第二章 一元二次函数﹑方程和不等式测试卷-2024-2025学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数﹑方程和不等式测试卷 【人教A版2019】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 5．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 8．若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则的最小值为 . 13．若，则的最小值为 . 14．若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解下列不等式： (1): (2). 16．（15分）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 17．（15分）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求正实数的取值范围. 18．（17分）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 19．（17分）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数﹑方程和不等式测试卷 【人教A版2019】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误. 【详解】 ，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误. 故选:A． 2．已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 3．已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可结论. 【详解】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 4．若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 5．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式可得，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】因为，即， 当且仅当时等号成立， 所以． 故选：C． 6．不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得. 【详解】不等式，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】解不等式，得到两不等式的解集，根据包含关系得到答案. 【详解】或， 或， 由于或是或的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8．若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】由 对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，当时，可得，所以B不正确； 对于C中，由，因为的符号不确定，无法比较大小， 所以C不正确； 对于D中，由A知，且，根据不等式的性质，可得，所以D正确. 故选：AD. 10．与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 结合分式不等式，二次不等式及一次不等式的求法分别检验各选项即可判断. 【详解】 由得，解得， A：由得，不同； B：由得，相同； C：由得且，解得，不同； D：由得，不同． 故选：ACD． 11．已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，所以且，，故A正确，B错误； 不等式，故C正确； 不等式， 即，所以或，故D错误. 故选：AC 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 13．若，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 14．若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为命题：“，”为假命题， 所以“，” 为真命题，即恒成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解下列不等式： (1): (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简后解不等式组即可得到答案； （2）根据绝对值分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 （2）当，即时，，得， 此时，， 当，即时，，得， 此时，， 综上所述，，即不等式的解集为 16．（15分）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【详解】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 17．（15分）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解一元二次不等式，求出集合，再将代入求出集合，求即可； （2）由“”是“”的充分条件，可得集合是集合的子集，即可求得的取值范围 【详解】（1）解一元二次不等式得： 当时，集合， 所以， （2）由已知“”是“”的充分条件，可得集合是集合的子集， ， ， 而，且集合是集合的子集， 所以，解得； 综上. 18．（17分）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式等价变形，利用常值代换法构造基本不等式即可求其最小值，检验等号成立条件是否满足； （2）将左式利用条件凑项再重组，由基本不等式求其最小值即得. 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 19．（17分）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】(1) (2) (3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【分析】（1）依题意当时，代入计算可得； （2）依题意求出当年生产吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润； （3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）由题意可知，当时，，所以，解得； （2）由于，故， 由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：， 当销售吨时，年销售收入为：， 由题意，， 即. （3）由（2）知：， 即 ， 当且仅当，又，即时，等号成立. 此时，. 该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$