第07讲：基本不等式（9大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第07讲：基本不等式 【考点梳理】 · 考点一、利用基本不等式比较大小 · 考点二、利用基本不等式求积最大值 · 考点三、利用基本不等式求和最小值 · 考点四：二次或二次商式的最值 · 考点五：条件等式求最值 · 考点六：基本不等式‘1’的妙用 · 考点七：基本不等式恒成立问题 · 考点八：基本不等式在实际问题中的应用 · 考点九、用基本不等式证明不等式 【知识梳理】 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点三　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【例题详解】 题型一、利用基本不等式比较大小 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·江苏徐州·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·全国·单元测试）下列不等式恒成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 题型二、利用基本不等式求积最大值 4．（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 6．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型三、利用基本不等式求和最小值 7．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 8．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 9．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型四：二次或二次商式的最值 10．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 12．（21-22高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型五：条件等式求最值 13．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 14．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 15．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型六：基本不等式‘1’的妙用 16．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 17．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 18．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 题型七：基本不等式恒成立问题 19．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八：基本不等式在实际问题中的应用 22．（23-24高一上·江苏扬州·期末）某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（    ） A．小于20克 B．不大于20克 C．大于20克 D．不小于20克 23．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 题型九、用基本不等式证明不等式 25．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1);(2). 26．（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数. (1)证明：； (2)若，证明：. (3)已知是正数，且，求证：． 27．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且． (1)求证：；(2)求证：． 【专项训练】 一、单选题 28．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 29．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 30．（23-24高一上·湖南·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 31．（23-24高一上·湖北·期末）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 32．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 33．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 35．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 36．（23-24高一上·四川宜宾·期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 37．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 二、多选题 38．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 39．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值是 B．若都是正数，且，则的最小值是3 C．若，则的最小值是3 D．若实数满足，则的最大值是4 40．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若均为正数，且满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 41．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知正实数，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D．的最小值为4 42．（23-24高三上·山东青岛·期末）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 43．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 44．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 . 45．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 46．（23-24高一上·江西新余·期末）已知，则的最小值为 ． 47．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 四、解答题 48．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 49．（23-24高一上·河南洛阳·期末）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 50．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)；(2)． 51．（23-24高一上·重庆·期中）（1）已知，求的最小值； （2）若，且满足条件，求的最小值． 52．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲：基本不等式 【考点梳理】 · 考点一、利用基本不等式比较大小 · 考点二、利用基本不等式求积最大值 · 考点三、利用基本不等式求和最小值 · 考点四：二次或二次商式的最值 · 考点五：条件等式求最值 · 考点六：基本不等式‘1’的妙用 · 考点七：基本不等式恒成立问题 · 考点八：基本不等式在实际问题中的应用 · 考点九、用基本不等式证明不等式 【知识梳理】 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点三　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【例题详解】 题型一、利用基本不等式比较大小 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确； 对于C，因为，所以，，所以，错误； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以即，错误； 故选：B. 2．（22-23高二下·江苏徐州·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质以及基本不等式判断各选项． 【详解】由，则，所以； 由，则，所以； 由基本不等式可得. 所以，故B正确，选项A、C、D错误. 故选：B. 3．（22-23高一·全国·单元测试）下列不等式恒成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】对于A、B、C：取特殊值否定结论；对于D：利用基本不等式直接证明. 【详解】对于A：取，，则，，此时. 故A错误； 对于B：取，，则，，此时. 故B错误； 对于C：取，，则，，此时. 故C错误； 对于D：因为，所以. 故D正确. 故选：D 题型二、利用基本不等式求积最大值 4．（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：C． 5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 6．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式的变形求解出最大值. 【详解】由题意可知，当时，， ， 当且仅当，即时取等号， 最大值为， 故选：C. 题型三、利用基本不等式求和最小值 7．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 8．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正实数满足， 所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 9．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先求得的最小值，进而求得正确答案. 【详解】依题意，正实数满足，， ，所以 ，当且仅当时等号成立， 即，所以. 故选：D 题型四：二次或二次商式的最值 10．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 11．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 12．（21-22高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 题型五：条件等式求最值 13．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 14．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 15．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将条件等式变形得，进一步结合基本不等式即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以. 故选：A. 题型六：基本不等式‘1’的妙用 16．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 17．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 18．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案. 【详解】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 题型七：基本不等式恒成立问题 19．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 20．（22-23高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点睛：关键是对已知条件等式变形，利用基本不等式的乘“1”法，求出的最小值，从而即可顺利得解. 21．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 题型八：基本不等式在实际问题中的应用 22．（23-24高一上·江苏扬州·期末）某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（    ） A．小于20克 B．不大于20克 C．大于20克 D．不小于20克 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设天平的左臂长为，右臂长为（不妨设）， 第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为， 由杠杆平衡的原理，可得，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以顾客所得的黄金不小于20克. 故选：D. 23．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 24．（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元 【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题可知 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在时取最小值， 于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元． 题型九、用基本不等式证明不等式 25．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 26．（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数. (1)证明：； (2)若，证明：. (3)已知是正数，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用基本不等式证明不等式； （2）应用“1”的代换，结合基本不等式证明不等式； （3）由，应用基本不等式有，即可证结论. 【详解】（1）由， 当且仅当时等号成立，即，得证. （2）由 ， 当且仅当时等号成立，则，得证. （3）由， 当且仅当时等号成立，不等式得证. 27．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得证． （2）将代入“”中，从而利用基本不等式即可得证． 【详解】（1）由，所以． 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，由此得证． （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，由此得证． 【专项训练】 一、单选题 28．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可. 【详解】由得， 于是， 又，，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故. 故选：B. 29．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 30．（23-24高一上·湖南·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可. 【详解】由重要不等式得，当且仅当时取等， 解得，显然A正确， 故选：A 31．（23-24高一上·湖北·期末）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【分析】根据基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 故选：B 32．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 33．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 34．（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】通过配凑，借助基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， ， 当且仅当，即，时，有最小值. 故选：C. 35．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【答案】B 【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 故选：B. 36．（23-24高一上·四川宜宾·期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先利用必过定点确定的坐标，后利用基本不等式‘1’的代换处理即可. 【详解】在中，当时，，故， 将代入直线方程中，化简得， 故， 当且仅当‘’时取等，即的最小值为. 故选：C 37．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 故选：B 二、多选题 38．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【分析】对于选项A，举出反例，即可判断；对于选项B，用二次函数知识可以求出最大值；对于选项C、D，利用基本不等式即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 39．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值是 B．若都是正数，且，则的最小值是3 C．若，则的最小值是3 D．若实数满足，则的最大值是4 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；根据基本不等式即可判断C；利用万能“”法即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是，故A正确； 对于B，由都是正数，且，得， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是3，故B正确； 对于C，若， 则， 所以，解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是，故C错误； 对于D，令，则， 又，则， 化简得， 所以，解得， 所以的最大值是4，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 40．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若均为正数，且满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，逐项计算判断即可. 【详解】正数满足， 对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当，即取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 41．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知正实数，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D．的最小值为4 【答案】BC 【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当时，，A选项不正确. B选项，，当且仅当时等号成立，B选项正确. C选项，，当且仅当时等号成立，C选项正确. D选项，， 但无解，所以等号不成立，D选项错误. 故选：BC 42．（23-24高三上·山东青岛·期末）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得. 【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得， 解得：或，因，则，故A项错误； 对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则， 解得：或，因，则，即，故B项正确； 对于选项C，由可得：，则，且， 则，当且仅当时取等号， 即时，有最小值，故C项正确； 对于选项D，由可得：，即，且， 则，当且仅当时等号成立， 由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题 43．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式即可求值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：4 44．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 45．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 46．（23-24高一上·江西新余·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】化为，分别求出，，根据已知条件确定，确定原式满足基本不等式成立的条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以有，所以，即； 因为，即；又因为所以， 所以， 当且仅当时，解得，又因为，所以， 时等号成立，所以的最小值为； 故答案为： 47．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值. 【详解】已知实数且， 则， ， 当或时等号成立，即的最大值为1； ，当，或时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值. 四、解答题 48．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 49．（23-24高一上·河南洛阳·期末）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）7 【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解； （2）由题意得，，，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为，，且， 当且仅当，时取等号，所以， 故的最大值为； （2）因为正数，满足， 所以， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 50．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 51．（23-24高一上·重庆·期中）（1）已知，求的最小值； （2）若，且满足条件，求的最小值． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）再利用基本不等式可得答案； （2）再利用基本不等式可得答案． 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即等号成立， 所以当时，的最小值为9； （2）因为，，所以，，， 则 ， 当且仅当，即，等号成立， 所以当，时，的最小值为. 52．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. （2）解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$