精品解析：河南省鹤壁市高中2023-2024学年高二下学期第四次质量检测数学试题

鹤壁市高中2023—2024学年高二下学期第四次质量检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知A，B为同一次试验中的两个随机事件，且，，命题甲：若，则事件A与B相互独立；命题乙：“A与B相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题（ ） A. 甲乙都是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲乙都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】结合对立事件概率公式和条件概率公式由可推出，由此判断命题甲，结合独立事件概率公式，条件概率公式判断命题乙的条件与结论的关系，判断命题乙，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以，故， 所以事件A与B相互独立，命题甲正确， 若A与B相互独立，则与相互独立，与相互独立， ， ， 所以， 若，所以， 所以， 所以 所以， 所以， ，故事件与事件相互独立， 所以事件与事件相互独立， 所以“A与B相互独立”是“”的充分必要条件， 所以命题乙为假命题， 故选：B. 2. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三个式子的结构，构造函数，求导判断单调性，进而比较，，的大小，即可得，，的大小关系. 【详解】令，则， ，， 由可得且， 由可得；所以在上单调递减， 因为，所以， 所以， 故选：C. 3. 已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数、导数研究的性质并画出草图，将问题化为与的图象有3个交点，数形结合确定参数范围. 【详解】当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. 当时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减 当时， 画出函数的图象如图所示： 因为函数有3个零点， 所以与的图象有3个交点，由图知：. 所以的取值范围为. 故选：B 4. 从0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由排列组合的知识，分别求得没有重复数字的四位数的情况以及没有重复数字的四位数的偶数的情况，再由古典概型的计算公式，即可得到结果. 【详解】从0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数， 由于不能出现在千位，则的位置有种情况， 再排其他三位数，共有种情况， 即可以组成没有重复数字的四位数共有种情况； 若该四位数为偶数，可以分为两类， 当个位数字是时，有中情况， 当个位数字是时，有种情况， 所以四位数的偶数共有种， 设事件表示从0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数， 则. 故选：B 5. 已知，，是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面位置关系逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A选项，由平行的传递性可知A选项成立； 对于B选项，直线，不一定相交，根据面面平行的判定定理易知面面平行不一定成立，错； 对于C选项，与也有可能相交，错； 对于D选项，直线不一定在平面外，也可能在面内，故不成立，错． 故选：A. 6. 已知函数，则函数满足 A. 最小正周期为 B. 图象关于点对称 C. 在区间上为减函数 D. 图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【详解】∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣• =（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+， 故它的最小正周期为，故A不正确； 令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称， 且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确； 在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+ 为增函数，故C不正确， 故选D． 7. 已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律可得，再利用投影向量的意义求解即得. 【详解】由，两边平方得，则， 而，所以在方向上的投影向量为. 故选：D 8. 已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数的图象判断函数的单调性，结合判断即可． 【详解】当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 因为， 所以的值域为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，对已知条件结合正弦定理可说明其正确； B选项，通过内切圆半径和面积法推出； C选项，由A先等价推出，由三角形的面积公式可算出； D选项，根据的取值结合和正弦定理可计算. 【详解】 如图，设内切圆圆心为，则到三边的距离均为，于是，即，则，得到，B选项正确； 由可得， 结合正弦定理可得，，即，A选项正确； 根据诱导公式，，， ，按照整体展开得到，，而，于是，即，故，由三角形面积公式，，解得，C选项正确； 由正弦定理结合B选项，，即，D选项错误. 故选：ABC 10. 已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（ ）. A. 有相同的焦距 B. 有相同的焦点 C. 有相同的离心率 D. 有相同的渐近线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 11. 公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 时，的最小值为2022 C. 有最大值 D. 时，的最大值为4043 【答案】CD 【解析】 【分析】AB选项，根据，得到，从而得到，A错误，时，的最小值为2023，B错误；C选项，求出，由二次函数性质得到有最大值；D选项，计算出，，得到答案. 【详解】对于：由可得， 故等差数列的公差，故A错误； 对于B：由A得，数列为单调递减数列，且，故时， 的最小值为2023，故B错误； 对于C：由A得，，故是关于的开口向下的二次函数， 其有最大值，没有最小值，故C正确； 对于D：因为数列的前2022项均为正数， 且， ， 时，的最大值为4043，故D正确 故选：CD 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角关系可得，进而根据弦切互化即可求解. 【详解】,所以，故， 所以 所以， 故答案为： 13. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解直线与平面所成角的正弦值． 【详解】设上底面圆心，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 故答案为：． 14. 已知是数列的前n项和，，且，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意整理中奇数项的递推公式，利用迭代法可得其通项公式，再利用题中递推公式求得中偶数项的通项公式，从而利用分组求和法与等比数列的求和公式即可得解. 【详解】由已知可得 所以， 于是， 故，即， 所以， 所以 ， 又，则. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法注意新元的范围及二次函数的性质即可求解； （2）根据对数的运算性质及对数不等式的解法，将不等式恒成立的问题转化为求函数的最值问题，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 令，因为，所以， 从而， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，所以，解得. 因为， 所以当时，恒成立等价于在上恒成立，即，即可. 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时， 的最小值为,即， 故实数的取值范围为. 16. 杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值及这组数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为可求出的值，再利用百分位数的定义求这组数据的第百分位数即可； （2）利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，， 解得， 因为，， 所以这组数据的第百分位数位于，设其为， 则， 解得，即这组数据的第百分位数为； 【小问2详解】 由题可知，从分数在内的学生中抽取人，记为，， 则分数在内的学生中抽取人，记为，，，， 从中任选人，则所有可能结果有：，，，，，，，， ，，，，，，共个， 满足这人成绩之差的绝对值大于分的有，，，，，，，共个， 故所求的概率． 17. 已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，. （1）证明：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）建系，分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明； （2）设出点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点坐标，再代入线面角的向量公式求出即可. 【小问1详解】 证明：在直三棱柱中，，平面， 所以以为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则点，，，，， 则，，， 设，则， 设平面和平面的法向量分别为， 则，取，则； ，取，则， 因为， 所以平面平面. 【小问2详解】 设点， 由，得平面的法向量， 由得点到平面的距离， 解得， 由，得，直线与平面所成的角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程； （3）若，且，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由焦距为2得到，再由双曲线的顶点求出，得到，椭圆方程； （2）求出的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程； （3）设，，由向量共线得到，将两点坐标代入椭圆方程中，求出，从而表达出，结合基本不等式求出最值. 【小问1详解】 双曲线的顶点坐标为，故， 由题意得，故， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 因为，，所以的方程为， 由，解得点Q的坐标为． 设过P，Q，三点的圆为， 则，解得，，， 所以圆的方程为； 【小问3详解】 设，， 则，， 因为，所以，即， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以，当且仅当， 即时，取等号．最大值为． 19. 函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数在处的极限定义如下：，存在正数，当时，均有，则称在处的极限为A，记为，例如：在处的极限为2，理由是：，存在正数，当时，均有，所以.已知函数，，（，为自然对数的底数）. （1）证明：在处的极限为； （2）若，，，求的最大值； （3）若，用函数极限的定义证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）要使得，即，再根据题意即可得证； （2）利用导数求出函数的单调区间，令，确定的范围，再将分别用表示，构造函数，利用导数求出最大值即可； （3）有结合（1），对任意正数，取，，，当时，有，即可得证 【小问1详解】 要使得，即， 即，即， 所以，存在整数，当时， 均有， 所以； 【小问2详解】 当时，，则， 所以函数在上单调递增， 当时，单调递减， 因为，，所以， 令， 因为，时，，时，， 所以， 由，得，得，得，得， 由，得， 所以， 令，， 则， 令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即的最大值为； 【小问3详解】 因为， 所以，存在正数，当时，均有； 由（1）知， 即，存在正数，当时，均有， 对任意正数，取，， ，当时， 有 ， 所以. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤壁市高中2023—2024学年高二下学期第四次质量检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知A，B为同一次试验中的两个随机事件，且，，命题甲：若，则事件A与B相互独立；命题乙：“A与B相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题（ ） A. 甲乙都是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲乙都是假命题 2. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 从0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，是三条不重合直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6 已知函数，则函数满足 A. 最小正周期为 B. 图象关于点对称 C. 在区间上为减函数 D. 图象关于直线对称 7. 已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（ ）. A. 有相同的焦距 B. 有相同的焦点 C. 有相同的离心率 D. 有相同的渐近线 11. 公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 时，最小值为2022 C. 有最大值 D. 时，的最大值为4043 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12 已知，，则______． 13. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中直线与平面所成角的正弦值为________． 14. 已知是数列的前n项和，，且，，则_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 16. 杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值及这组数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率． 17. 已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，. （1）证明：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程； （3）若，且，求的最大值． 19. 函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数在处的极限定义如下：，存在正数，当时，均有，则称在处的极限为A，记为，例如：在处的极限为2，理由是：，存在正数，当时，均有，所以.已知函数，，（，为自然对数的底数）. （1）证明：在处的极限为； （2）若，，，求的最大值； （3）若，用函数极限的定义证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $