1.1 直线的斜率与倾斜角（四大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

1.1 直线的斜率与倾斜角 课程标准 学习目标 在探索确定直线位置的几何要素、定义直线的倾斜角和斜率的概念、推导过两点的直线斜率的计算公式的过程中，体会坐标法思想，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养． 1、理解并掌握直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式． 2、理解并掌握直线的斜率． 3、理解并掌握直线的斜率的求法． 4、理解并掌握斜率公式的简单应用． 知识点01 直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 【即学即练1】（2024·高二·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 知识点02 直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【即学即练2】（2024·高二·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：D 知识点03 斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）证明三点共线． 【即学即练3】（2024·高二·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【解析】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 【典例1-1】（2024·高二·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设经过点和的直线的的斜率为，倾斜角为， 由两点斜率公式可得， 所以，又， 所以. 所以经过点和的直线的倾斜角为. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以 . 故选：B. 【方法技巧与总结】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等； 倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【变式1-1】（2024·高二·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】设直线的倾斜角为，则 因为，所以， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 【变式1-2】（多选题）（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【解析】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 【典例2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 【典例2-2】（2024·高二·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 【方法技巧与总结】 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式2-1】（多选题）（2024·高二·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为正切函数在上为增函数，在上也为增函数， 分以下四种情况讨论： 当时，则、、均为锐角，且； 当时，则为钝角，、均为锐角，且； 当时，则、均为钝角，为锐角，且； 当时，则、、均为钝角，且. 故选：ABD. 【变式2-2】（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 【变式2-3】（2024·高二·上海·期末）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，所以， 故答案为：. 【变式2-4】（2024·高二·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 【答案】 【解析】当，斜率， 当，斜率不存在， 当，斜率， 综上，，则. 故答案为： 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例3-1】（2024·高二·浙江·期末）过、两点的直线的斜率为 ． 【答案】 【解析】由已知可得. 故答案为：. 【典例3-2】（2024·高二·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【解析】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 【方法技巧与总结】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等． 斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【变式3-1】（2024·高二·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 【答案】 【解析】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高二·四川眉山·期中）若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 【答案】1 【解析】由已知可得， 过点，的直线的斜率， 解得， 故答案为： . 【变式3-3】（2024·高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则 ． 【答案】 【解析】由点在过点和的直线上， 可得，即，解得. 故答案为：. 【变式3-4】（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【答案】 【解析】根据题意，即， 且斜率， 即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典例4-1】（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【典例4-2】（2024·高二·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， . 由图可知，直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k的取值范围是. 故选：D 【方法技巧与总结】 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式4-1】（2024·高二·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】 可以看成上的点和构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高二·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 【变式4-3】（2024·高二·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 【变式4-4】（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 1．（2024·高二·河南洛阳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为，设直线倾斜角为， 则，，． 故选：C． 2．（2024·高二·安徽六安·期末）已知△ABC的顶点，点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存在，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，故或． 故选：A． 3．（多选题）（2024·高二·河南商丘·期中）已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，如图所示：   或 则或，， 当时，， 当时，， 故选：AD． 4．（多选题）（2024·高二·福建泉州·阶段练习）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意，，， 且直线与连接点的线段总有公共点，如下图所示， 所以，即 又因为．故. 故选：AD． 5．（多选题）（2024·高二·四川·期中）若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】记直线的倾斜角为，斜率为， 则，即， 由正切函数图象可得. 故选：AD 6．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 7．（2024·高二·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 8．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 9．（2024·高二·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，， 如图所示： ∵与线段相交，由题意设直线的斜率为， ∴，∴，∴或． 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为． 故答案为：. 10．（2024·高二·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【解析】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 11．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）已知直线过点，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【解析】直线的斜率为， 故答案为：. 12．（2024·高二·江苏·专题练习）设直线的方程为，若直线的倾斜角为，试求的值. 【解析】由得 ， 因为，所以， 当即时，直线与轴垂直，倾斜角为，不符合题意， 故，可得直线的斜率， 即，得. 13．（2024·高二·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【解析】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 14．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，求的值． 【解析】由题意知直线的斜率存在，即． 所以， 所以， 整理得，即， 解得或（舍去），所以． 15．（2024·高二·全国·课堂例题）已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 【解析】因为， 所以，因此A，B，C共线，而A，B，D不共线． 16．（2024·高二·上海·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【解析】（1）因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 直线的斜率与倾斜角 课程标准 学习目标 在探索确定直线位置的几何要素、定义直线的倾斜角和斜率的概念、推导过两点的直线斜率的计算公式的过程中，体会坐标法思想，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养． 1、理解并掌握直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式． 2、理解并掌握直线的斜率． 3、理解并掌握直线的斜率的求法． 4、理解并掌握斜率公式的简单应用． 知识点01 直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 【即学即练1】（2024·高二·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 知识点02 直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【即学即练2】（2024·高二·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 知识点03 斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）证明三点共线． 【即学即练3】（2024·高二·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 【典例1-1】（2024·高二·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等； 倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【变式1-1】（2024·高二·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-2】（多选题）（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 【典例2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式2-1】（多选题）（2024·高二·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（      ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·上海·期末）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 【变式2-4】（2024·高二·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例3-1】（2024·高二·浙江·期末）过、两点的直线的斜率为 ． 【典例3-2】（2024·高二·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等． 斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【变式3-1】（2024·高二·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 【变式3-2】（2024·高二·四川眉山·期中）若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 【变式3-3】（2024·高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则 ． 【变式3-4】（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典例4-1】（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式4-1】（2024·高二·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为 . 【变式4-2】（2024·高二·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式4-3】（2024·高二·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 1．（2024·高二·河南洛阳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·安徽六安·期末）已知△ABC的顶点，点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存在，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（多选题）（2024·高二·河南商丘·期中）已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2024·高二·福建泉州·阶段练习）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2024·高二·四川·期中）若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 7．（2024·高二·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 8．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 9．（2024·高二·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 10．（2024·高二·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 11．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）已知直线过点，则直线的斜率为 ． 12．（2024·高二·江苏·专题练习）设直线的方程为，若直线的倾斜角为，试求的值. 13．（2024·高二·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 14．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，求的值． 15．（2024·高二·全国·课堂例题）已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 16．（2024·高二·上海·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$