湖南省岳阳市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试题

高二数学 第 1页 （共 4页） 岳阳市 2024年高二教学质量监测 数 学 本试卷共 4页，19道题，满分 150分，考试用时 120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求 作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 }4,3,2,1{A ， }032|{ 2  xxxB ，则集合 BA 的子集个数为 A．2 B．4 C．8 D．16 2. 设数列 }{ na 为等比数列，若 11 a ， 43 a ，则 A． B． C． D． 3．已知平面向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为 A． )1,2(  B． )0,5( C． ) 5 2 , 5 4 (  D． )2,4(  4．已知 ，  均为锐角， ， ，则 的 值为 A． 2 2  B． 2 2 C． 10 2 D． 10 2  5．已知椭圆 1: 2 2 2 2  b y a x E （ 0 ba ）的左右焦点分别为 1F , 2F ， P为椭圆 E上一 点， 且直线 2PF 的一个方向向量为 ，则椭圆 E的离心率为 A． 13  B． 2 3 C． 2 1 D． 3 6 6．将甲、乙等 6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排 2人，其中甲、乙不 能安排去同一个景点，不同的安排方法数有 A．84 B．90 C． 72 D． 78 姓 名 准考证号 ba  b)0,5(a )1,2( b 20242 20242 20232 20232 2024a 021 PFPF )3,3(  5 5 ) 2 sin(    10 10 ) 2 sin(    2 cos   高二数学 第 2页 （共 4页） 7．设 03.1ln1a ， 03.0 03.1 e b  ， 03.1c ，则 A． cba  B． cab  C． abc  D． bac  8. 已知函数          0), 3 sin( 0, 2 )( xx x e x xf x    ， 2)()222()(4)( 2  xfxfxg ， 若函数 )(xgy  有 8个零点，则正数的取值范围是 A． ] 2 7 , 6 13 [ B． ) 2 7 , 6 13 [ C． ] 12 25 , 12 19 [ D． ) 12 25 , 12 19 [ 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．根据国家统计局统计，我国 2018—2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523， 1465，1202，1062，956，902．将年份减去 2017记为 x，出生人口数记为 y，得到以下数 据： x 1 2 3 4 5 6 y （单位：万人） 1523 1465 1202 1062 956 902 已知 1185 6 1 6 1   i iyy ，由最小二乘法求得 y关于 x的经验回归方程为 axy ˆ136ˆ  ，则 A． 1661ˆ a B．这 6年出生人口数的下四分位数为 1465 C．样本相关系数 0r D．样本点（4，1062）的残差为 55 10．已知菱形 ABCD的边长为 2， 3  ABC , E、 F 、G分别为 AD、 AB、 BC的 中点，将 △DAC沿着对角线 AC折起至△ ACD ，连结 DB ，得到三棱锥 ABCD  ．设 二面角 BACD  的大小为，则下列说法正确的是 A． DBAC  B．当平面 EFG截三棱锥 ABCD  的截面为正方形时， 3    C．三棱锥 ABCD  的体积最大值为 1 D．当 3 2   时，三棱锥 ABCD  的外接球的半径为 3 21 高二数学 第 3页 （共 4页） 11．已知函数 )(xf ， )(xg 对任意的实数 x， y都有 ) 2 () 2 (2)()( yx g yx fyfxf   成立， 1)1( f ， 0)1( g ，则 A． )(xf 为偶函数 B． 1)0( g C． 2 )1()1( )( xfxf xg   D．4为 )(xg 的一个周期 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知 i为虚数单位，则 i i   4 29 的共轭复数为____________； 13．在△ ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 AaCbBc cos2coscos  且 2a ，则△ ABC面积的最大值为___________； 14．抛物线 xyC 8: 2  的焦点为 F ，过点F 的直线 l与抛物线C交于 A、B两点，抛物 线C在 A、B处的切线交于点 P，则 2|| 16 || PF AB  的最小值为____； 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 如图，在圆锥 SO中，AD为圆O的直径，B、C为圆弧 AD⌒ 的两个三等分点，M 为 SD 的中点， 3OASO ； （1）求证：平面 SBD 平面 SOC； （2）求直线 SD与平面 ABM 所成角的正弦值． 16．(15分) 某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序．生产工序 的次品率为 20 1 ．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则 进入流水线并由人工抽查检测． （1）从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取 10件进行检测，求这 10件产品 中的次品数 X的分布列和数学期望； （2）若智能自动检测的准确率为 98%，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率. 高二数学 第 4页 （共 4页） 17．（15分） 已知函数 )ln()( xaexf x  ，其中 Ra ． （1）若 1a ，求 )(xfy  在 1x 处的切线方程； （2）当 )2ln,0(a 时，设 )()( xfxg  ．求证： )(g xy  存在极小值点． 18． (17分) 定义：对于一个无穷数列 }{ na ，如果存在常数 a，对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N ，使得对于任意大于 N 的正整数 n，都有  || aan ．则称常数 a为数列 }{ na 的极限， 记作 aan n   lim ． 根据上述定义，完成以下问题： （1）若 n na ) 2 1 (3  ， )12(log2  nbn ，判断数列 }{ na 和 }{ nb 是否存在极限；如果 存在，请写出它的极限（不需要证明）； （2）已知数列 }{ na 的前 n项和为 nS ， 21 a ，数列 是公差为 的等差数列； ①求数列 }{ na 的通项公式； ②若 ，证明： ． 19．(17分) 已知平面内两个定点 )0,2(A ， )0,2(B ，满足直线 PA与 PB的斜率之积为 的动点 P的 轨迹为曲线C，直线 l与曲线C交于不同两点M ， N ； （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若直线 AM 和 AN的斜率之积为 ，求证：直线 l过定点； （3）若直线 l与直线 02:1  yxl ， 02:2  yxl 分别交于 R，S，求证： |||| NSMR  ． 4 1 12 1 3 1 }{ n n a S n n aaaa T 1111 321   1lim   n n T 岳阳市 2024 年高二教学质量监测 数学参考答案及评分标准 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A B A C B D AC ACD BCD 三、填空题 12． i2 13． 21 14．9 四、解答题 15．(13分) 如图，在圆锥 SO中，AD为圆O的直径，B、C为圆弧 AD⌒ 的两个三等分点，M为 SD的中点， 3 OASO ； （1）求证：平面 SBD 平面 SOC； （2）求直线 SD与平面 ABM 所成角的正弦值． （1）证明：因为B，C为圆弧 AD⌒的两个三等分点 所以 3   CODBOCAOB ， 3  ABO 所以 AB∥OC，又 AD为底面的直径 所以 BDAB  ，所以 BDOC  ………………3分 又因为在圆锥 SO中， SO 底面 ABCD， BD 底面 ABCD所以 BDSO  ，………………4分 因为 OOCSO  ， 所以 BD 平面 SOC………………5分 因为 BD 平面 SBD 所以平面 SBD 平面 SOC；………………6分 (2)解：以O为原点，OA，OS所在直线分别为 x轴， z轴建立如图所示的空间直角 坐标系，则由题意 )0,0,3(A ， )0, 2 33, 2 3(B ， )3,0,0(S ， )0,0,3(D ， ) 2 3,0, 2 3(M ………………8分 所以 )0, 2 33, 2 3(AB ， ) 2 3,0, 2 9(AM ， )3,0,3( SD ………………9分 设 ),,( zyxn  为平面 ABM 的一个法向量，则         0 2 3 2 9 0 2 33 2 3 zxAMn yxABn ，………………10分 令 3x ，则 1y ， 33z 所以 )33,1,3(n ………………11分 设直线 SD与平面 ABM 所成角为 则 31 1862 3123 312| |||| ||,cos|sin      SDn SDnSDn 所以直线 SD与平面 ABM 所成角的正弦值为 31 1862 ………………13分 16．(15分) 某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序．生 产工序的次品率为 20 1 ．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检 测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测． （1）从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取 10件进行检测，求这 10 件产品中的次品数 X 的分布列和数学期望； （2）若智能自动检测的准确率为 98%，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率． 解：（1）由题意可知， ) 20 1,10(~ BX ，……………2分 则 X 的所有可能取值为 10,,2,1,0  ……………3分 且 )10,,3,2,1,0() 20 19() 20 1()( 1010   kCkXP kkk ， ……………5分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2  10 p 100010 )20 19() 20 1(C 91110 )20 19() 20 1(C 82210 )20 19() 20 1(C  0101010 )20 19() 20 1(C ……………6分 期望值为 2 1 20 110)( XE ……………7分 注：考生将分布列写成 )10,,3,2,1,0() 20 19() 20 1()( 1010   kCkXP kkk 也给满分. （2）记 A=“智能自动检测为合格品”，B=“产品为合格品”， 则由题意知 100 98)|( BAP ， 100 2 100 981)|( BAP ， 20 19)( BP ……………10分 所以由全概率公式知 )()|()()|()()()( BPBAPBPBAPBAPABPAP  = 250 233 20 1 100 2 20 19 100 98  ……………14分 所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为 250 233 .………15分 17．（15分） 已知函数 )ln()( xaexf x  ，其中 Ra ． （1）若 1a ，求 )(xfy  在 1x 处的切线方程； （2）当 )2ln,0(a 时，设 )()( xfxg  ．求证： )(g xy  存在极小值点． （1）解： )(xf 的定义域为 ),0(  且 ) 1ln()( x xaexf x  ………………2分 当 1a 时， ef 2)1(  且 ef )1( ；………………4分 所以 )(xf 在点 1x 处的切线方程为 )1(2  xeey 即 02  eyex ；……………6分 （2）证明：因为 )1ln()( x xaexg x  ， 则 ) 12ln()( 2xx xaexg x  ………7分 令 2 12ln)( xx xaxh  ， 则 3 2 3 2 32 1)1(22221)( x x x xx xxx xh  ……………9分 所以 )(xh 在 ),0(  上单调递增；因为 0 2 1ln) 2 1(  ah ， 01)1(  ah ………11分 所以 )(xh 在 ),0(  上有唯一的零点 0x ，且 )1,2 1(0 x ……………12分 所以当 ),0( 0xx 时 0)( xh ， ),( 0  xx 时 0)( xh ，因为 0xe 所以 )(xg 在 ),0( 0x 上单调递减， )(xg 在 ),( 0 x 上单调递增……………14分 故 0x 为 )(xg 的极小值点；……………15分 18．(17分) 定义：对于一个无穷数列 }{ na ，如果存在常数 a，对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N ，使得对于任意大于 N 的正整数 n，都有  || aan ．则称常数 a为数列 }{ na 的极限， 记作 aann lim ． 根据上述定义，完成以下问题： （1）若 nna )2 1(3  ， )12(log 2  nbn ，判断数列 }{ na 和 }{ nb 是否存在极限，如果存在， 请写出它的极限（不需要证明）； （2）已知数列 }{ na 的前 n项和为 nS ， 21 a ，数列 }{ n n a S 是公差为 3 1 的等差数列； ①求数列 }{ na 的通项公式； ②若 n n aaaa T 1111 321   ，证明： 1lim  nn T ． 解：（1）数列 }{ na 存在极限，且 3lim  nn a ；………………2分 数列 }{ nb 不存在极限；………………4分 (2)①∵ 1 1 1  a S 且 }{ n n a S 是公差为 3 1 的等差数列，∴ 3 2)1( 3 11  nn a S n n …….5分 ∴ nn a nS 3 2  ，∴ 11 3 3    nn a nS ，………7 分 两式相减得 n n a a n n 21  ………….8分 ∴当 2n 时 1 1 2 1 a a a a aa n n n    )1(2 1 3 1 1     nn n n  ………………………10分 又 211 a ，所以数列 }{ na 的通项公式为 )1(  nnan ………………………11分 ② 由①可知 1 11 )1( 11     nnnnan ，…………………12分 ∴ 1 11) 1 11() 4 1 3 1() 3 1 2 1() 2 11(     nnn Tn  …………….14分 对于任意给定的正数 ，由于 *Nn ，所以  |1| nT 等价于 1 1   n ……….16分 取不大于 11   的最大整数为 ]11[   m ，令 }1,max{mN  ， 则当 Nn  时， 11   n 恒成立，所以  |1| nT 恒成立，所以 1lim  nn T ………17分 19． (17分) 已知平面内两个定点 )0,2(A ， )0,2(B ，满足直线 PA 与 PB的斜率之积为 4 1 的动点 P的轨 迹为曲线C，直线 l与曲线C交于不同两点M ，N ； （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若直线 AM 和 AN的斜率之积为 12 1 ，求证：直线 l过定点； （3）若直线 l与直线 02:1  yxl ， 02:2  yxl 分别交于 R， S，求证： |||| NSMR  ． 解：（1）设点 ),( yxP 为曲线C上一点，则由题意有 4 1 22      x y x ykk PBPA ，整理得 14 2 2  yx ，又 2x 所以曲线C的轨迹方程为 1 4 2 2  yx （ 2x ）………………4分 证明：（2）设 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ，当直线 l的斜率为 0时， 21 xx  ， 21 yy  0 422 21 2 1 2 2 1 1        x y x y x y kk ANAM ，不合题意………………5分 所以可设直线 l的方程为 tmyx  ， ………………6分 由       tmyx yx 1 4 2 2 得 042)4( 222  tmtyym （*） 由题意可知 042 m 则由韦达定理有 4 2 221    m mtyy ， 4 4 2 2 21    m tyy ，………………8分 所以 2 2121 2 21 21 21 2 2 1 1 )2())(2()2)(2(22         tyytmyym yy tmytmy yy x y x ykk ANAM 12 1 16164 4 )4()2()2)(2()4( 4 2 2 2222 2        tt t mtmttmtm t ……………10分 解得 1t ，……………11分 所以直线 l的方程为 1 myx ，过定点（1,0）……………12分 （3）设MN的中点为Q，则 42 2 21      m mtyyyQ ……………13分 由      tmyx yx 02 得 2   m tyR 由      tmyx yx 02 得 2   m tyS ……………15分 设 RS的中点为Q，则 QSRQ ym mtyyy       42 2 ，……………16分 因为点Q与Q都在直线 l上，所以MN的中点与 RS的中点重合 所以 |||| NSMR  ……………17分