精品解析：广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年高二下学期期中教学质量监测数学试题

2024年春季学期高中期中教学质量监测 高二数学 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（ ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A. B. C. D. 2. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4 4. 对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差．某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下： 第天 1 2 3 4 5 6 高度（cm） 1 4 7 9 11 13 经这位同学的研究，发现第天幼苗的高度（cm）的经验回归方程为，据此计算样本点处的残差为（ ） A. 0.1 B. C. 0.9 D. 5. 如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ） A 48 B. 56 C. 72 D. 256 6. 一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则（ ） A. B. C. D. 7. 从0、1、2、3、4、5、6这七个数字中，取三个不同的数组成一个十位数字大于个位数和百位数的三位数，这样的三位数的个数为（ ） A. 40 B. 48 C. 55 D. 70 8. 已知，若，则（ ） A. 240 B. －240 C 280 D. －280 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知二项式的展开式中共有项，则下列说法正确的有（ ） A. 为 B. 所有项的二项式系数和为 C. 二项式系数最大项为第4项 D. 没有常数项 10. 在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 随机变量服从超几何分布 D. 随机变量服从二项分布 11. 已知事件满足则下列结论正确的是（ ） A. A与互斥 B. A与相互独立 C D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案填在答题卡相应位置.） 12. 在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为______． 13. 从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n，则能组成落在矩形区域，且内的椭圆个数为_____. 14. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.3，0.5，0.6．飞机被一人击中而落地的概率为0.2，被两人击中而落地的概率为0.8，若三人都击中，飞机必定被击落．则飞机被击落的概率为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m． （1）求m的值; （2）求二项式的展开式中的常数项． 16. 某产品的广告费用支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表． 广告费用支出 3 5 6 7 9 销售额 20 40 60 50 80 （1）在给出的坐标系中画出散点图； （2）建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型； （3）利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少． （参考公式：线性回归方程中的系数，） 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 18. 新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． （1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 19. 某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额． （1）在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率． （2）①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大； ②依据以上分析，求随机变量的数学期望的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季学期高中期中教学质量监测 高二数学 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（ ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质及已知条件解题即可. 【详解】根据题意，由分布列可得： 解得：. 故选:A 2. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，结合，即可求解. 【详解】由随机变量X服从正态分布， 因为，可得， 所以. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由二项分布的期望公式即可得到，再由期望的性质即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以． 故选：D 4. 对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差．某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下： 第天 1 2 3 4 5 6 高度（cm） 1 4 7 9 11 13 经这位同学的研究，发现第天幼苗的高度（cm）的经验回归方程为，据此计算样本点处的残差为（ ） A. 0.1 B. C. 0.9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入经验回归方程求出，求出的估计值，从而可求对应的残差. 【详解】,， 因为经验回归方程过样本中心点, 所以,解得, 所以经验回归方程为. 当时，. 所以样本点处的残差为. 故选:B. 5. 如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ） A. 48 B. 56 C. 72 D. 256 【答案】A 【解析】 【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数. 【详解】将四个区域标记为，如下图所示： 第一步涂种涂法，第二步涂种涂法，第三步涂种涂法，第四步涂种涂法， 根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法. 故选：A. 6. 一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用分类加法与分步乘法分别求得、，再结合条件概率的公式计算即可. 【详解】由题意知，， ， 所以. 故选：D. 7. 从0、1、2、3、4、5、6这七个数字中，取三个不同的数组成一个十位数字大于个位数和百位数的三位数，这样的三位数的个数为（ ） A 40 B. 48 C. 55 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分两种情况讨论：选出的数字中含有0与不含有0.分别求出对应满足题意的三位数，结合分类加法计数原理即可求解. 【详解】由题意知，分两种情况讨论： 若选出的数字中含有0，则0必须在个位上， 此时只需在其它6个数中选出2个，大的放在十位，小的放在百位， 共有个三位数； 若选出的数字中不含有0， 此时只需在0以外得其它6个数中选出3个，最大的放在十位，其他两个放在百位和个位， 共有个三位数， 综上，满足题意得三位数共有55个. 故选：C 8. 已知，若，则（ ） A. 240 B. －240 C. 280 D. －280 【答案】D 【解析】 【分析】借助赋值法令可计算出，再借助二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【详解】令，则有， 即，故， 即有， 对，有， 令，则有， 即. 故选：D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知二项式的展开式中共有项，则下列说法正确的有（ ） A. 为 B. 所有项的二项式系数和为 C. 二项式系数最大的项为第4项 D. 没有常数项 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的特征求出，即可判断A，再由二项式系数和为判断B，由二项式系数的特征判断C，写出展开式的通项，即可判断D. 【详解】因为二项式的展开式中共有项，所以，解得，故A错误； 二项式所有项的二项式系数和为，故B错误； 因为二项式展开式中共有项，所以二项式系数最大的项为第项，故C正确； 二项式展开式通项为， 令，解得（舍去），所以展开式中没有常数项，故D正确. 故选：CD 10. 在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 随机变量服从超几何分布 D. 随机变量服从二项分布 【答案】BC 【解析】 【分析】根据超几何分布的定义以及概率公式，可得答案. 【详解】由题意知随机变量服从超几何分布； 的取值分别为0，1，2，3，4， 则，， ，，， 故选：BC． 11. 已知事件满足则下列结论正确的是（ ） A. A与互斥 B. A与相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念，性质及条件概率公式一一判定即可. 【详解】由题意可知， 所以相互独立， 由相互独立事件的性质可知A与相互独立，且与B相互独立，即A错误，B正确； 所以，即C正确，D正确. 故选：BCD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案填在答题卡的相应位置.） 12. 在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算基本事件总数，计算其中没有感兴趣的专业包含的基本事件数，利用对立事件解决所求的概率. 【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 故答案为：. 13. 从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n，则能组成落在矩形区域，且内的椭圆个数为_____. 【答案】72 【解析】 【分析】对进行分类讨论，利用排列数公式，先分类再分布，进行求解. 【详解】由题设，，所以且， 在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m、n，共有种方法； 可在9、10中取一个作为m，在1、2、…、8中取一个作为n，共有种方法， 由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：＋． 故答案为： 14. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.3，0.5，0.6．飞机被一人击中而落地的概率为0.2，被两人击中而落地的概率为0.8，若三人都击中，飞机必定被击落．则飞机被击落的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】分飞机被几人击中情况由条件概率公式和全概率公式求解. 【详解】解析：设事件，事件，，，， 由题意可得，，，， ，， 0.36， ， 由全概率公式得，所以飞机被击落的概率为． 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m． （1）求m的值; （2）求二项式的展开式中的常数项． 【答案】（1）12 （2）84 【解析】 【分析】（1）首先排甲，再将乙安排再甲的左右两位置中的一个，最后将其余3人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）由（1）可得，写出展开式的通项，再令，即可求出，最后代入计算可得； 【小问1详解】 解：首先将甲排在中间位置，再排乙，乙排在甲左右两个位置中的一个位置，再排其余3人， 则所有不同的排法种数． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴的展开式的通项公式为， 令，解得， 展开式中的常数项为． 16. 某产品的广告费用支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表． 广告费用支出 3 5 6 7 9 销售额 20 40 60 50 80 （1）在给出的坐标系中画出散点图； （2）建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型； （3）利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少． （参考公式：线性回归方程中的系数，） 【答案】（1）见解析 （2） （3）107万元 【解析】 【分析】（1）根据表中数据直接描点即可； （2）根据公式求出所要求的数据，分别求出，即可得出答案； （2）根据回归方程，将代入即可得解. 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：，， 则， ， 所以， 则， 所以销售额关于广告费用支出的一元线性回归为； 【小问3详解】 解：由（2）得，当时，， 所以当广告费用支出为12万元时，销售额为万元. 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 18. 新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． （1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 【答案】（1）； （2）①3274人；②不可信. 【解析】 【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果； （2）①根据参考数据求得，再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得，估计成绩高于410分的人数，即可判断. 【小问1详解】 甲､乙两名学生必选语文､数学､外语． 若另一门相同为物理､历史中的一门，有种， 在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门， 则有种，共种； 若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种． 所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为． 【小问2详解】 ①设此次网络测试的成绩记为，则． 由题知， 则， 所以． 所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人． ②不可信． ， 则， 4000名学生中成绩大于410分的约有人， 这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分． 所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信． 19. 某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额． （1）在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率． （2）①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大； ②依据以上分析，求随机变量的数学期望的最大值. 【答案】（1） （2）①方案二中取到黑球的概率更大；② 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式计算； （2）①利用全概率公式和条件概率公式计算，根据数据下结论；②两种方案分别求出期望，根据数据下结论. 【小问1详解】 设试验一次，“取到甲盒”为事件，“取到乙盒”为事件， “第一次摸出黑球”为事件，“第一次摸出白球”为事件， ， 所以， 所以选中的盒子为甲盒的概率为. 【小问2详解】 ①， 所以方案一中取到黑球的概率为：， 方案二中取到黑球的概率为：， 因为，所以方案二中取到黑球的概率更大. ②随机变量的值为， 依据以上分析，若采用方案一： ， ， ， ， 若采用方案二： ， ， ， ， 所以随机变量的数学期望的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $