广东省广州三校（广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学）2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023学年第二学期期末三校联考 高二数学 本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列为等差数列，且，则 A．33 B．44 C．66 D．88 2. 已知随机变量的分布列为，则 A. B. C. D. 3. 若在和处有极值，则函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 4. 某学校校医研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为(8,25)．由于保管不善， 记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用m，n代替， 已知，，则下列结论正确的是 A．在m,n确定的条件下，去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r增大 B．在m,n确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则 C．在m,n确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则当时，残差为 D．事件“”发生的概率为 5.设双曲线：的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是 A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第3项 7. 对于函数，当时，．锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，设，则 A． B． C． D． 8. 甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10. 爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则（ ） A. 事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥 B. “放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为 C. 表演成功的环节个数的期望为3 D. 在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为 11. 函数（a，），下列说法正确的是（    ） A．当，函数有两个零点，则b的取值范围是 B．当，不等式恒成立，则b的取值范围是 C．当，函数有三个不同的零点，则b的取值范围是 D．当，函数有三个零点且，则的值为1． 三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共15分 12. 在等比数列中，，，则____. 13. 某校数学建模社团对校外一座山的高度h（单位：米） 进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进， 在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角α和β（β > α）， 多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型 h=_______米（h是用α和β表示的一个代数式）；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行次测量，其误差近似满足，为使误差在的概率不小于0.9973，至少要测量______次. （参考数据：若，则） 14. 若，设的零点分别为，则 . （其中表示a的整数部分，例如：） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）记. （1）当时，为数列的前n项和，求的通项公式； （2）记是的导函数，求. 16.（15分）已知函数，，. （1）当时，求函数的最小值； （2）若直线是曲线的切线，求证：对任意的，都有. 17.（15分）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面A1B1C1D1内的投影为点A1，且AB=AA1=2AD，∠ABC=120°． （1）求证：平面A1BD⊥平面ADD1A1； （2）已知点E在线段C1D上（不含端点位置），且平面A1BE与平面BCC1B1的夹角的余弦值为，求的值． 18.（17分）蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本.已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差. （1）求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） （2）为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行.比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束.当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为. 假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为，求的分布列及的值. （参考数据：，，，，） 19.（17分）已知椭圆C：短轴长为2，左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，，，直线与直线MO交于点，直线与直线NO交于点． （1）若的坐标为，求椭圆C的方程； （2）在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足，，成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围； （3）若，求实数a的取值范围． 三校联考 高二数学试卷 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三校联考高二数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A C D C A C B AD BCD ACD 12. 31 13. （也可以写成）； 72 14. 4 15. 【详解】（1）当时，. 当时，. 又当时，不满足上式，所以 （2） ① ② ①-②得， 16. 【详解】（1）当时，，则， 令，解得；令，解得， 在区间上单调递减，在区间上单调递增. ，函数的最小值为. （2）由已知得， 设切点为，则且，解得，，，. 要证，即证，即证，即证， 令，，原不等式等价于，即，设，则， 在区间上单调递增，，即成立， 所以对任意，都有. 17. 【解析】（1）不妨设，因为平面平面，故， 在中，， 由余弦定理，， 得，故，则， 因为平面，所以平面， 而平面，所以平面平面； （2）由（1）知，两两垂直，如图所示，以为坐标原点， 建立的空间直角坐标系， 则， 故， ，所以， 设，则，即， 所以； 设为平面的一个法向量，则 令，则，所以， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 解得，故． 18. 【解析】（1）根据题意，得， 因为 ， 同理， 所以 所以总样本的平均数为，方差. （2）依题意可知，的所有可能取值为0，1，2， 设“第场比赛在甲区举行，甲区代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙区举行，甲区代表队获胜”为事件，，则， 所以， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 P . 19. 【解析】（1）依题意，，故椭圆C：； 易知点为的重心，则，故， 代入椭圆方程得∴椭圆C的方程为； （2）∵，，成等差数列，．∴． 设，，AD中点．， 由弦长公式 ， ∵，∴， 同理，代入可得， ①当AD斜率存在时两式作差可得，， ∴， ∴弦AD的中垂线方程为， 当时，，即AD的中垂线的纵截距为． ∵在椭圆C内，∴，得，且． ②当AD斜率不存在时，此时AD：，AD的中垂线的纵截距为0． ∴综上所述，弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为． （3）解法一：易知点，分别为，的重心，设，，设点，，则根据重心性质及面积公式得， ， 而∴， ∴，∴，， 设直线l：，则联立椭圆方程得 消元化简得，，， ∴，， ∴， ∴对任意的t恒成立， 即，故实数a的取值范围为． 解法二：易知点为的重心，， ∴，，， 此时，设点，，，，则根据重心的性质可得， ∴，，， ∴，；； 而，∴， ∴，； 设直线l：，则联立椭圆方程得 消元化简得，，， ∴，， ∴， ∴对任意的t恒成立， 即，故实数a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$