1.3交集、并集 学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学导学案聚焦交集与并集的概念及其运算，通过类比实数运算引入集合运算，以Venn图和数轴为工具构建直观理解，从具体实例到抽象定义层层递进，形成清晰的知识支架。活动设计由浅入深，引导学生从元素识别到性质探究，再过渡到区间表示与实际应用，实现从感性认识到理性思维的跃迁。 本资料突出数学眼光、数学思维与数学语言的融合运用，体现核心素养导向。其亮点在于以真实情境（如运动会参赛人数问题）激发学生提出数学问题，借助图形直观发展几何直观与空间观念，通过逻辑推理深化对集合关系的理解，习题设置兼顾基础巩固与能力提升，尤其在区间概念与集合运算结合处展现精准表达与严谨推理，有效培养学生用数学方式观察、思考与表达现实世界的能力。

1．3　交集、并集 1. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集． 2. 能使用Venn图和数轴表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 3. 会用区间表示某段连续实数构成的集合． 活动一 交集 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算．如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题． 思考1►►► 任意两个实数通过某一种运算能得出一个新的实数，类比实数的运算，如何定义集合的运算？你能举例说明吗？ 思考2►►► 用Venn图分别表示下列各组中的三个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？ (1) A＝{－1，1，2，3}，B＝{－2，－1, 1}，C＝{－1，1}； (2) A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0<x≤3}； (3) A＝{x|x为矩形}，B＝{x|x为菱形}，C＝{x|x为正方形}． 思考3►►► 在思考2中，我们称集合C为集合A，B的交集，那么如何定义两个集合的交集？ 思考4►►► 如何用Venn图来表示集合A∩B? 思考5►►► 对于任意两个集合A，B，它们的交集有怎样的性质？ 思考6►►► A∩B＝A可能成立吗？A∩B＝∅可能成立吗？ 例1　(1) 已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝________； (2) 已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{－1，0，2}，则A∩B＝________． 求两个集合的交集就是找出这两个集合的公共元素： (1) 对于用描述法表示的实数组成的数集一般利用数轴分析求解； (2) 对于用列举法表示的实数组成的数集一般利用定义或Venn图求解． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则集合A∩∁UB等于(　　) A. {1，2，5，6}　　　 B. {1} C. {2} D. {1，2，3，4} 求集合A∩B的步骤： (1) 首先要弄清集合A，B中的元素是什么； (2) 将所求交集用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； (3) 将化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可． 活动二　并集 思考7►►► 观察下列两组中的三个集合，你能说出集合D与集合A，B之间的关系吗？ (1) A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，D＝{1，2，3，4，5，6}； (2) A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，D＝{x|x是实数}． 思考8►►► 在思考7中，集合D称为集合A与B的并集，那么如何定义两个集合的并集？ 思考9►►► 如何用Venn图表示集合A∪B? 思考10►►► 集合的并集有什么性质？ 思考11►►► A∪B＝A可能成立吗？A∪B＝∅呢？A∪(∁UA)是什么集合？ 例2　已知A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，求A∩B和A∪B. 设A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，6，7，8}，求A∩B和A∪B. 例3　设A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤1}，求A∩B和A∪B. 若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________. 例4　学校举办了排球赛，高一(1)班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，班上有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，高一(1)班共有多少名同学没有参加过比赛？ 在求有关集合运算的问题过程中要充分利用数轴、Venn图，无论求解交集问题，还是求解并集问题，关键还是寻求元素． 学校举办运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？ 两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题． 活动三 区间的概念 思考12►►► 用集合表示数的范围不是太简洁，有没有比集合更为简洁的办法表示数的范围？ 表示为区间的集合，规定左端点小于右端点，故不用考虑空集的情形． 1. (2024邵阳新邵三中期中)若A＝{1，2，6}，B＝{2，3，4，5，6}，则集合A∩B中元素的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. (2024聊城月考)设集合A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于(　　) A. {x|x≤2} B. {x|x≥2} C. {x|3≤x<4} D. {x|2≤x<4} 3. (多选)已知全集U＝R，集合A，B满足AB，则下列选项中正确的有(　　) A. A∩B＝B B. A∪B＝B C. (∁UA)∩B＝∅ D. A∩(∁UB)＝∅ 4. (2024辽南协作体月考)已知某中学高一(1)班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为________． 5. (2024梅州期中)已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，集合B＝{x|x>1}． (1) 求A∩B，A∪B，(∁RB)∩A； (2) 若集合M＝{x|a<x<a＋6}, 且A∪M＝M, 求实数a的取值范围． 1．3　交集、并集 【活动方案】 思考1：集合A在集合S中的补集∁SA是由给定的两个集合A，S得到的一个新集合．这种由两个给定集合按照某种规则得到一个新集合的过程称为集合的运算．集合的交与并也是常见的两种集合运算． 思考2：Venn图如图所示，通过观察Venn图，得出集合A和集合B的共同元素构成了集合C. (1) (2) (3) 思考3：由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 思考4：A∩B可用下图中的阴影部分来表示． 思考5：A∩B＝B∩A, A∩B⊆A，A∩B⊆B. 思考6：当A⊆B时，A∩B＝A成立；当A与B没有公共元素时，A∩B＝∅，如A＝{1}，B＝{2}，则A∩B＝∅. 例1　(1) {x|1<x<2}　如图所示，所以A∩B＝{x|1<x<2}． (2) {－1，2}　方法一：A∩B＝{－1，1，2，4}∩{－1，0，2}＝{－1，2}． 方法二：如图所示，所以A∩B＝{－1，2}． 跟踪训练　B　因为U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，所以∁UB＝{1，5，6}．又因为A＝{1，2}，所以A∩∁UB＝{1}． 思考7：(1)，(2)中集合D是由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的． 思考8：由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 思考9：A∪B可用下图所示的阴影部分来表示． 思考10：A∪B＝B∪A, A⊆A∪B，B⊆A∪B. 思考11：当B⊆A时，A∪B＝A成立；只有当A＝B＝∅时，A∪B＝∅；A∪(∁UA)＝U. 例2　A∩B＝{－1，0，1}∩{0，1，2，3}＝{0，1}； A∪B＝{－1，0，1}∪{0，1，2，3}＝{－1，0，1，2，3}． 跟踪训练　A∩B＝{5，6，8}； A∪B＝{3，4，5，6，7，8}． 例3　A∩B＝{x|0<x≤1}；A∪B＝R. 跟踪训练　R　{x|－1＜x≤1或4≤x<5}　借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1或4≤x<5}． 例4　设U＝{x|x为高一(1)班的同学}，A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为排球赛和田径赛都参加的同学}． 画出Venn图(如图)，可知没有参加过比赛的同学有45－(12＋20－6)＝19(名)， 故这个班共有19名同学没有参加过比赛． 跟踪训练　如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x. 根据题意有解得x＝5， 即两项都参加的有5人． 思考12：设a，b∈R，且a<b，规定： [a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}， [a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}， (a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}， (－∞，＋∞)＝R. 其中[a，b]叫作闭区间；(a，b)叫作开区间；[a，b)，(a，b]叫作半开半闭区间；a，b叫作相应区间的端点． 【检测反馈】 1. B　因为A＝{1，2，6}，B＝{2，3，4，5，6}，所以A∩B＝{2，6}，所以集合A∩B中元素的个数为2. 2. B　由题意，得 B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A∪B＝{x|x≥2}． 3. BD　如图，因为全集U＝R，集合A，B满足AB，则A∩B＝A，A∪B＝B，(∁UA)∩B≠∅，A∩(∁UB)＝∅.故选BD. 4. 25　由题意，画出Venn图如图所示，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为55－(8＋9＋13)＝25. 5. (1) 因为A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x>1}， 所以A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－2}，∁RB＝{x|x≤1}， 所以(∁RB)∩A＝{x|－2≤x≤1}． (2) 因为A∪M＝M，所以A⊆M， 所以解得－4<a<－2. 故实数a的取值范围为(－4，－2). 学科网（北京）股份有限公司 $