精品解析：北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期数学统练4试题

人大附中高二下学期数学统练4 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有（ ） A. 17种 B. 34种 C. 35种 D. 70种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理直接求解即可. 【详解】由分类加法计数原理得，甲作出的不同的选择情况共有种，故A正确. 故选：A 2. 已知等比数列满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由等比数列的通项公式可得公比，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 若，，则有，解得， 故， 故选：D. 3. 已知离散型随机变量X的分布列如下： X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望E(X)等于（ ） A. 1 B. 0.6 C. 2＋3m D. 2.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质先求出m，再套用数学期望的公式即可求解 【详解】∵分布列中出现的所有的概率之和等于1， ∴解得 ∴ 故选：D 4. 若随机变量，则（ ） A. 4.8 B. 2.4 C. 9.6 D. 8.6 【答案】C 【解析】 【分析】由，求出，进而由线性关系计算出. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 5. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ） A. 84% B. 85% C. 86% D. 87% 【答案】C 【解析】 【分析】分别设为甲厂产品，为乙厂产品，表示合格产品，依据全概率公式计算即可． 【详解】设为甲厂产品，为乙厂产品，表示合格产品，则，，，， 所以， 故选：C 6. 若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标后计算即可得. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 则有，解得. 故选：C. 7. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ） A. 两人都成功破译的概率为 B. 两人都成功破译的概率为 C. 密码被成功破译的概率为 D. 密码被成功破译的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】应用独立事件乘方公式求两人都成功破译的概率，结合对立事件、互斥事件的概率求密码被成功破译的概率. 【详解】两人都成功破译的概率为，A、B错误； 密码被成功破译的概率为，C错误，D正确. 故选：D. 8. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由题，变形得即可选出选项 【详解】由题：，， 即，由于题目给定各项为正，所以等价于公比为. 故选：C 【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用. 9. 有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种． A. 36 B. 72 C. 108 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】先将护士和医生分别分成三组，再将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，根据分步乘法计数原理可求出结果. 【详解】将3名医生平均分配到三家医院，有种， 将6名护士按要求平均分配到三家医院，有， 所以不同的分配方法有. 故选：C. 10. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出利润关于的函数，利用导函数求出利润最大时的的取值. 【详解】设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，， ， 于是，递减；，递增， 所以是极小值点，于是在，只可能使得最大. 故选：D 二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）· 11. 若随机变量X服从二项分布，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布计算公式计算出正确答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 12. 袋中装有4个黑球，3个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】结合古典概型概率公式、独立事件的概率公式，直接利用条件概率公式求解即可. 【详解】设甲摸到黑球为事件A，则， 乙摸到白球为事件，则， 则甲摸到黑球的条件下，乙摸到球的概率为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式以及独立事件的概率公式，条件概率公式， 意在考查综合运用所学知识解答问题的能力. 13. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为 ______ . 【答案】 【解析】 【分析】 分析甲获胜的方式：(1)前两局甲都获胜；(2)前两局甲获胜一局，第三局甲获胜，由此计算出甲获得冠军的概率. 【详解】因为甲获胜的方式有和两种， 所以甲获得冠军的概率. 故答案为：. 【点睛】本题考查独立事件的概率计算，对问题分析的能力要求较高，难度一般.若事件互相独立，则. 14. 从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法． 【答案】130 【解析】 【分析】考虑恰好有2只能配成一双和恰好有4只能配成两双两种情况，计算相加得到答案. 【详解】当恰好有2只能配成一双有：； 当恰好有4只能配成两双有：； 故共有种不同的取法. 故答案为： 15. 已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用数学归纳法判断①，通过递推公式，判断出数列单调性，根据取值范围对判断②④，算出即可判断③． 【详解】对于①，，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，， 综上，，故①正确； 对于②，由，可得数列是递减数列，故②正确； 对于③，，，，， ，故③错误； 对于④，，所以， 累加得，所以，， 所以，又，故成立，④正确． 故答案为：①②④. 三、解答题（本大题共3小题，其中16题11分，17题12分，18题12分.） 16. 某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， （1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望； （3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系. 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 3 P （3）所以，，． 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的所有取值，再利用古典概型的概率公式求出相应概率，进而得出分布列，再结合期望公式求解即可； （3）由题意可知，，再结合二项分布的数学期望求解. 【小问1详解】 设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A， 所以． 【小问2详解】 因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，若从这7人中随机取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望为． 【小问3详解】 由题意可知，，， 所以，， 所以． 17. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求、的值： （2）求函数的单调区间； （3）令，若函数的极小值小于，求的取值范围． 【答案】（1）、 （2）单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，从而求出参数的值； （2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间； （3）首先可得，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，从而得到函数的极小值，再说明极小值恒小于，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又函数在点处的切线方程为， 所以，即，解得. 【小问2详解】 由（1）可得定义域为， 所以， 所以当时，当时， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 因为定义域为， 则， 当，即时恒成立，所以在定义域上单调递增，不符合题意； 对于方程，当，即时恒成立， 所以恒成立，所以在定义域上单调递增，不符合题意； 当则时方程有两个不相等的正实数根、， 不妨设，则且 所以当或时，当时， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 此时在处取得极大值，在处取得极小值， 则， 令，，则， 所以在上单调递减，所以， 即，所以. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 18. 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为. （1）直接写出的所有自邻集； （2）若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； （3）若，求证：. 【答案】（1） （2） 对于的含5个元素的自邻集， 不妨设. 因为对于，都有或，，2，3，4，5， 所以，，或. 对于集合，，，，， 因为，所以，，2，3，4，5， ， 所以. 因为，，或. 所以，， 或， 所以对于任意或，，2，3，4，5， 所以集合也是自邻集. 因为当为偶数时，， 所以. 所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应. 所以，的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数. （3） 记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，， 当时，，， 显然. 下面证明：. ①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为 因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是， 所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为. ②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素， 记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集. 此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个； 其中含有最大数为2的集合个数为， 含有最大数为3的集合个数为，， 含有最大数为的集合个数为. 则这样的集合共有个. ③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个. 综上可得， 所以， 故时，得证. 【解析】 【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可； （2）取的一个含5个元素的自邻集，判定 集合，再证明C也是自邻集且，从而得出结论； （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，则当时有，再分类讨论证明即可. 【小问1详解】 由题意可得，的所有自邻集有：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：第二问取自邻集，和集合，，，，，先由定义判定，且集合也是自邻集，.即可证明结论；第三问记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，有，再分三类①自邻集含有，，这三个元素的自邻集的个数为，②自邻集含有，这两个元素的集合共有个，③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个来证明：即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中高二下学期数学统练4 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有（ ） A. 17种 B. 34种 C. 35种 D. 70种 2. 已知等比数列满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知离散型随机变量X的分布列如下： X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望E(X)等于（ ） A. 1 B. 0.6 C. 2＋3m D. 2.4 4. 若随机变量，则（ ） A. 4.8 B. 2.4 C. 9.6 D. 8.6 5. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ） A. 84% B. 85% C. 86% D. 87% 6. 若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ） A. 两人都成功破译的概率为 B. 两人都成功破译的概率为 C. 密码被成功破译的概率为 D. 密码被成功破译的概率为 8. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种． A. 36 B. 72 C. 108 D. 144 10. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）· 11. 若随机变量X服从二项分布，则______． 12. 袋中装有4个黑球，3个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是_____. 13. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为 ______ . 14. 从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法． 15. 已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（本大题共3小题，其中16题11分，17题12分，18题12分.） 16. 某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， （1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望； （3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系. 17. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求、的值： （2）求函数的单调区间； （3）令，若函数的极小值小于，求的取值范围． 18. 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为. （1）直接写出的所有自邻集； （2）若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； （3）若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $