精品解析：福建省福州屏东中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

福州屏东中学2023-2024学年第二学期期末考试 八年级数学 （全卷共4页，25小题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 观察如图每组图形，是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四个等式中，不是的函数的是（　　） A B. C. D. 3. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A AB＝CD，AD＝BC B. AB∥CD，AD＝BC C. ∠A＝∠C，∠B＝∠D D. AB∥CD，AD∥BC 4. 一次函数图象经过点，则的值是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是10，则的周长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 A. B. C. D. 7. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15（单位：岁），则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ） A 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 9. 已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 10. 如图，为等腰直角三角形，，，为直角边上任意一点，以线段为斜边做等腰，连接，下列说法错误的是（　　） A. B. C. 四边形面积的最大值为 D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 将正比例函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为________． 12. 若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是______． 13. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为________． 16. 已知抛物线（，，是常数），．下列四个结论： ①若抛物线经过点，则； ②若，则方程一定有根； ③若，则方程一定有两个不相等实数根； ④若，是抛物线上两点，当时，则． 其中正确的是________（填写序号）． 三、解答题（共9小题） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，邻边，上的高相等，即．求证：四边形是菱形． 19. 如图，在中，点是上一点，且，，，求证：． 20. 已知二次函数自变量与函数部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … （1）求二次函数解析式及顶点坐标； （2）点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点． （1）尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求DF的长． 22. 4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如表： 月阅读册数（本） 1 2 3 4 5 被调查的学生数（人） 5 14 14 10 7 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生月阅读册数的中位数是________； （2）求被调查的学生月平均阅读册数； （3）若该中学有学生1000人，请估计四月份该校学生阅读课外书籍不少于3本的共有多少人？ 23. 某工厂生产型产品，每件成本为元，当型产品的售价为元时，销售量为万件．要求每件型产品的售价不低于元且不高于元．经市场调查发现，与之间满足一次函数关系，且当时，；时，． （1）求与的函数关系式； （2）若某次销售刚好获得万元的利润，则每件型产品的售价是多少元？ 24. 已知四边形中，，，分别是，边上的点，交于点． （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2，若四边形是矩形，，平分交于点，交于点．当为的三等分点时，求的长； （3）如图3，若，，，请直接写出的值． 25. 在平面直角坐标系中中，已知直线与抛物线． （1）当直线与抛物线只有一个公共点时，求的值； （2）若抛物线向下平移个单位后与直线必有交点，求的取值范围； （3）设直线与抛物线交于不同的两点，，其中点在第二象限，过点作轴的垂线分别与抛物线，直线交于点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州屏东中学2023-2024学年第二学期期末考试 八年级数学 （全卷共4页，25小题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 观察如图每组图形，是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的定义，理解相似图形的形状相同是解答本题的关键，本题中只要判断两个图形的形状是否相同，即可得到答案． 【详解】A．两图形形状不同，不符合题意； B．两图形形状相同，符合题意； C．两图形形状不同，不符合题意； D．两图形形状不同，不符合题意． 故选：B． 2. 下列四个等式中，不是的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，明白“在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数”是解题的关键． 【详解】解：A．，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意； B．，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意； C．，对于的每一个取值，不都有只有唯一确定的值与之对应，例如，，故不是的函数，此项符合题意； D．，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意． 故选：C． 3. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. AB＝CD，AD＝BC B. AB∥CD，AD＝BC C. ∠A＝∠C，∠B＝∠D D. AB∥CD，AD∥BC 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵AB=CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据AB∥CD ，AD＝BC，可能得出四边形ABCD是等腰梯形，不一定能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，属于基本题型，熟练掌握平行四边形常见的判定方法是解题的关键． 4. 一次函数图象经过点，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 5. 如图，在中，点是中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是10，则的周长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由四边形是平行四边形，得到，再根据中点的定义和三角形中位线定理得，，，从而得出可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点是的中点， ，， 的周长是10， 的周长， 故选：B． 6. 函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A． 【详解】解：∵在y=ax-2， ∴b=-2， ∴一次函数图象与y轴的负半轴相交， ∵①当a＞0时， ∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限， ∵②当a＜0时， ∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限， 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系． 7. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，x个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：， 故选C． 8. 南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15（单位：岁），则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：∵南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15， ∴三年后这五位小讲解员的年龄为13，15，15，16，18， ∴会改变的是平均数、众数和中位数，不会改变的是方差． 故选：A． 9. 已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，已知对称轴求对称点，熟练掌握知识点是解题的关键． 需将点转化到对称轴同一侧，借助于二次函数的增减性分析，可知二次函数对称轴为直线，由，若点关于直线的对称点记为，则，故，则． 【详解】解：已知二次函数，故对称轴为直线， ∵， ∴点关于直线的对称点记为， ∴， ∵，， ∴， 由二次函数知在对称轴右侧，y随着x的增大而增大， ∴， 故选：B． 10. 如图，为等腰直角三角形，，，为直角边上任意一点，以线段为斜边做等腰，连接，下列说法错误的是（　　） A. B. C. 四边形面积的最大值为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到与相似；利用相似三角形对应角相等及等式的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到；根据的面积为定值，若四边形的面积最大，则的面积最大；由高一定，面积最大即为最长，故四边形面积最大时，、重合，求出此时面积，即为最大面积，即可对于选项做出判断． 【详解】∵，都为等腰直角三角形， ，，， ∴， 即， 故选项A正确，不符合题意； ， 由①知， ； 故B选项正确，不符合题意 ； ， 即， 故D选项正确，不符合题意； 的面积为定值， 若四边形的面积最大，则的面积最大； 中，边上的高为定值， 若的面积最大，则的长最大； 由可知：当最长时，也最长； 故四边形面积最大时，、重合，此时，, 四边形的面积为： 故选项C错误，符合题意； 故选：C 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 将正比例函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，根据“上加下减”的平移规律得出答案即可，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵将正比例函数的图象沿轴向上平移3个单位长度， ∴所得直线对应的函数表达式为， 故答案为：． 12. 若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴它们的相似比是， ∴它们的周长比是． 故答案为：． 13. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，代入求出的值． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，即，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是将问题转化为交点的横坐标的取值范围． 由得：，故抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，据此求解即可． 【详解】解：由得：， ∴抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集， ∵两图像交于，两点， ∴， 故答案为：． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边对等角、直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系． 根据菱形的性质、等边对等角，求出，求出，再根据斜边中线等于斜边一半、等边对等角，推出，得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 已知抛物线（，，是常数），．下列四个结论： ①若抛物线经过点，则； ②若，则方程一定有根； ③若，则方程一定有两个不相等的实数根； ④若，是抛物线上两点，当时，则． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的对称性与性质、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数、一元二次方程是解题的关键． 将代入抛物线可得，联立，判断①；将代入可得，结合，，推出，判断②；根据，，，结合一元二次方程的根的判别式，判断③；根据二次函数的图象的对称性与性质，判断④． 【详解】解：将代入抛物线可得，联立可得： ， 得：， 左右同除以6得：，故①错误； 将代入可得， ∵，， ∴， ∴是方程一个根，故②正确； ∵，即， ，则， ∴ 又∵， ∴，即， ∴若，方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵，是抛物线上的对称点，， ∴当时，和时，相等， ∴，故④正确； 综上所述：结论正确的有②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题（共9小题） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的相应解法是解决问题的关键． （1）根据解一元二次方程的方法步骤，选择配方法求解即可得到答案； （2）根据解一元二次方程的方法步骤，选择因式分解法求解即可得到答案 【小问1详解】 移项得： 配方得： 可得： 直接开平方得： 解得：， 【小问2详解】 移项得： 提公因式得： ， ， 18. 如图，在平行四边形中，邻边，上的高相等，即．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，利用先证，得出，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵四边形平行四边形， ∴， ∵邻边，上的高相等，即， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 19. 如图，在中，点是上一点，且，，，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”这一判定定理证明相似，再根据相似三角形性质证明即可． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … （1）求二次函数解析式及顶点坐标； （2）点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）二次函数解析式为，顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据“当和时，”，设二次函数，根据时，，代入求出，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据和，求出，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点的纵坐标为或，当点的纵坐标为时，，求解得出点的坐标即可；根据二次函数解析式为，顶点坐标为，是最低点，判断当点的纵坐标为时的情况不存在． 【小问1详解】 解：∵当和时，， ∴设二次函数， ∵时，， ∴代入得：，即， 解得：， ∴二次函数解析式为，即， ∴，， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，由表格得和， ∴， ∵， ∴点到的距离， ∴点的纵坐标为或， ∵点为抛物线上一点， ∴当点的纵坐标为时，，即， 解得：， ∴点的坐标为或； ∵二次函数解析式为，顶点坐标为， 当点的纵坐标为时的情况不存在； 综上所述，点的坐标为或． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点． （1）尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求DF的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作DF⊥AE，利用余角的性质找两个角对应相等，则可得到△ABE∽△DFA； （2）先根据中点性质求出BE，再根据勾股定理求出AE长，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点D作DF⊥AE即可； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝∠DFA=90°， ∵∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∴△ABE∽△DFA； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝90°， ∵点E是BC的中点． ∴BE＝BC＝3， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝5， ∵△ABE∽△DFA， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似的变换和勾股定理等知识，正确作出点F是解题的关键． 22. 4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如表： 月阅读册数（本） 1 2 3 4 5 被调查的学生数（人） 5 14 14 10 7 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生月阅读册数的中位数是________； （2）求被调查的学生月平均阅读册数； （3）若该中学有学生1000人，请估计四月份该校学生阅读课外书籍不少于3本的共有多少人？ 【答案】（1） （2）被调查的学生月平均阅读册数是本 （3）四月份该校学生阅读课外书籍不少于3本的共有人 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数和中位数、由样本所占百分比估计总体的数量，熟练掌握数据处理与应用是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）由样本所占百分比估计总体数量，求出答案即可． 【小问1详解】 解：将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，第个数和第个数的平均数为这组数据的中位数， ∴中位数为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（本）， 答：被调查的学生月平均阅读册数是本； 【小问3详解】 解：（人）， 答：四月份该校学生阅读课外书籍不少于3本的共有人． 23. 某工厂生产型产品，每件成本为元，当型产品的售价为元时，销售量为万件．要求每件型产品的售价不低于元且不高于元．经市场调查发现，与之间满足一次函数关系，且当时，；时，． （1）求与的函数关系式； （2）若某次销售刚好获得万元的利润，则每件型产品的售价是多少元？ 【答案】（1） （2）每件型产品的销售单价是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程的应用，理解题意、正确求出函数关系式、列出方程求解是解题的关键． （1）利用待定系数法设，求出与的函数关系式即可； （2）根据总利润为万元，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∵当时，；时， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵由题意得：每件产品利润为元， ∴万件的利润为， ∴获得万元的利润时，， 解得：，， ∵， ∴， 答：每件型产品的销售单价是元． 24. 已知四边形中，，，分别是，边上的点，交于点． （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2，若四边形是矩形，，平分交于点，交于点．当为的三等分点时，求的长； （3）如图3，若，，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，得出，，推出，利用证明，即可得出； （2）作于，结合矩形的性质，证明，设，则，分“当时”和“当时”两种情况讨论，根据，求出、，根据勾股定理求出的长即可； （3）连接，过点作于，过点作于，证明四边形是矩形，得出，，利用证明，得出，推出，，设，则，，根据勾股定理得出方程求解，求出，推出，得出，求职即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于， ∵四边形是矩形，，平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，过点作于，过点作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、分类讨论、数形结合是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中中，已知直线与抛物线． （1）当直线与抛物线只有一个公共点时，求的值； （2）若抛物线向下平移个单位后与直线必有交点，求的取值范围； （3）设直线与抛物线交于不同的两点，，其中点在第二象限，过点作轴的垂线分别与抛物线，直线交于点，，求证：． 【答案】（1）或 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线与抛物线只有一个公共点，得出方程，则，求出的值即可； （2）根据抛物线向下平移个单位后与直线必有交点，得出解析式为，得出方程，则，，得出，求出的取值范围即可； （3）根据直线与抛物线交于不同的两点，，得出方程，求出，根据点在第二象限，得出点的横坐标，点的横坐标，则点的纵坐标，设直线解析式为，求出，得出直线解析式为，推出点、、的横坐标相同，得出点的纵坐标点的纵坐标，点的纵坐标，可得点的纵坐标点的纵坐标点的纵坐标，推出点是的中点，即可证明． 【小问1详解】 解：由题意得，即， ∵当直线与抛物线只有一个公共点时，则， ∴， ∴或， ∴的值为或； 【小问2详解】 解：抛物线向下平移个单位后解析式为， ∵抛物线向下平移个单位后与直线必有交点， ，即， ∴，， ∴， 解得：； 【小问3详解】 证明：∵直线与抛物线交于不同的两点，， ∴，即， ∴， 又∵点在第二象限， ∴点的横坐标，点的横坐标， ∴点的纵坐标， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵过点作轴的垂线分别与抛物线，直线交于点，， ∴点、、的横坐标相同， 点的纵坐标点的纵坐标， 点的纵坐标， ∴点的纵坐标点的纵坐标点的纵坐标， ∴点是的中点， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象的平移、一次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程，综合运用知识点推理证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$