当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B，由题意及基本不等式可知：， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，由题意及基本不等式可知：， 当且仅当，即时取得等号，故C错误； 对于D，易知，令， 则，根据对勾函数的单调性知时函数单调递增， 所以，当即时取得等号，故D正确. 故选：BD 8. 函数在定义域R上处处可导，其导函数为．已知，，且当时，．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用导数可判断其单调性，从而可得的符号，再根据得出在上单调递增，进而研究的大小即可. 【详解】由知，， 即的图象关于对称， 又时，，记，则， 又， 从而在上单调递增，且时， ，故，同理当时，且. 而，故. 又， 而，故， 故，即， ， 又（因为）， 故，所以， 综上，， 即. 故选：A. 【点睛】方法点睛：导数背景下大小比较问题，需根据导数的特征构建新函数，如果导数与原函数的关系式中既有导数又有原函数，则利用函数的积或商较为合适. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ） A. 不同的站队方式共有种 B. 若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有种 C. 若甲、乙、丙站一起，则不同的站队方式共有种 D. 甲不在两端，则不同的站队方式共有种 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全排列数计算判断A；利用捆绑法求解判断B、 C；先排甲，再将其余四人全排列，即可判断D. 【详解】对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，A正确； 对于B，甲和乙相邻的站队方式有种，B错误； 对于C，甲、乙、丙站一起的不同的站队方式有种，C正确； 对于D，甲不在两端的不同的站队方式有种，D正确. 故选：ACD 10. 已知两个变量y与x对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 m 8 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. y与x正相关 B. C. 样本数据y的第60百分位数为8 D. 各组数据的残差和为0 【答案】AD 【解析】 【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D. 【详解】由回归直线方程知：，所以y与x正相关，即A正确； 由表格数据及回归方程易知，即B错误； 易知，所以样本数据y的第60百分位数为，即C错误； 由回归直线方程知时对应的预测值分别为， 对应残差分别为，显然残差之和为0，即D正确. 故选：AD 11. 若函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上单调递增 C. 的极小值点为 D. 有两个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A，利用导数说明函数的单调性，即可判断B、C，求出极小值即可判断D. 【详解】对于函数，令，解得或， 所以函数的定义域为， 又， 所以为奇函数，函数图象关于对称，故A正确； 又 ， 当时，，即在上单调递减，故B错误； 当时，，即在上单调递增， 根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故C正确； 又， 且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大， 所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点， 故无零点，故D错误． 故选：AC． 三.填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则c的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件及正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量，所以直线为正态曲线的对称轴， 而，由正态分布的对称性可知， ，解得. 所以c的值为. 故答案为：. 13. 已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据等高堆积条形图求出喜欢徒步的男女生人数，再由分层抽样方法可得. 【详解】由题可知，喜欢徒步的男生有人，喜欢徒步的女生有人， 则女生应抽取人数为人. 故答案为：9 14. 已知函数，若存在，使得成立，则k的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，同构函数，结合函数的单调性，转化为的最大值问题. 【详解】由，可得 即， 构造函数，显然在上单调递增， ∴，即， 令，即求函数的最大值即可， ， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值为 ∴，即k的最大值为 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式，且其二项式系数之和为64． （1）求和； （2）求； （3）求． 【答案】（1）， （2）729 （3）2916 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和求出，再由通项公式求出； （2）令赋值后即可求各项系数之和； （3）两边求导后令即可得解. 【小问1详解】 二项式系数之和，则， 展开式的通项， 其中为前面的系数，令，则． 【小问2详解】 令，则． 【小问3详解】 对二项式两边求导，． 令，则， 故． 16. 某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生： 评分分组 70分以下 人数 3 27 38 32 女生： 评分分组 70分以下 频数 5 35 34 26 学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意． （1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？ 满意 不满意 总计 男生 女生 总计 （2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表见详解；没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据统计表完成列联表，再根据独立性检验公式算出卡法，判定是否独立； （2）根据题意可得男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则抽取的男生人数为服从超几何分布，再根据公式算出分布列及期望即可． 【小问1详解】 依统计表可得列联表如下： 满意 不满意 总计 男生 70 30 100 女生 60 40 100 总计 130 70 200 则， 故没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联． 【小问2详解】 男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则为0，1，2，3． 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 故 17. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心. （2）根据单调性定义证明即可. （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，的值域可对二次函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论得到，最终整合得到实数m的取值范围. 【小问1详解】 设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 由题意得：的值域是值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， ①当即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增，故在上单调递增， 又，，故， ，，解得，又，故此时； ②当即时，在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减， 故此时， 欲使，只需，且， 解不等式得：，又，故此时； ③当即时，在上单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， ，故，解得，又，故此时， 综上，实数的取值范围是. 18. 在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为． （1）若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率； （2）某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案： 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止． 方案二：从袋中进行有放回摸球次． 分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理． 【答案】（1） （2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示， 则的可能取值为：， 且，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 则 ， “方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，因为， 所以的分布列为：， 即的分布列为： 0 1 所以，则， 因为，，所以“方案二”估计的值更合理. 【解析】 【分析】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，根据条件概率公式计算可得； （2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，的可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，则，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可. 【小问1详解】 设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”， 则，， 所以； 【小问2详解】 略 19. 对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数： （1）设，求证：： （2）①证明不等式：： ②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②2 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数判断出在，上单调递减，由（1），即可证明； （2）①用分析法证明：转化为证明，令，由（1）有，即可证明；②先把题意转化为恒成立.令，求出导函数，对k分类讨论：，不符合题意；当时，在，上单调递减，恒有（1），符合题意．即可求出正实数的最大值． 【小问1详解】 令，则， ，得在，上单调递减， 又（1），故当时，， 因此，当时，； 【小问2详解】 （2）①证明：要证，，，只要证， 只要证，即证， 令，由（1）有，即得， 因此，； ②由，，，恒成立， 得恒成立，即得恒成立， 令，有恒成立， 得恒成立，恒成立， 令，有， 又（1）， 当（1），即时， 方程有一根大于1，一根小于1， 可得在，上单调递增，故有（1），不符合； 当时，有， ，从而在，上单调递减， 故当时，恒有（1），符合． 综上所述，正实数的取值范围为， 因此，正实数的最大值为2． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $