第06讲 轴对称的性质 （4个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第06讲 轴对称的性质 （4个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【例1】（2022秋•江宁区校级月考）下列图形中，点与点关于直线对称的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•丰县月考）如图，点为内一点，分别作出点关于、的对称点、，连接交于，交于．若，则　　． 【变式2】（2023秋•灌云县校级月考）如图，与△关于直线对称，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2020秋•灌南县校级期末）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点、，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，求（用含的代数式表示）； （3）当，判定的形状，并说明理由． 知识点2．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 【例2】（2023秋•栖霞区校级月考）作已知点关于某直线的对称点的第一步是　　 A．过已知点作一条直线与已知直线相交 B．过已知点作一条直线与已知直线垂直 C．过已知点作一条直线与已知直线平行 D．不确定 【变式1】（2021秋•亭湖区校级月考）如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作： ①作点关于的对称点； ②作射线交于点； ③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是　　 A． B． C． D．以上三种情况都有可能 【变式2】（2021秋•灌云县月考）如图，在平面直角坐标系中第二象限内，顶点的坐标是，先把向右平移4个单位得到△，再作△关于轴对称图形△，则顶点的坐标是　　． 【变式3】（2023秋•沭阳县校级期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于轴对称的△的各顶点坐标； （2）请画出关于轴对称的△； （3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标 　　． 知识点3．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 【例3】（2023秋•建邺区校级月考）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•灌云县月考）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到　　 A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形 【变式2】（2022秋•工业园区校级月考）把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应形成的角度是 　　度． 【变式3】（2020秋•阜宁县期中）任意剪一张直角三角形纸片，如图（1），先后经过两次折叠得到图（2）和（3）的形状，可以发现两次折痕与斜边交于同一点，于是得到直角三角形的重要性质：　　（填空），试证明这一性质． 知识点4．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 【例4】（2023秋•句容市期末）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为　． 【变式1】（2023秋•秦淮区校级月考）如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•润州区期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为　　． 【变式3】（2023秋•兴化市期末）在中，，进行如下操作： （1）如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； （2）如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 经典题型汇编 题型一．轴对称的性质 1．（2023秋•新吴区期中）下列说法错误的是　　 A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B．轴对称图形至少有一条对称轴 C．全等三角形一定能关于某条直线对称 D．角是轴对称的图形 2．（2023秋•句容市月考）如图，点是内一点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连结交、于点和点，连结、．若，则的大小为 　　度． 3．（2023秋•东海县月考）如图所示．点在的内部，点、分别是点关于直线、的对称点，线段交、于点、． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． （3）若连接，请说明平分． 题型二．作图-轴对称变换 4．（2022秋•江阴市期中）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的△； （2）的面积为 　　； 5．（2021秋•如皋市校级月考）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中最多能画出　　个格点三角形与成轴对称． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 6．（2023秋•丹徒区期中）如图，在中，，，，将沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕与交于点． （1）试用尺规作图作出折痕，并描出点的位置；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求线段的长度． 题型三．剪纸问题 7．（2021秋•工业园区校级月考）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•栖霞区校级月考）如图，在中剪去得到四边形，且纸片中的度数为 　　． 9．（江阴市校级月考）图①是一张画有小方格的等腰直角三角形纸片，将图①按箭头方向折叠成图②，再将图②按箭头方向折叠成图③． （1）请把上述两次折叠的折痕用实线画在图④中； （2）在折叠后的图形③中，沿直线剪掉标有的部分，把剩余部分展开，将所得到的图形在图⑤中用阴影表示出来． 题型四．翻折变换（折叠问题） 10．（2023秋•泉山区校级期中）在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 11．（2024•海州区校级一模）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为　　． 12．（2023秋•涟水县期中）如图，在等腰中，，，平分，折叠使得点与点重合，折痕交、、于点、、，连接交于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．圆 D．直角三角形 2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明从镜子里看到镜子对面的电子钟如图所示，则此时的实际时间是（        ）    A． B． C． D． 4．（19-20八年级上·江苏泰州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线 B．等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴 C．全等的两个三角形一定关于某直线对称 D．两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁 5．（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，射线与射线平行，点在射线上，，（为常数，且），为射线上的一动点（不包括端点），将沿翻折得到，连接，则最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（21-22八年级上·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 7．（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法中，正确结论的个数为（    ） （1）有两边对应相等的两个直角三角形全等；（2）有一角为50°，且腰长相等的两个等腰三角形全等；（3）全等的两个图形一定关于某一条直线对称；（4）如果点M与N到直线l的距离相等，那么点M与点N关于直线l对称． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（20-21八年级上·江苏常州·期中）下列说法错误的是（　　） A．轴对称的两个图形一定是全等图形 B．轴对称图形的两部分一定能完全重合 C．两个全等三角形一定关于某直线成轴对称 D．轴对称图形的对称轴至少有一条 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2023八年级上·江苏·专题练习）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）由三个一样的圆组成图形如图所示，它有 条对称轴． 12．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）镜子里写着则实际数字为 ． 13．（21-22八年级上·江苏盐城·阶段练习）角的对称轴是 ，线段的对称轴是 ． 14．（23-24八年级上·江苏南京·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 15．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有 个． 16．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，折痕为，则 °．    17．（19-20八年级上·江苏扬州·期中）一个汽车牌照上的数字在车前水坑中的倒影是，则该车牌照上的数字为 ． 18．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，若的周长为8，求的长． 20．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表示） 21．（22-23八年级上·期中）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积为______． (3)顶点在格点，找出为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出______个． (4)在对称轴l上找到一点P，使最短． 22．（八年级上·江苏·期末）如图，已知△ABM和△ACM关于直线AM对称，延长BM、CM，分别交AC、AB于点D、E．请找出图中与DM一定相等的线段，并说明理由． 23．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，的角平分线相交于点O，．    (1)求的度数． (2)点P是线段上的一个动点，作点P关于的对称点Q，当点P从点B运动到点E的过程中，求： ①点Q运动的路径长为______ ②的最小值． 24．（22-23八年级上·江苏南京·期中）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作出该图形的对称轴l； (2)在图②中，作出点P的对称点． 25．（八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴． 思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴． 当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？ 26．（八年级上·江苏南京·期末）如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称. （1）用无刻度直尺画出直线MN； （2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 轴对称的性质 （4个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【例1】（2022秋•江宁区校级月考）下列图形中，点与点关于直线对称的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的性质，对应点的连线被对称轴垂直平分解答． 【解答】解：点与点关于直线对称的是选项图形． 故选：． 【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 【变式1】（2022秋•丰县月考）如图，点为内一点，分别作出点关于、的对称点、，连接交于，交于．若，则　　． 【分析】根据轴对称的性质，，为内部一点，点关于、的对称点分别为、，，，可求出的度数． 【解答】解：与关于对称， 垂直平分， ， ， 同理：， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，即对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【变式2】（2023秋•灌云县校级月考）如图，与△关于直线对称，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据和△关于直线对称得出△，故可得出，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：和△关于直线对称，，， △， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键． 【变式3】（2020秋•灌南县校级期末）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点、，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，求（用含的代数式表示）； （3）当，判定的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据轴对称的性质得到，，根据角的和差关系解答； （3）根据等边三角形的判定定理证明． 【解答】解：（1），分别是点关于、的对称点， ，， 的周长； （2）连接， ，分别是点关于、的对称点， ，， ； （3）， ， ，分别是点关于、的对称点， ，， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查的是轴对称的性质、等边三角形的判定、角平分线的定义，掌握轴对称的性质和等边三角形的判定定理是解题的关键． 知识点2．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 【例2】（2023秋•栖霞区校级月考）作已知点关于某直线的对称点的第一步是　　 A．过已知点作一条直线与已知直线相交 B．过已知点作一条直线与已知直线垂直 C．过已知点作一条直线与已知直线平行 D．不确定 【分析】根据作图方法可得第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直． 【解答】解：作已知点关于某直线的对称点的第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直， 故选：． 【点评】此题主要考查了作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质． 基本作法：①先确定图形的关键点； ②利用轴对称性质作出关键点的对称点； ③按原图形中的方式顺次连接对称点 【变式1】（2021秋•亭湖区校级月考）如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作： ①作点关于的对称点； ②作射线交于点； ③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是　　 A． B． C． D．以上三种情况都有可能 【分析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【解答】解：如图， ，关于对称， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】（2021秋•灌云县月考）如图，在平面直角坐标系中第二象限内，顶点的坐标是，先把向右平移4个单位得到△，再作△关于轴对称图形△，则顶点的坐标是　　． 【分析】分别作出点、、向右平移4个单位得到的点、、，然后顺次连接，然后再作点、、关于轴对称的点，并顺次连接，求出顶点的坐标． 【解答】解：所作图形如图所示： 顶点的坐标． 故答案为：． 【点评】本题考查了根据轴对称变换和平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接． 【变式3】（2023秋•沭阳县校级期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于轴对称的△的各顶点坐标； （2）请画出关于轴对称的△； （3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标 　　． 【分析】（1）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，此时点到、两点的距离和最小，即可得出点的坐标． 【解答】解：（1）与△关于轴对称， 点，，． （2）如图，△即为所求． （3）如图，点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 知识点3．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 【例3】（2023秋•建邺区校级月考）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是　　 A． B． C． D． 【分析】由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题． 【解答】解：动手操作或由图形的对称性，因剪去的小正方形紧靠对折线，可得打开后是． 故选：． 【点评】本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力，关键是由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解答． 【变式1】（2022秋•灌云县月考）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到　　 A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形 【分析】动手操作可得结论． 【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形． 故选：． 【点评】本题考查剪纸问题，正方形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会动手操作，属于中考常考题型． 【变式2】（2022秋•工业园区校级月考）把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应形成的角度是 　45　度． 【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形， 而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45． 【点评】本题考查了剪纸的问题，同时考查了菱形和正方形的判定及性质，以及学生的动手操作能力． 【变式3】（2020秋•阜宁县期中）任意剪一张直角三角形纸片，如图（1），先后经过两次折叠得到图（2）和（3）的形状，可以发现两次折痕与斜边交于同一点，于是得到直角三角形的重要性质：　直角三角形的斜边的中线是斜边的一半　（填空），试证明这一性质． 【分析】根据直角三角形的性质解答． 【解答】解：如图所示： 由折叠可得：，， ， 直角三角形的性质是直角三角形的斜边的中线是斜边的一半； 故答案为：直角三角形的斜边的中线是斜边的一半． 【点评】此题考查剪纸，关键是根据折叠的性质解答． 知识点4．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 【例4】（2023秋•句容市期末）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为 　40　． 【分析】根据折叠得到，根据得到，结合三角形内角和定理即可得到答案． 【解答】解：沿直线折叠后，点落到点处，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形折叠有关计算，平行线性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠及平行得到角度关系． 【变式1】（2023秋•秦淮区校级月考）如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则是　　 A． B． C． D． 【分析】由折叠的性质得到，由平行线的性质得到，，求出，即可得到． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得到：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查折叠的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2】（2023秋•润州区期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为　72　． 【分析】设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：设，根据翻折不变性可知，， ， ， ， ， ， 故答案为72 【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式3】（2023秋•兴化市期末）在中，，进行如下操作： （1）如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； （2）如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【分析】（1）根据勾股定理求出，由折叠可知：，然后利用勾股定理即可求出的长； （2）由折叠可知：，，然后利用勾股定理即可求出的长． 【解答】解：（1）如图1，在中，，， ， 由折叠可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ； （2）如图2，由折叠可知：，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ． 【点评】本题考查翻折变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 经典题型汇编 题型一．轴对称的性质 1．（2023秋•新吴区期中）下列说法错误的是　　 A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B．轴对称图形至少有一条对称轴 C．全等三角形一定能关于某条直线对称 D．角是轴对称的图形 【分析】根据轴对称的定义和性质逐一分析四个选项的正误，由此即可得出结论． 【解答】解：、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，正确； 、轴对称图形至少有一条对称轴，正确； 、两全等三角形不一定关于某条直线对称，错误； 、角是轴对称的图形，正确． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 2．（2023秋•句容市月考）如图，点是内一点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连结交、于点和点，连结、．若，则的大小为 　40　度． 【分析】连接、、根据轴对称的性质得出，，，，，，结合图形及三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：连接、、， 点关于的对称点为，点关于的对称点为， ，，， ，，，，，， ，， 即，， ，即， ， ， ， 故答案为：40． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质及三角形内角和定理，掌握轴对称的性质，找准各角之间的关系是关键． 3．（2023秋•东海县月考）如图所示．点在的内部，点、分别是点关于直线、的对称点，线段交、于点、． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． （3）若连接，请说明平分． 【分析】（1）根据轴对称的性质得出，，再由即可得出结论； （2）要求的度数，要在中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与的关系，利用已知可求出，答案可得； （3）如图，连接，，．证明，同法可证，由，推出，可得结论． 【解答】解：（1）点、分别是点关于、的对称点， ，，， ，即的周长是； （2）如图， 点、分别是点关于直线、的对称点， 垂直平分，垂直平分， ， 在四边形中， ， ， 即， ， ； （3）如图，连接，，． ，关于对称， 垂直平分线段， ，， ，， ， 同法可证， ， ， ， 平分． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，在计算的过程中运用了四边形的内角和和三角形的内角和定理及其推论，属于辛苦常考题型． 题型二．作图-轴对称变换 4．（2022秋•江阴市期中）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的△； （2）的面积为 　3　； 【分析】（1）根据轴对称的性质，找出关键点、即可； （2）利用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）的面积为， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了作图轴对称变换，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 5．（2021秋•如皋市校级月考）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中最多能画出　　个格点三角形与成轴对称． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解 【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故选：． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 6．（2023秋•丹徒区期中）如图，在中，，，，将沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕与交于点． （1）试用尺规作图作出折痕，并描出点的位置；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求线段的长度． 【分析】（1）作的角平分线与交于点，过点作的垂线交于点即可； （2）根据勾股定理先求出，再在中利用勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：（1）如图，，点即为所求； （2）如图，在中，，， 根据勾股定理得：． 沿折叠，点落在点处， ，，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得，． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的作图、角平分线的作图、翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理求解是解题的关键． 题型三．剪纸问题 7．（2021秋•工业园区校级月考）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是　　 A． B． C． D． 【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案． 【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得： ． 故选：． 【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 8．（2023秋•栖霞区校级月考）如图，在中剪去得到四边形，且纸片中的度数为 　　． 【分析】根据多边形的内角和公式求解． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了剪纸问题，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 9．（江阴市校级月考）图①是一张画有小方格的等腰直角三角形纸片，将图①按箭头方向折叠成图②，再将图②按箭头方向折叠成图③． （1）请把上述两次折叠的折痕用实线画在图④中； （2）在折叠后的图形③中，沿直线剪掉标有的部分，把剩余部分展开，将所得到的图形在图⑤中用阴影表示出来． 【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【解答】解：（1）动手操作后只把折痕画出； （4分） （2）注意应折叠后，剪去该剪去的部分，再展开画出剩下部分． （9分） 【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力． 题型四．翻折变换（折叠问题） 10．（2023秋•泉山区校级期中）在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，由折叠知，，可证，求得，进而求得． 【解答】解：如图，连接，由折叠知，， ，， ． ，． ． ． ． 故选：． 【点评】本题考查折叠的性质、三角形外角的性质、内角和定理；由折叠得到角相等是解题的关键． 11．（2024•海州区校级一模）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为　2.4　． 【分析】由折叠的性质得出，，，由证明，得出，，设，则，，求出、，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：如图所示：四边形是矩形， ，，， 根据题意得：， ，，， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， ，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ； 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 12．（2023秋•涟水县期中）如图，在等腰中，，，平分，折叠使得点与点重合，折痕交、、于点、、，连接交于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【分析】（1）由折叠的性质可得，，垂直平分，由“”可证，可得结论； （2）通过证明，可求． 【解答】（1）证明：折叠， ，，垂直平分， ， ，． ． ， 平分． ． ． 在和中， ， ， ． （2）解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．圆 D．直角三角形 【答案】C 【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可． 【详解】解：因为等边三角形有3条对称轴； 正方形有4条对称轴； 圆有无数条对称轴； 直角三角形不一定是称对轴图形； 经比较知，圆的对称轴最多． 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质． 2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】主要考查了轴对称的性质，按轴对称画图是正确解答本题的关键．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是4号． 故选：D． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明从镜子里看到镜子对面的电子钟如图所示，则此时的实际时间是（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】解：根据题意，得实际时间为， 故选：C． 4．（19-20八年级上·江苏泰州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线 B．等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴 C．全等的两个三角形一定关于某直线对称 D．两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁 【答案】B 【分析】要找出正确的说法，可以运用相关基础知识逐项进行分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项. 【详解】线段是轴对称图形，对称轴有两条，分别是线段的垂直平分线或线段本身所在的直线，故A错误；等腰三角形至少有一条对称轴，至多有三条对称轴，正三角形时有三条对称轴，故B正确；全等的两个三角形并不一定是轴对称图形，故C错误；两图形关于某直线对称，对称点可能重合在直线上，故D错误. 故答案为B. 【点睛】本题考查了轴对称以及对称轴的定义和应用，正确理解并熟练运用定义是解题的关键. 5．（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，射线与射线平行，点在射线上，，（为常数，且），为射线上的一动点（不包括端点），将沿翻折得到，连接，则最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质．由于为定值，所以当点在上时，点到点的距离最大，即可求出答案． 【详解】解：，， ， 由折叠性质知，， 的长度为定值， 当点在上时，点到点的距离最大，如图， 由折叠知，， ， ， 故选：D． 6．（21-22八年级上·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6=337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 7．（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法中，正确结论的个数为（    ） （1）有两边对应相等的两个直角三角形全等；（2）有一角为50°，且腰长相等的两个等腰三角形全等；（3）全等的两个图形一定关于某一条直线对称；（4）如果点M与N到直线l的距离相等，那么点M与点N关于直线l对称． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：（1）有两边对应相等的两个直角三角形全等，符合SAS或HL，正确，该选项符合题意； （2）有一角为50°，且腰长相等的两个等腰三角形全等，错误，理由是50°角不一定都是底角或顶角，该选项不符合题意； （3）全等的两个图形一定关于某一条直线对称，错误，不一定有对称关系，该选项不符合题意； （4）如果点M与N到直线l的距离相等，那么点M与点N关于直线l对称．错误，不一定有对称关系，该选项不符合题意； 综上，只能1个正确选项， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，轴对称的性质． 8．（20-21八年级上·江苏常州·期中）下列说法错误的是（　　） A．轴对称的两个图形一定是全等图形 B．轴对称图形的两部分一定能完全重合 C．两个全等三角形一定关于某直线成轴对称 D．轴对称图形的对称轴至少有一条 【答案】C 【分析】利用轴对称图形的定义或性质以及两个图形成轴对称的性质依次判断即可． 【详解】解：A、轴对称的两个图形一定是全等图形，这句话正确，故该选项不符合题意； B、轴对称图形的两部分一定能完全重合，这句话正确，故该选项不符合题意； C、两个全等三角形一定关于某直线成轴对称，这句话错误，故该选项符合题意； D、轴对称图形的对称轴至少有一条，这句话正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义与性质、对称轴、两个图形成轴对称的性质等知识，解题关键是掌握成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称，因为轴对称包含了一种位置关系． 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则 最小，可得 ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论. 【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， 则最小， ，， ， ， ， 故选:C 10．（2023八年级上·江苏·专题练习）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）由三个一样的圆组成图形如图所示，它有 条对称轴． 【答案】3/三 【分析】本题考查轴对称图形，根据一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可得到答案． 【详解】解：由三个一样的圆组成图形如图所示， 它有3条对称轴． 故答案为：3． 12．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）镜子里写着则实际数字为 ． 【答案】50281 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为：50281． 13．（21-22八年级上·江苏盐城·阶段练习）角的对称轴是 ，线段的对称轴是 ． 【答案】 角平分线所在的直线 垂直平分线 【分析】分别利用各图形，结合对称轴的定义得出答案． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线，线段的对称轴是垂直平分线， 故答案为：角平分线所在的直线，垂直平分线． 【点睛】本题考查了轴对称图形，得出其对称轴位置是解题的关键． 14．（23-24八年级上·江苏南京·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，利用关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求得、的值，再代入计算可得． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 则． 故答案为：． 15．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有 个． 【答案】2 【分析】根据轴对称图形性质来判断，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，即可得出答案． 【详解】（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形，轴对称图形对应线段相等，对应角相等，说法正确； （2）成轴对称的两个图形的对称轴可能在图形中间，说法不正确； （3）等边三角形三边相等，角相等，是轴对称图形且有三条对称轴，说法正确， 故答案为：2 【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的性质，对称轴数量的判断是解题关键． 16．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，折痕为，则 °．    【答案】103 【分析】本题考查轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据折叠先求出的度数，再利用外角定理即可解决问题． 【详解】解：， 由折叠可知， ． 又， ． 故答案为：103． 17．（19-20八年级上·江苏扬州·期中）一个汽车牌照上的数字在车前水坑中的倒影是，则该车牌照上的数字为 ． 【答案】550 【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影上边某条水平的线对称． 【详解】该车牌照上的数字是550． 故答案为550． 【点睛】此题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形． 18．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，若的周长为8，求的长． 【答案】 【分析】此题考查轴对称的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由折叠得，则，所以，求得． 【详解】由折叠可知：， 周长为8， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 20．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 21．（22-23八年级上·期中）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积为______． (3)顶点在格点，找出为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出______个． (4)在对称轴l上找到一点P，使最短． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)1 (4)见解析 【分析】（1）利用网格特点作的垂直平分线即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积； （3）利用全等三角形的判定方法作图； （4）连接，与直线l的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线l为所作； ； （2）解：的面积； 故答案为：3； （3）解：如图，以为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内能画1个． 故答案为：1． （4）解：如图所示，点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：作对称点的连线段的垂直平分线得到对称轴．也考查了全等三角形的判定． 22．（八年级上·江苏·期末）如图，已知△ABM和△ACM关于直线AM对称，延长BM、CM，分别交AC、AB于点D、E．请找出图中与DM一定相等的线段，并说明理由． 【答案】EM=DM，理由详见解析/ 【分析】根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：EM=DM， 理由如下： ∵△ABM和△ACM关于直线AM对称， ∴∠B=∠C，BM=CM， 在△BME与△CMD中， ∴△BME≌△CMD（ASA）， ∴EM=DM． 【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答． 23．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，的角平分线相交于点O，．    (1)求的度数． (2)点P是线段上的一个动点，作点P关于的对称点Q，当点P从点B运动到点E的过程中，求： ①点Q运动的路径长为______ ②的最小值． 【答案】(1) (2)①6；②的最小值为4 【分析】（1）由，平分，即可得； （2）①当P与B重合时，，连接，根据平分，点P与关于对称，可知在直线上，且，同理当P与E重合时，在直线上，且，当点P从点B运动到点E的过程中，Q的轨迹是线段，即可得点Q运动的路径长为6； ②由，可得，，故当Q运动到O时，最小，的最小值为4． 【详解】（1）解：∵， ， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：①当P与B重合时，，连接，如图：    ∵平分，点P与关于对称， ∴在直线上，且， 同理当P与E重合时，在直线上，且， 当点P从点B运动到点E的过程中，Q的轨迹是线段，如图：    ， ∴点Q运动的路径长为6； 故答案为：6； ②由（1）知，， ， 由对称性可得，， ， ， ∴当Q运动到O时，最小，最小值即为的长， ∴的最小值为4． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及动点问题，直角三角形性质等知识，解题的关键是根据已知求出Q的轨迹． 24．（22-23八年级上·江苏南京·期中）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作出该图形的对称轴l； (2)在图②中，作出点P的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l； （2）延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求． 【详解】（1）如图所示，连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l， （2）如图所示，延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求， 【点睛】本题考查轴对称图形，尺规作图，找出图形的对称轴是解题的关键． 25．（八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴． 思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴． 当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？ 【答案】图见解析；3,4,5,6，n；圆，有无数条对称轴． 【详解】试题分析：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义可得只有第一个图形不是轴对称图形；作出各图形的对称轴，归纳规律即可． 试题解析： 3,4,5,6，n；圆，有无数条对称轴． 考点：轴对称图形． 26．（八年级上·江苏南京·期末）如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称. （1）用无刻度直尺画出直线MN； （2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系. 【答案】(1)见解析;(2) ∠AO=2α. 【分析】（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理． 【详解】解：（1）如图，连接． 作线段的垂直平分线MN． 则直线MN是△和△的对称轴． （2）∠AO 是直线 MN，PQ 所夹锐角α的2倍， 理由：∵△和△关于直线MN对称，∴ 与关于MN对称， ∴. 又∵△ABC 和△关于直线 PQ 对称， ∴∠AOP=∠OP． ∴∠AO =+∠AOP+∠OP =2（ +∠OP）=2α 即∠AO=2α． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称的性质求角的度数是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$