精品解析：山西省阳泉市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

阳泉市2023～2024学年度 高一年级第二学期期末教学质量监测试题 数学（必修第二册） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 5．考试时间60分钟，满分100分． 第Ⅰ卷（40分） 一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C 与相等 D. 与互斥 4. 如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（ ） A. B. C. D. 5. 已知两条不同直线m，n与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 海洋蓝洞是地球罕见自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（ ） A 80 B. C. 160 D. 二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分． 7. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4极差与中位数之积为6 B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 8. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（ ） A. 线段 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 第Ⅱ卷（60分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9. 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是________． 10. 若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______． 11. 如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为___________. 12. 在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________． 四、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 13. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的平面角的正切值． 14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求B； （2）若，且，求的面积的最大值． 15. 第33届奥林匹克运动会将于2024年7月26日至2024年8月11日在法国巴黎举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． （1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． ①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阳泉市2023～2024学年度 高一年级第二学期期末教学质量监测试题 数学（必修第二册） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 5．考试时间60分钟，满分100分． 第Ⅰ卷（40分） 一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意知，所以. 故选：D 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及它的几何意义即可求解. 【详解】由题意，所以， 所以z在复平面内对应点为，它在第三象限. 故选：C. 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 【答案】B 【解析】 【分析】AD选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B选项，求出两事件的概率；C选项，两事件不是同一事件，C错误. 【详解】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误； B选项，，故B正确； C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误． 故选：B． 4. 如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用表示，即可得出答案. 【详解】解： . 故选：C. 5. 已知两条不同直线m，n与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线线、线面与面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，，则，故A正确； B：若，则与可能平行或相交，故B错误； C：若，，则或，故C错误； D：若，，，则与可能相交、平行或异面，故D错误. 故选：A. 6. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（ ） A. 80 B. C. 160 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得各个角度，即可得长，根据正弦定理，可得长，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 在中，由正弦定理得，所以， 中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：D. 【点睛】思路点睛；解三角形应用题的一般步骤 （1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． （3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． （4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分． 7. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求得极差、中位数即可判断；对于B，根据方差的性质即可判断；对于C，根据方差的定义可得，从而可判断；对于D，根据平均数的计算公式即可判断. 【详解】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对； 对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错； 对于C，由方差， 可得，即此组数据众数唯一，C对； 对于D，， ，D对. 故选：ACD 8. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（ ） A. 线段 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】在等腰梯形中求出判断A；利用圆台表面积公式、体积公式计算判断BC；利用侧面展开图计算判断D. 【详解】显然四边形是等腰梯形，，其高即为圆台的高 对于A，在等腰梯形中，，A正确； 对于B，圆台的表面积，B正确； 对于C，圆台的体积，C错误； 对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点， 而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又， 在△中，，斜边上的高为，即与弧相离， 所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（60分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9. 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为， 所以这组样本数据的第60百分位数是. 故答案为：. 10. 若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 11. 如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图与原图形面积之间的关系即可求解. 【详解】解：，且， 故， ∴. 故 答 案 为：. 12. 在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知画出图形，连接上下底面中心，则的中点即为外接球球心，连接CO，求出CO即可计算得出外接球的面积． 【详解】由已知做出正三棱柱，则， 设点分别为正，正的中心，连接，则， 连接并延长交于于点，则，， 设点为中点，连接CO， 则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，， 因为点为正的中心， 所以， 所以，则， 因为平面， 所以， 则正三棱柱外接球半径， 所以该球表面积为：， 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 13. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的平面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判断方法可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质可得，则为二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，平面，得， 又平面， 所以平面，由平面， 得， 所以为二面角平面角， 又平面，平面，得， 在中，， 所以， 即二面角的平面角的正切值为. 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求B； （2）若，且，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角函数恒等变换的化简计算即可求解； （2）由，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， ， ，又， 所以，即， 又，所以； 【小问2详解】 ， 得，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即面积的最大值为. 15. 第33届奥林匹克运动会将于2024年7月26日至2024年8月11日在法国巴黎举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． （1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． ①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差． 【答案】（1）31.75 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表，利用平均数公式求解； （2）①由频率分布直方图可知各组的频率之比为，得到第四组应抽取4人，第五组抽取2人，利用古典概型的概率求解； ②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，由平均数公式和方差公式求解； 【小问1详解】 设这人的平均年龄为， 则（岁）； 【小问2详解】 ①：由频率分布直方图可知各组的频率之比为， 第四组应抽取人，记为A，，，甲， 第五组抽取人，记为，乙， 对应的样本空间为，，,甲），,乙），，，,甲）， ,乙），，,甲）,乙），，（甲,乙），（甲,，（乙,，共15个样本点． 设事件“甲、乙两人至少一人被选上”， 则,甲），,乙），,甲），,乙），,甲），,乙），（甲,乙），（甲,，（乙,，共有9个样本点， 所以； ②：设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为； 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$