1.1 集合的概念与表示（7大题型）（精练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（苏教版2019必修第一册）

1.1 集合的概念与表示 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：集合的含义 2 题型二：元素与集合的关系 2 题型三：集合中元素的特性及应用 3 题型四：用列举法表示集合 3 题型五：用描述法表示集合 3 题型六：集合表示法的综合应用 4 题型七：集合的创新定义 5 02 重难点拓展 7 题型一：集合的含义 1．下面给出的四类对象中，能构成集合的是（    ） A．某班视力较好的同学 B．某小区长寿的人 C．的近似值 D．方程的实数根 2．下列各项中，不可以组成集合的是（    ） A．所有的正数 B．方程的实数根 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 3．下列各组对象能构成集合的是（    ） A．新冠肺炎死亡率低的国家 B．世纪中国平均气温较高的年份 C．的近似值 D．中国古代四大发明 4．下列四组对象中，能构成集合的是（    ） A．很薄的纸 B．高个子的人 C．与2接近的数 D．所有的正方形 题型二：元素与集合的关系 5．（2025·高三·北京通州·期中）设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 6．给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 8．下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：集合中元素的特性及应用 9．设，若集合中的最大元素为3，则 ． 10．（2025·高一·河北张家口·期中）已知集合，且，则 ． 11．若，则实数 ． 12．设集合，若，则实数 题型四：用列举法表示集合 13．（2025·高一·福建泉州·期中）方程组的解集为 . 14．设，求一元二次方程的解集． 15．用列举法表示下列集合： (1)能整除10的所有正整数组成的集合； (2)绝对值小于4的所有整数组成的集合． 16．，，，用列举法表示M，N，P． 17．用描述法表示下列集合： (1)全体偶数组成的集合； (2)平面直角坐标系中x轴上所有点组成的集合． 题型五：用描述法表示集合 18．图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 19．（2025·高一·全国·课前预习）试用描述法表示下列集合： （1）比3的倍数多1的整数； （2）不等式的解集； （3）一次函数图象上的所有的点． 20．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合 （1）所有能被3整除的自然数 （2）不等式的解集 （3）的解集 题型六：集合表示法的综合应用 21．用适当的形式表示下列集合，并指明它是有限集还是无限集． (1)方程的解集； (2)不等式的解集； (3)被5除余1的自然数的集合； (4)二次函数的值组成的集合． 22．（2025·高一·上海·期中）（1）已知方程的两个根为、，求的值； （2）设，求方程的解集. 23．已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 24．已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 题型七：集合的创新定义 25．已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 26．对于两个正整数、，定义某种运算“”如下，当、都为正偶数或正奇数时，；当、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，求集合中元素的个数． 27．当一个非空数集G满足：如果，那么且时，我们称G就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确的说法是（   ）． A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 28．（2025·高一·山西大同·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 1．若集合，则集合的元素个数为（    ） A．19 B．20 C．81 D．100 2．已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．若集合，则（    ） A． B． C． D． 5．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 6．（2025·高二·湖北·期末）已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．设，，为非零实数，则的所有值所组成的集合为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·辽宁·开学考试）关于x的方程的解集中只含有一个元素，则k的值不可能是（   ） A．0 B．-1 C．1 D．3 9．（多选题）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）设，则（      ） A． B． C． D． 12．定义集合运算，若集合，，则集合所有元素之和为 ． 13．已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 14．已知集合，直角坐标系xOy中的点集．若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集B中的所有点，则这张纸片的面积至少是 ． 15．设集合，其中元素均为有理数，集合，求 . 16．已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 17．（2025·高一·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 18．（2025·高一·北京延庆·期中）求下列方程（组）的解集： (1) (2) (3) (4) 19．（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 20．已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． (1) (2) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念与表示 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：集合的含义 2 题型二：元素与集合的关系 3 题型三：集合中元素的特性及应用 4 题型四：用列举法表示集合 5 题型五：用描述法表示集合 6 题型六：集合表示法的综合应用 7 题型七：集合的创新定义 9 02 重难点拓展 11 题型一：集合的含义 1．下面给出的四类对象中，能构成集合的是（    ） A．某班视力较好的同学 B．某小区长寿的人 C．的近似值 D．方程的实数根 【答案】D 【解析】对于A，描述的对象“视力较好”不确定，不能构成集合，A不是； 对于B，描述的对象“长寿”不确定，不能构成集合，B不是； 对于C，没有给出精确度，描述的对象“π 的近似值”不确定，不能构成集合，C不是； 对于D，方程的实数根是和1，明确可知，能构成集合，D是. 故选：D 2．下列各项中，不可以组成集合的是（    ） A．所有的正数 B．方程的实数根 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 【答案】C 【解析】根据集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于0的数”是不确定的元素，故接近于0的数不能组成集合. 故选:C 3．下列各组对象能构成集合的是（    ） A．新冠肺炎死亡率低的国家 B．世纪中国平均气温较高的年份 C．的近似值 D．中国古代四大发明 【答案】D 【解析】对于A，死亡率低没有明确的标准，所以该组对象不能构成集合，A错误； 对于B，平均气温较高没有明确的标注，所以该组对象不能构成集合，B错误； 对于C，的近似值没有明确精确度，即没有明确的标注，所以该组对象不能构成集合，C错误； 对于D，中国古代四大发明：造纸术、印刷术、火药、指南针；满足集合定义，可以构成集合，D正确. 故选：D. 4．下列四组对象中，能构成集合的是（    ） A．很薄的纸 B．高个子的人 C．与2接近的数 D．所有的正方形 【答案】D 【解析】根据集合的定义知： 对于A中，很薄的纸中的元素不确定，不能构成集合； 对于B中，高个子的人的元素不确定，不能构成集合； 对于C中，与2接近的数的元素不确定，不能构成集合；     对于D中，所有的正方形元素是确定的，所以可以构成集合. 故选：D. 题型二：元素与集合的关系 5．（2025·高三·北京通州·期中）设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 【答案】C 【解析】对A，若，则， 将代入不全部满足，此时可知，故A错误； 对B，当时，则， 将代入全部满足，此时可知，故B错误； 对C，若，，解之可得，所以C正确； 对D，当，则，将代入不全满足， 所以，故D错误. 故选：C 6．给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，为实数，而表示实数集，所以，即①正确； 对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，即②正确； 对于③，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，即④错误. 故选：B. 7．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集， 由，，，，可得ABC错误，D正确. 故选：D. 8．下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对于①，因为为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为是自然数，所以，所以③正确； 对于④，因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 题型三：集合中元素的特性及应用 9．设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【解析】因为集合中的最大元素为3， 所以，所以或． 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以． 故答案为：1． 10．（2025·高一·河北张家口·期中）已知集合，且，则 ． 【答案】-1 【解析】集合， 当时，解得或， 当时，，满足要求， 当时，不满足元素互异性，舍去， 当时，，不符合题意，所以． 故答案为：-1 11．若，则实数 ． 【答案】 【解析】当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，解得或4， 当时，不符合题意， 当时，集合为，符合题意, 所以． 故答案为：． 12．设集合，若，则实数 【答案】 【解析】，， 若，， 此时，不满足互异性，故， 所以，即，解得或（舍去）， 当时，， 所以. 故答案为：. 题型四：用列举法表示集合 13．（2025·高一·福建泉州·期中）方程组的解集为 . 【答案】 【解析】解方程组得，故原方程组的解集为. 故答案为：. 14．设，求一元二次方程的解集． 【解析】对于一元二次方程， 即，解得或， 显然， 所以一元二次方程的解集为. 15．用列举法表示下列集合： (1)能整除10的所有正整数组成的集合； (2)绝对值小于4的所有整数组成的集合． 【解析】（1）能整除10的所有正整数组成的集合为. （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合为. 16．，，，用列举法表示M，N，P． 【解析】，即为，也就是， 代入求值，即得到； 令得到，由于，则，故. 由于，则，代入求值得到， 则. 17．用描述法表示下列集合： (1)全体偶数组成的集合； (2)平面直角坐标系中x轴上所有点组成的集合． 【解析】（1）全体偶数构成的集合为. （2）平面直角坐标系中x轴上的所有点组成的集合为. 题型五：用描述法表示集合 18．图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【解析】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 19．（2025·高一·全国·课前预习）试用描述法表示下列集合： （1）比3的倍数多1的整数； （2）不等式的解集； （3）一次函数图象上的所有的点． 【解析】（1）比3的倍数多1的整数可表示为,用描述法表示这样的整数构成的集合为； （2）由解得, 不等式的解集为； 设一次函数图象上的点的坐标为,则一次函数图象上的所有的点的集合为. 20．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合 （1）所有能被3整除的自然数 （2）不等式的解集 （3）的解集 【解析】（1），集合中元素个数无穷，不能用列举法表示； （2），即，， 集合为，集合中元素有无数个，不能用列举法表示； （3）集合可表示为，列举法表示为． 题型六：集合表示法的综合应用 21．用适当的形式表示下列集合，并指明它是有限集还是无限集． (1)方程的解集； (2)不等式的解集； (3)被5除余1的自然数的集合； (4)二次函数的值组成的集合． 【解析】(1)解方程可得解集为 ，有限集； (2)解不等式可得解集为，无限集； (3)被5除余1的自然数的集合为，无限集； (4)二次函数的值组成的集合为，无限集； 22．（2025·高一·上海·期中）（1）已知方程的两个根为、，求的值； （2）设，求方程的解集. 【解析】（1）由韦达定理得，，， 所以； （2）当时，方程为，即，恒成立； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，即，恒成立. 综上所述，方程的解集为或. 23．已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【解析】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 24．已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 题型七：集合的创新定义 25．已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 【解析】因为，所以中的元素有： ，，，，（舍去），，（舍去），， 所以， 所以中的所有元素数字之和为21． 26．对于两个正整数、，定义某种运算“”如下，当、都为正偶数或正奇数时，；当、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，求集合中元素的个数． 【解析】由已知得，当、都为正偶数或正奇数时，， 要使，则可能的情况有、、、、、、、、，共9种情况； 当、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，， 要使，则可能的情况有、、、，共4种情况. 所以集合 ， 共13个元素． 27．当一个非空数集G满足：如果，那么且时，我们称G就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确的说法是（   ）． A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【解析】当，且时，， 所以0是任何数域的元素，故①正确； 当，且时，由数域的定义知， 所以，故②正确； 当时，，故③错误； 如果，那么，且当时，，所以有理数集是一个数域，故④正确． 故选：A. 28．（2025·高一·山西大同·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【解析】集合，， 根据集合的新定义知：中有1个或者3个元素， 当中有1个元素时，有一个解，可得； 当中有3个元素时，易知，有三个解， 其中的两个为：， 当有一个解时，令，可得； 当有两个解且其中一个和0或者相等时，也满足条件， 此时，显然不等于0， 所以或，解得或， 综上所述，设实数a的所有可能取值为， 所以构成集合S元素个数为5，即. 故选：C 1．若集合，则集合的元素个数为（    ） A．19 B．20 C．81 D．100 【答案】B 【解析】由题意可知，即， 当是偶数时，是奇数， 当，此时，解得，满足条件， 以此类推，，共10个n，每一个n对应位于的m， 当是奇数时，是偶数，此时共10个n， 综上可知满足条件的n有20个数，每一个n对应唯一的m, 所以集合A的元素个数为20个． 故选：B． 2．已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【解析】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 3．下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 4．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知， 令，解得， 又，则，化简得. 故选：B. 5．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【解析】因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中有且仅有4个元素， 故选：C 6．（2025·高二·湖北·期末）已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】因为，，所以或或或， 故，即集合中含有个元素； 故选：C. 7．设，，为非零实数，则的所有值所组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，为非零实数， 当，，时，； 当，，中有一个小于时，不妨设，，， ； 当，，中有两个小于时，不妨设，，， ； 当，，时，； 的所有值组成的集合为． 故选：C． 8．（2025·高二·辽宁·开学考试）关于x的方程的解集中只含有一个元素，则k的值不可能是（   ） A．0 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【解析】关于的方程为①，所以，解得或， ①整理可得，②，解集中只含一个元素，所以方程的解会有以下三种情况： ⑴方程②只有一个解，，解得，此时方程②的解为-1，符合要求； ⑵方程②有两个解，其中一个解为0，此时，代入②中解得或-2，符合要求； ⑶方程②有两个解，其中一个解为1，此时，代入②中解得或-3，符合要求； 综上所述或0或3. 故选：C. 9．（多选题）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】集合且，， 对于A，，即，则，A错误； 由， 得，即， 由，得，即，则， 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10．（多选题）已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于选项A：若，此时令，满足，A正确； 对于选项B：若，此时令或，满足，B正确； 对于选项C：若，此时令，满足，C正确； 对于选项D：若，即，可知， 因为，可设， 若，则， 因为关于直线对称， 当或时，， 当且时，， 即，； 若，则， 因为关于直线对称， 当时，， 当时，， 即，； 若，则， 即，； 综上所述：不存在，使得，故D错误． 故选：ABC. 11．（多选题）设，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 12．定义集合运算，若集合，，则集合所有元素之和为 ． 【答案】30 【解析】由题意，的取值分别为， 故， 所以所有元素之和为. 故答案为：30 13．已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 【答案】 【解析】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. 14．已知集合，直角坐标系xOy中的点集．若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集B中的所有点，则这张纸片的面积至少是 ． 【答案】 【解析】，， ， 如图， 所以这张纸片的面积至少是. 故答案为：. 15．设集合，其中元素均为有理数，集合，求 . 【答案】或 【解析】观察中的六个数，其中没有互为相反数， 由此知的绝对值互不相等， 不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别是及， 最大的与次大的两个数分别是及， 从而有，于是， 故， 则或，解得或， 结合，只可能是， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 故或. 故答案为：或. 16．已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【解析】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 17．（2025·高一·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【解析】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 18．（2025·高一·北京延庆·期中）求下列方程（组）的解集： (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）由得，， 解得，故方程的解集为. （2）当时，方程无解，解集为， 当时，解方程得，方程解集为. （3）令，则方程可化为， 解方程得，（舍）， ，故方程解集为. （4）由得，，解得, 方程组的解为，， 故方程组解集为. 19．（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 【解析】（1）由得， 当时，解得， 当时，，方程无解， 当时，解得， 综上所述，当时，原方程的解为； 当时，原方程无解； 当时，原方程的解为， （2）因为关于的方程存在两个不相等实根, 所以，得，或， 且， 所以， 解得， 当时，由解得，或，所以集合； 当时，由解得， 所以方程无解，所以集合； 综上所述，当时，集合； 当时，集合. 20．已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． (1) (2) 【解析】（1）因为且为非空集合， 对于方程， 当，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为， 此时集合中所有元素之和； 综上可得集合中所有元素之和或； （2）因为， 由，则或， 对于，解得，所以； 对于， 当，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为， 若为方程的解，则，此时方程的两根为和， 此时，则集合中所有元素之和； 若不为方程的解，即， 此时集合中所有元素之和； 综上可得：集合中所有元素之和或或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$