1.2 子集、全集、补集（八大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

1.2 子集、全集、补集 课程标准 学习目标 1、理解子集、全集、补集的概念． 2、能用符号和Venn图表达集合间的关系． 3、掌握列举有限集的所有子集的方法． 1、数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解 2、逻辑推理：集合的子集、补集的辨析与应用 3、数学运算：会计算集合的子集、真子集的个数 4、直观想象：利用venm图表示集合相等以及集合间的关系 5、数字建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义 知识点一：子集 1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、规定：空集是任何集合的子集，即． 3、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 【即学即练1】已知集合，则集合的子集有 . 知识点二：韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： 【即学即练2】已知全集，那么正确表示集合和的关系的韦恩图是（    ） A． B． C． D． 知识点三：真子集 1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若，，则． 【即学即练3】已知集合，则集合的真子集个数为 个 知识点四：集合的相等与子集的关系 1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 【即学即练4】已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 知识点五：有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 【即学即练5】已知集合，则的非空子集的个数是 ． 知识点六：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3、数学表达式：． 4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． 【即学即练6】设全集，，则 . 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 【典例1-1】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【典例1-2】（2024·高一·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【方法技巧与总结】 （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． （2）若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 【变式1-1】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【变式1-2】（2024·高一·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 题型二：韦恩图及其应用 【典例2-1】（2024·内蒙古呼和浩特·高一校考期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·江苏·高一专题练习）已知集合和的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【变式2-1】（2024·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　) ①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U. A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ 题型三：由集合间的关系求参数的范围 【典例3-1】（2024·高一·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【典例3-2】（2024·高一·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若⫋，求的值组成的集合． 【方法技巧与总结】 根据集合之间关系，求参数的值或范围 （1）求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． （2）涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 【变式3-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【变式3-2】（2024·高一·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【变式3-3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 题型四：集合间的基本关系 【典例4-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）． 【变式4-1】（2024·高一·四川成都·期中）若集合，下列关系式中成立的为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知， ， ，则下列结论正确的是（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋ D．⫋ 题型五：判断两集合是否相等 【典例5-1】（多选题）（2024·高一·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【方法技巧与总结】 判断两个集合间是否相等的关键在于：元素是否相同． 【变式5-1】（多选题）（2024·高一·河北张家口·期中）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 【变式5-2】（多选题）（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 题型六：根据两集合相等求参数 【典例6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为 . 【典例6-2】（2024·高一·全国·假期作业）已知集合，则 ． 【方法技巧与总结】 元素相同，注意满足集合元素的三大性质． 【变式6-1】（2024·高一·宁夏固原·阶段练习）若集合，则 . 【变式6-2】（2024·高一·山西太原·阶段练习）若m，，且满足集合，则 ． 【变式6-3】（2024·高一·上海杨浦·开学考试）已知，若且，则 . 题型七：空集的性质 【典例7-1】（2024·高一·河南省直辖县级单位·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例7-2】（2024·高一·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 空集不含任何元素的集合． 【变式7-1】（2024·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【变式7-2】（2024·高一·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【变式7-3】（2024·高一·北京东城·期中）若集合，则实数a的取值范围 ． 题型八：补集及其运算 【典例8-1】（2024·高一·广东茂名·期中）设全集，，则 . 【典例8-2】（2024·高一·全国·随堂练习）不等式组的解集为A，则 . 【方法技巧与总结】 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解． 【变式8-1】（2024·高一·全国·专题练习）设，，，则 ； ． 【变式8-2】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）设全集，集合，那么 . 【变式8-3】（2024·高一·江苏·假期作业）已知全集，.用列举法表示集合 . 1．（2024·高三·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·高一·全国·竞赛）非空集合，满足条件：若，则．这样的M有（    ）． A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 3．（2024·高一·浙江杭州·期中）已知集合满足⫋，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ）． A．4 B．7 C．8 D．15 5．（2024·高一·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 6．（2024·高一·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（多选题）（2024·高一·湖北襄阳·阶段练习）下列选项中的两个集合相等的是（    ） A．是6和10的公倍数}， B．， C．， D．， 8．（多选题）（2024·高一·广东惠州·阶段练习）对于下列四个判断，其中错误的是（    ） A． B． C．⫋ D． 9．（多选题）（2024·高二·重庆·期末）下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 10．（2024·高一·全国·专题练习）设集合，集合，若且，则实数 . 11．（2024·高一·上海黄浦·期中）若，则 ． 12．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 13．（2024·高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 14．（2024·高一·上海·假期作业）确定整数，使. 15．（2024·高一·山西临汾·阶段练习）已知，，若，求a与b的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 子集、全集、补集 课程标准 学习目标 1、理解子集、全集、补集的概念． 2、能用符号和Venn图表达集合间的关系． 3、掌握列举有限集的所有子集的方法． 1、数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解 2、逻辑推理：集合的子集、补集的辨析与应用 3、数学运算：会计算集合的子集、真子集的个数 4、直观想象：利用venm图表示集合相等以及集合间的关系 5、数字建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义 知识点一：子集 1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、规定：空集是任何集合的子集，即． 3、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 【即学即练1】已知集合，则集合的子集有 . 【答案】，，， 【解析】∵， 所以集合的子集有：，，，. 故答案为：，，， 知识点二：韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： 【即学即练2】已知全集，那么正确表示集合和的关系的韦恩图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以⫋． 故选：B． 知识点三：真子集 1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若，，则． 【即学即练3】已知集合，则集合的真子集个数为 个 【答案】 【解析】集合中有个元素， 所以集合的真子集个数为个. 故答案为：. 知识点四：集合的相等与子集的关系 1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 【即学即练4】已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 知识点五：有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 【即学即练5】已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【答案】 【解析】, 集合中有个元素， 则的非空子集的个数是. 故答案为：. 知识点六：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3、数学表达式：． 4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． 【即学即练6】设全集，，则 . 【答案】 【解析】因为，，所以. 故答案为：. 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 【典例1-1】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 【典例1-2】（2024·高一·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【解析】由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 【方法技巧与总结】 （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． （2）若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 【变式1-1】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 【变式1-2】（2024·高一·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【解析】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 题型二：韦恩图及其应用 【典例2-1】（2024·内蒙古呼和浩特·高一校考期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案.，集合没有包含关系 故选：A 【典例2-2】（2024·江苏·高一专题练习）已知集合和的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据集合间的包含关系可得B选项正确. 【方法技巧与总结】 是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【变式2-1】（2024·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得，由选项即可判断.由图可知：， ， 由选项可知：， 故选：D. 【变式2-2】（2024·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　) ①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U. A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ 【答案】D 【解析】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系， ①S∈U，故错误； ②F⊆T，故错误， ③S⊆T，故正确； ④S⊆F；故错误， ⑤S∈F；故错误， ⑥F⊆U故正确 故选D． 题型三：由集合间的关系求参数的范围 【典例3-1】（2024·高一·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 【典例3-2】（2024·高一·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若⫋，求的值组成的集合． 【解析】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 【方法技巧与总结】 根据集合之间关系，求参数的值或范围 （1）求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． （2）涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 【变式3-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【变式3-2】（2024·高一·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，解得. 故答案为： 【变式3-3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【解析】由题意，所以或，则或， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 题型四：集合间的基本关系 【典例4-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 【典例4-2】（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 【方法技巧与总结】 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）． 【变式4-1】（2024·高一·四川成都·期中）若集合，下列关系式中成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】显然，A错误；，B错误，D正确；，C错误. 故选：D 【变式4-2】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 【变式4-3】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知， ， ，则下列结论正确的是（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋ D．⫋ 【答案】B 【解析】， ，故； 当时，，当时，，则⫋. 故选：B． 题型五：判断两集合是否相等 【典例5-1】（多选题）（2024·高一·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C，,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 【典例5-2】（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【解析】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 故选：ABC 【方法技巧与总结】 判断两个集合间是否相等的关键在于：元素是否相同． 【变式5-1】（多选题）（2024·高一·河北张家口·期中）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 【答案】AB 【解析】由，A符合； 由，B符合； 由表示点集合，不是数集，C不符合； 由，解集为，D不符合. 故选：AB 【变式5-2】（多选题）（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】为点集，为数集，所以，故A错误； ，，所以，故B错误； ，，所以，故C正确； ，，所以，故D正确； 故选：CD 题型六：根据两集合相等求参数 【典例6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为 . 【答案】 【解析】①若，消去b得， 当时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故，，即，此时集合B中的三个元素也相同， ∴舍去，即此时无解． ②若，消去得，同理， ∴，经检验满足题意 故答案为： 【典例6-2】（2024·高一·全国·假期作业）已知集合，则 ． 【答案】 【解析】易知．∵， ∴，即， ∴，． 又由集合中元素的互异性，知， ∴， 故． 故答案为： 【方法技巧与总结】 元素相同，注意满足集合元素的三大性质． 【变式6-1】（2024·高一·宁夏固原·阶段练习）若集合，则 . 【答案】 【解析】依题意，， 则或， 由解得或. 由解得. 当时，不满足集合元素的互异性. 当时，两个集合为，符合题意，此时. 当，两个集合为，符合题意，此时. 综上所述，. 故答案为： 【变式6-2】（2024·高一·山西太原·阶段练习）若m，，且满足集合，则 ． 【答案】 【解析】， 故①或②， 由①解得，不满足，舍去， 由②解得，故. 故答案为： 【变式6-3】（2024·高一·上海杨浦·开学考试）已知，若且，则 . 【答案】 【解析】由且，可得， 因为， 根据集合元素的互异性可得，， 所以，则，此时， 所以，解得或或， 其中和，与集合中元素的互异性矛盾，舍去， 所以， 则 ， . 故答案为：． 题型七：空集的性质 【典例7-1】（2024·高一·河南省直辖县级单位·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①错误，中包括0； ②错误，中没有任何元素； ③错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号； 由③可知，④正确； ⑤错误，中有两个元素，中只有一个元素； ⑥正确，有理数中包括整数. 故选：B 【典例7-2】（2024·高一·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 【方法技巧与总结】 空集不含任何元素的集合． 【变式7-1】（2024·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【解析】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 【变式7-2】（2024·高一·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 【变式7-3】（2024·高一·北京东城·期中）若集合，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【解析】故无解则 故答案为： 题型八：补集及其运算 【典例8-1】（2024·高一·广东茂名·期中）设全集，，则 . 【答案】 【解析】因为，，所以. 故答案为：. 【典例8-2】（2024·高一·全国·随堂练习）不等式组的解集为A，则 . 【答案】或 【解析】因为不等式组的解集为A， 所以， 所以由补集的定义有或. 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解． 【变式8-1】（2024·高一·全国·专题练习）设，，，则 ； ． 【答案】 【解析】由，，， ，． 故答案为：，. 【变式8-2】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）设全集，集合，那么 . 【答案】 【解析】由全集，可得集合表示直线上的点构成的集合， 又由，可得且，所以集合表示直线上除去点之外的点构成的集合，所以. 故答案为：. 【变式8-3】（2024·高一·江苏·假期作业）已知全集，.用列举法表示集合 . 【答案】 【解析】因为全集，所以. 故答案为：. 1．（2024·高三·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】，故其子集的个数为8， 故选：D. 2．（2024·高一·全国·竞赛）非空集合，满足条件：若，则．这样的M有（    ）． A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】C 【解析】由题意可得1和8，2和7，3和6，4和5必定同时出现，又M非空， 则可以为：，，，，，，， ，，，，，， ， 所以共有（个）． 故选：C. 3．（2024·高一·浙江杭州·期中）已知集合满足⫋，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由⫋得且不全部是的元素， 令⫋，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 4．（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ）． A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【解析】由题意得， 故集合B的真子集个数为. 故选：B 5．（2024·高一·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【答案】C 【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 6．（2024·高一·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 7．（多选题）（2024·高一·湖北襄阳·阶段练习）下列选项中的两个集合相等的是（    ） A．是6和10的公倍数}， B．， C．， D．， 【答案】AC 【解析】对于A，由于6和10的最小正公倍数为30，因此，即，A是； 对于B，由于，则，B不是； 对于C，依题意，，，即，C是； 对于D，集合是函数值的集合，为实数集，集合是函数图象上点的集合，，D不是. 故选：AC 8．（多选题）（2024·高一·广东惠州·阶段练习）对于下列四个判断，其中错误的是（    ） A． B． C．⫋ D． 【答案】ABD 【解析】A选项中元素与集合的关系是属于和不属于的关系，所以，A错误； B选项中空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以或⫋，B错误； C选项中空集是任意非空集合的真子集，C正确； D选项中是无理数，D错误. 故选：ABD 9．（多选题）（2024·高二·重庆·期末）下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【解析】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误； 对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确； 对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确； 对D，因为， 当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误. 故选：BC. 10．（2024·高一·全国·专题练习）设集合，集合，若且，则实数 . 【答案】0或或1 【解析】，且， 或或． 当时， 且， 解得.则； 当时， 且， 解得.则 当时， 有， 解得.则； 所以或或1. 故答案为：0或或1 11．（2024·高一·上海黄浦·期中）若，则 ． 【答案】 【解析】由，得且，当时，显然，于是， 解得，，所以. 故答案为： 12．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 13．（2024·高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【解析】（1）的所有子集有和， （2）由于， 所以所有的子集有和， 14．（2024·高一·上海·假期作业）确定整数，使. 【解析】由集合相等的定义得，即； 或，即. 因为是整数，所以. 15．（2024·高一·山西临汾·阶段练习）已知，，若，求a与b的值． 【解析】由，，，得或， 解，得，经验证，符合题意； 解，得，经验证，符合题意； 所以或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$