精品解析：广东省佛山市顺德区光正实验学校2023-2024学年中考三模数学试题

初中部2023-2024学年第二学期初三年级考前适应性训练数学试卷 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上，用2B铅笔涂上考号对应数字． 2．必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 4．本试卷总分是120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 如图的展开图中，能围成三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 演讲比赛共有8位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到6个有效评分，这6个有效评分与原始评分相比，不变的数字特征是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. 72 B. 68 C. 75 D. 80 8. 关于x一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知三角板，，，，将三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点A的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为（ ） A. B. C. D. 10. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：＝________． 12. 一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是_______________． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上，则的值为______． 14. 如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是______． 15. 如图，在中，点D是中点，，若，，则___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，中，． （1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）在上确定一点D，使D到的距离相等； （2）在（1）的条件下，过点D作，交于点E，则的周长为 ． 18. 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度．小刚在处用高的测角仪，测得教学楼顶端A的仰角为，然后向教学楼前进到达，又测得教学楼顶端A的仰角为．求这幢教学楼的高度．（已知：，，结果保留一位小数） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E． （1）求证：； （2）若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 20. 我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法、．国画、．合唱、．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人； （2）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为 ，请补全条形统计图； （3）该校共有名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人； （4）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率． 21. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． （1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ （2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题11分，第23题各13分，共24分． 22. 【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．． 飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．． 【建立模型】任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 23. 如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，． （1）问题解决：①写出与的数量关系： ；②的值为 ； （2）类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中部2023-2024学年第二学期初三年级考前适应性训练数学试卷 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上，用2B铅笔涂上考号对应数字． 2．必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 4．本试卷总分是120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 如图的展开图中，能围成三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一般三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形，进而得出答案． 【详解】解：把选项中的平面展开图经过折叠后． A选项展开图能围成四棱锥． B选项展开图能围成圆柱体． C选项展开图能围成圆锥 因此A、B、C都不能围成三棱柱． 选项展开图能围成三棱柱． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了几何图形初步，涉及到三棱柱表面展开图，需注意上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，其中具备一定的空间想象能力是解决本题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法及乘法、幂的乘方及合并同类项，根据同底数幂的除法及乘法、幂的乘方及合并同类项的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，则错误，故不符合题意； B、，则错误，故不符合题意； C、与不能合并，则错误，故不符合题意； D、，则正确，故符合题意， 故选D． 4. 演讲比赛共有8位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到6个有效评分，这6个有效评分与原始评分相比，不变的数字特征是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可． 【详解】解：根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到6个有效评分．这6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，即不变的数字特征是中位数，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是指将一组数据从小到大或者从大到小重新排列后，最中间的那个数；一组数据中出现次数最多的数叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 5. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于x轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的两个点的坐标关系，掌握“关于x轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．”是解题的关键． 6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程． 【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨， 则． 故选B 【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键． 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. 72 B. 68 C. 75 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】由作图法可得MN是AB的垂直平分线；利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠A=∠DBA=36°，进而求得∠BDC，最后由三角形内角和为180°便可解答． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，外角的性质，三角形的内角和定理；解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 8. 关于x一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可. 【详解】解：设方程的另一个根为，则， 解得：； 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程的两个根，则. 9. 如图，已知三角板，，，，将三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点A的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据30度所对直角边等于斜边的一半，得到，根据勾股定理求得的长度，再根据题意得到是等边三角形，根据等边三角形的性质确定转动的角度，最后运用弧长公式即可解题． 【详解】解：，，， ， ， ， 当落在边时，，， 是等边三角形， 转动了， 点转过的路径长， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的性质和判定、30度所对直角边等于斜边的一半、弧长公式，熟练掌握相关性质定理即可解题。 10. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行， ，， ∵， ，. . 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：＝________． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式，即可解答． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法． 12. 一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 由红球的个数及球的总数，根据概率的计算公式即可． 【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 14. 如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合是解题的关键． 如图，记一次函数图象与轴的交点为，则，设，，由题意知，，可得，，联立可得，，则，，由，求的值，进而可求的值． 【详解】解：如图，记一次函数图象与轴的交点为， 当时，， 解得，， ∴， 设，， ∴， 整理得，， 联立得，，整理得，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 15. 如图，在中，点D是中点，，若，，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判断及性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，点D是中点， ∴． 故答案为：10． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂、算术平方根、乘方，再运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，然后化简，即可作答． 【详解】解：（1） （2） 17. 如图，中，． （1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）在上确定一点D，使D到的距离相等； （2）在（1）的条件下，过点D作，交于点E，则的周长为 ． 【答案】（1） 解：点D如图所示， ； （2）8 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于点D即可； （2）根据勾股定理求得的长，根据角平分线的性质得到，再利用证明求得，则，利用三角形的周长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：中，， ∴， 由作图知是的平分线，且，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴的周长为． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质． 18. 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度．小刚在处用高的测角仪，测得教学楼顶端A的仰角为，然后向教学楼前进到达，又测得教学楼顶端A的仰角为．求这幢教学楼的高度．（已知：，，结果保留一位小数） 【答案】这幢教学楼的高度是 【解析】 【分析】利用的正弦值可求长，加上即为这幢教学楼的高度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴ ， ∴(m)， 答：这幢教学楼的高度是． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E． （1）求证：； （2）若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线，点D为切点， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论； （2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解； ②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为2； ②在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 20. 我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法、．国画、．合唱、．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人； （2）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为 ，请补全条形统计图； （3）该校共有名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人； （4）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率． 【答案】（1） （2） ， 补全统计图如下： （3）约人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据最喜爱国画的人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数； （2）用度乘以合唱的人数占比即可求出合唱所对应的圆心角度数；根据（）所求，求出水彩画的人数即可补全统计图； （3）用乘以书法所占样本的比即可得解； （4）先列表到所有的等可能性的结果数，再找到小明和小华所选的课程恰好相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可 【小问1详解】 解：人， ∴本次被调查的学生人数为人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∴合唱所对应的圆心角的度数为； 水彩画学生人数为人； 【小问3详解】 解：书法的人数为：（人）； 【小问4详解】 解：列表如下： 由表格可知，共有种等可能的情况，其中小明和小华所选的课程恰好相同的结果数种， ∴小明和小华所选的课程恰好相同的概率是． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图掌握树状图或列表法求解概率是解题的关键． 21. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． （1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ （2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 【答案】（1）前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元 （2）学校最多购买了62支钢笔作为奖品 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，掌握分式方程及一元一次不等式的应用． （1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据数量=费用单价，结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”，即可得到等量关系，列出分式方程求解，并检验解即可； （2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据费用=单价数量，找到题目中的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元，列出不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元． 【小问2详解】 解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为62， 答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题11分，第23题各13分，共24分． 22. 【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．． 飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．． 【建立模型】任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务：； 任务：米； 任务：． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式解答． 任务：由表格中的数据可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为：，把点的坐标代入解析式可得：，解方程求出的值即可； 任务：把代入关于的函数表达式，可得，解方程，可得：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，所以可得发射台高度的取值范围为． 【详解】解：任务： 二次函数经过点，， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：； 任务2：， ， ， 整理得：， 当水火箭落地（高度为）时，， 解得：（不合题意，舍去），， 答：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：设的长度为， 水火箭的抛物线解析式为， 当抛物线经过点时， ， 点的坐标为， ， 解得：， 当抛物线经过点时， ，， ， 点的坐标为， ， 解得：， 水火箭落到内（包括端点，）， ， ， 答：发射台高度的取值范围为：． 23. 如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，． （1）问题解决：①写出与的数量关系： ；②的值为 ； （2）类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值． 【答案】（1）①；②1 （2） ，理由如下： 如图，作于， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵（k为常数）， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得证；②证明四边形四边形是平行四边形，得出，即可得证； （2）作于，证明，得出，证明四边形是矩形，得出，从而推出，即可得解； （3）作交的延长线于，作于，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出，即，再由勾股定理求出，从而得出，结合（2）的结论即可得解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作交的延长线于，作于，连接， ， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， 由（2）的结论可得：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与 、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $