1.1 集合的概念与表示（七大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

1.1 集合的概念与表示 课程标准 学习目标 1、理解集合的概念；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号． 2、深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题． 3、会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．感受集合语言的意义和作用． 1、数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法； 2、逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用； 3、数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算； 4、直观想象：集合的图形表示； 5、数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类． 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 【即学即练1】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【解析】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 【即学即练2】（2024·高一·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (6)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【解析】（1）解方程组得， 故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为． （2）小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11， 可用列举法表示为． （3）方程的实数根为1，因此可用列举法表示为， 也可用描述法表示为． （4）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且． （5）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点， 其中x，y满足，由于点有无数个， 则用描述法表示为． （6）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中， 代表元素y，是实数，故可用描述法表示为． 知识点三：集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，集合就是空集． 【即学即练3】（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【解析】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 题型一：集合的含义 【典例1-1】（2024·高一·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 【典例1-2】（2024·高一·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【解析】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 【方法技巧与总结】 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【变式1-1】（2024·高一·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【答案】B 【解析】对于A，不超过 20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合； 对于B，的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合； 对于C，方程的实数根是明确的，满足确定性，可以组成集合； 对于D，函数不存在最小值，可以组成空集； 故选：B 【变式1-2】（2024·高一·江苏淮安·开学考试）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【解析】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合. 故选：C 题型二：元素与集合的关系 【典例2-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【解析】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 【方法技巧与总结】 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 【变式2-1】（2024·高一·安徽亳州·期末）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】由于；；；， 故①错误；②正确；③错误；④错误， 故选：A． 【变式2-2】（2024·高三·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【解析】由题意， . 故选：C 【变式2-3】（2024·高一·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【解析】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 故选：B 题型三：集合中元素的特性及应用 【典例3-1】（2024·高一·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【答案】D 【解析】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 【典例3-2】（2024·高一·河北邢台·期中）英文单词excellent的所有字母组成的集合共有（    ） A．6个元素 B．7个元素 C．8个元素 D．9个元素 【答案】A 【解析】excellent的所有字母组成的集合为，共有6个元素． 故选：A. 【方法技巧与总结】 【变式3-1】（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【解析】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等， 其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形. 故选：D 【变式3-2】（多选题）（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 【答案】CD 【解析】由题意得,解得a≠2且a≠±1，则符合要求的只有CD. 故选：CD. 【变式3-3】（多选题）（2024·高一·广东惠州·阶段练习）由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】ACD 【解析】由题意知，，解得且. 所以实数的取值可以是，3,6 故选：ACD 题型四：用列举法表示集合 【典例4-1】（2024·高一·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【解析】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·陕西延安·阶段练习）已知集合，且，则M等于 （用列举法） 【答案】 【解析】由于，所以是6的正因数， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 综上可得， 故答案为： 【方法技巧与总结】 用列举法表示集合的三个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来。 【变式4-1】（2024·高一·上海静安·阶段练习）已知，则集合用列举法表示为 . 【答案】 【解析】由可得或， 当时， 若，则， 若，则； 当时， 若，则， 若，则； 根据集合元素的互异性可知，列举法表示为. 故答案为： 【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） （5）由题意， 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋， 故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为. 【变式4-3】（2024·高一·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【解析】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）因为方程的实数根为，所以. （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. 题型五：用描述法表示集合 【典例5-1】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【解析】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【典例5-2】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【解析】（1）不等式的解集用描述法表示为. （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （3）集合用描述法表示为. （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （5）集合用描述法表示为. （6）集合用描述法表示为. （7）方程的解集用描述法表示为. 【方法技巧与总结】 描述法表示集合的2个步骤 【变式5-1】（2024·高一·云南玉溪·阶段练习）用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为 ．    【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1} 【解析】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则且. 故答案为且. 【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【解析】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 题型六：集合表示法的综合应用 【典例6-1】（2024·高一·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 【典例6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 【解析】（1）∵，∴． ∵,∴． ∵，∴． 综上，，，． （2）任取，设，， 则， 其中，，∴． ∵， 其中，，∴． 综上，，． 【方法技巧与总结】 集合表示法中元素与集合的关系 （1）若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； （2）若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 【变式6-1】（2024·高一·福建厦门·阶段练习）已知由实数组成的集合，，又满足：若，则. (1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； (2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 【解析】（1）假设A中仅含一个元素，不妨设为a，则，有， 又A中只有一个元素，，即， 但此方程，即方程无实数根， ∴不存在这样的实数a，故A不可能是单元素集合． （2）中所含元素个数一定是个． 证明：，则，，而， 且，当时，， ，方程无解，； 当时，，，方程无解，； 当时，，，方程无解，， 中所含元素个数一定是个． 【变式6-2】（2024·高一·北京顺义·阶段练习）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 【解析】（1）∵，∴3在集合A中， 令，则，故5不在集合A中. （2），且，故在集合B中. （3）设，， 则， 所以属于集合. 题型七：集合的创新定义 【典例7-1】（2024·高一·陕西安康·阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义，若，，则中元素的个数是（    ） A．3 B．4 C．12 D．16 【答案】C 【解析】因为定义，且，， 所以， 中元素的个数是12， 故选：C. 【典例7-2】（2024·高一·北京·阶段练习）若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 【解析】（1）B不是“好集”, 理由是： ，，而，∴B不是“好集”； 是“好集”， 理由是：，；对任意，，有， 且时，，∴有理数集Q是“好集”. （2）因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即. （3）对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即. 所以. 由（2）可得：，即. 【方法技巧与总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。 【变式7-1】（2024·高一·江苏常州·期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【解析】（1）m，n都是正偶数时： m从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n有一种取法； ∴有3种取法，即这种情况下集合M有3个元素； （2）m，n都为正奇数时： m从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n有一种取法； ∴有4种取法，即这种情况下集合M有4个元素； （3）当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时： 当m=8，n=1，和m=1，n=8，即这种情况下集合M有两个元素； ∴集合M的元素个数是3+4+2=9． 故选：B． 【变式7-2】（2024·高二·广西钦州·期末）已知，记集合，例如，…．现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏，它的激活码为集合A2的各元素之和，则该游戏的激活码为 ． 【答案】22 【解析】由已知得或， 所以当时，； 当时，； 当时，， 当时，， 所以，该游戏的激活码为， 故答案为：22. 1．（2024·高一·全国·课后作业）下列对象能构成集合的是(　　) ①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④ 【答案】D 【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合． 选D 2．（2024·高一·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【解析】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 3．（2024·高一·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误. 故选：C. 4．（2024·高一·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 【答案】A 【解析】根据题意，可得具有伙伴关系的元素有， 其中有，共4组， 它们中任选一组、二组、三组或四组均可组成伙伴关系集合， 所以共有. 故选：A. 5．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 6．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【解析】由题意，， 由集合的定义可知，集合中有以下元素：①，②，③，④， 根据集合中元素满足互异性去重得， 所以中所有元素之积为. 故选：C. 7．（多选题）（2024·高一·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【解析】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 8．（多选题）（2024·高一·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【答案】BC 【解析】A选项，“难题”无法确定，所以不能组成集合. B选项，“2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合. C选项，“小于9的所有素数” 是“”，可以组成集合. D选项，“视力比较好”无法确定，所以不能组成集合. 故选：BC 9．（多选题）（2024·高一·四川雅安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．； B．高台一中高一全体学生可以构成一个集合； C．集合有两个元素； D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 【答案】BC 【解析】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误； 对于B，根据集合定义知，高台一中高一全体学生可以构成一个集合，B正确； 对于C，由于的判别式， 故有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，正确； 对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误， 故选：BC 10．（多选题）（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】ABD 【解析】①若，即时，此时集合中的元素为，满足题意； ②若，即时，，不满足集合中元素的互异性； ③若，即， 当时，此时集合中的元素为，，满足题意； 当时，此时集合中的元素为，满足题意. 故选：ABD. 11．（多选题）（2024·高一·山西临汾·阶段练习）若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】BCD 【解析】因为集合中的元素具有互异性， 所以， 所以可以构成四边都不相等的梯形，但是不可能构成平行四边形，菱形和矩形. 故选：BCD 12．（2024·高一·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】0或 【解析】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 13．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数．定义若，则实数a的所有可能取值构成的集合为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以或． 当时，或． 当时，关于x的方程有3个实数解， 所以关于x的方程只有一个解且不为1和， 则，解得． 当时，的解为1，不符合题意； 当时，的解为-1，符合题意． 综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为． 故答案为：. 14．（2024·高一·全国·假期作业）求下列方程组的解集： (1)； (2)； 【解析】（1）由不等式组， ①+②，可得，②③，可得， 联立方程组，解得， 代入①式，可得， 所以不等式组的解集为. （2）由方程组， 整理得，解得或， 当时，可得； 时，可得， 所以方程组的解集为. 15．（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知，用列举法表示A. 【解析】由，则， 所以，，，，，，， 则列举法表示A为. 16．（2024·高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1) (2)． 【解析】（1），∴或，； （2），，． 17．（2024·高一·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【解析】（1）不大于10的非负偶数有， 所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为， 所以． （4）由，得， 所以一次函数与图象的交点为， 所以． 18．（2024·高一·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【解析】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2）若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念与表示 课程标准 学习目标 1、理解集合的概念；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号． 2、深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题． 3、会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．感受集合语言的意义和作用． 1、数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法； 2、逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用； 3、数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算； 4、直观想象：集合的图形表示； 5、数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类． 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 【即学即练1】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 【即学即练2】（2024·高一·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (6)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 知识点三：集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，集合就是空集． 【即学即练3】（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 题型一：集合的含义 【典例1-1】（2024·高一·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例1-2】（2024·高一·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【方法技巧与总结】 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【变式1-1】（2024·高一·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【变式1-2】（2024·高一·江苏淮安·开学考试）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 题型二：元素与集合的关系 【典例2-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 【变式2-1】（2024·高一·安徽亳州·期末）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（2024·高三·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 【变式2-3】（2024·高一·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 题型三：集合中元素的特性及应用 【典例3-1】（2024·高一·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【典例3-2】（2024·高一·河北邢台·期中）英文单词excellent的所有字母组成的集合共有（    ） A．6个元素 B．7个元素 C．8个元素 D．9个元素 【方法技巧与总结】 【变式3-1】（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【变式3-2】（多选题）（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 【变式3-3】（多选题）（2024·高一·广东惠州·阶段练习）由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．6 题型四：用列举法表示集合 【典例4-1】（2024·高一·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【典例4-2】（2024·高一·陕西延安·阶段练习）已知集合，且，则M等于 （用列举法） 【方法技巧与总结】 用列举法表示集合的三个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来。 【变式4-1】（2024·高一·上海静安·阶段练习）已知，则集合用列举法表示为 . 【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【变式4-3】（2024·高一·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 题型五：用描述法表示集合 【典例5-1】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【典例5-2】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【方法技巧与总结】 描述法表示集合的2个步骤 【变式5-1】（2024·高一·云南玉溪·阶段练习）用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为 ．    【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 题型六：集合表示法的综合应用 【典例6-1】（2024·高一·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【典例6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 【方法技巧与总结】 集合表示法中元素与集合的关系 （1）若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； （2）若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 【变式6-1】（2024·高一·福建厦门·阶段练习）已知由实数组成的集合，，又满足：若，则. (1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； (2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 【变式6-2】（2024·高一·北京顺义·阶段练习）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 题型七：集合的创新定义 【典例7-1】（2024·高一·陕西安康·阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义，若，，则中元素的个数是（    ） A．3 B．4 C．12 D．16 【典例7-2】（2024·高一·北京·阶段练习）若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 【方法技巧与总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。 【变式7-1】（2024·高一·江苏常州·期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式7-2】（2024·高二·广西钦州·期末）已知，记集合，例如，…．现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏，它的激活码为集合A2的各元素之和，则该游戏的激活码为 ． 1．（2024·高一·全国·课后作业）下列对象能构成集合的是(　　) ①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④ 2．（2024·高一·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 3．（2024·高一·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 5．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A． B． C．8 D．16 7．（多选题）（2024·高一·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 8．（多选题）（2024·高一·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 9．（多选题）（2024·高一·四川雅安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．； B．高台一中高一全体学生可以构成一个集合； C．集合有两个元素； D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 10．（多选题）（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 11．（多选题）（2024·高一·山西临汾·阶段练习）若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 12．（2024·高一·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 13．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数．定义若，则实数a的所有可能取值构成的集合为 ． 14．（2024·高一·全国·假期作业）求下列方程组的解集： (1)； (2)； 15．（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知，用列举法表示A. 16．（2024·高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1) (2)． 17．（2024·高一·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 18．（2024·高一·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$