精品解析：江苏省南通市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题

2024年南通市高二学年度质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.02 B. 0.03 C. 0.07 D. 0.08 2. 已知一个圆锥底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 144 5. 函数，的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，都有，则实数最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线恒过定点 B. 若，则极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某小吃店日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为______百元． 13. 设随机变量，且，则______；若，则的方差为______． 14. 已知六棱锥的底面是正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 16. 为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表： 男性 女性 喜欢 12 4 不喜欢 6 8 （1）能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关? （2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数，，， （1）设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； （2）设函数，讨论的单调性． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 19. 箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止． （1）求2号球为红球的概率（用与表示）； （2）若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求； （3）若箱子中白球、黑球个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年南通市高二学年度质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.02 B. 0.03 C. 0.07 D. 0.08 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】由于随机变量，且，所以, 故选：B 2. 已知一个圆锥底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用弧长等于圆锥底面周长，扇形半径为母线长，联立方程，解出即可． 【详解】设圆锥母线长为l,扇形半径为R,则,，解得l=10. 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解. 【详解】由题意， 因为，所以，即. 故选：C. 4. 电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】先把某电视剧和某专题报道排在上午，再结合全排列计算即可. 【详解】因为某电视剧和某专题报道必须在上午播出，所以种排法, 其他4个节目有种排法， 所以不同播出方案的种数为. 故选：D. 5. 函数，的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数，再令导函数大于等于0，即可求出单调增区间. 【详解】因为，所以, 即，. 单调增区间为. 故选：A. 6. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 7. 已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简不等式得出函数单调性，再把单调递增转化为导数恒为正即可求出参数最值. 【详解】假设,又因为,可得, 设,,单调递增， ,恒成立, 所以,即可得. 故选：B. 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； 则有，故C不正确； 则，故D正确； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用赋值法判断A,C,D选项，根据二项式展开式判断B选项. 详解】令,可得,A选项正确； 令,可得, 令,可得， 两式相加可得,C选项正确； 是的各项系数和，所以，D选项正确； 的展开式的系数是,B选项错误. 故选：ACD. 10. 在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】运用线面平行垂直的性质和判定逐个分析即可. 【详解】对于A, 若，，则或者，故A错误； 对于B,可以用法向量来思考. ，所在的方向取，的法向量，法向量垂直可推出面面垂直.故B正确; 对于C, 若，，，则或者相交，故C错误； 对于D，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故D正确． 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出即可；对于B，结合导数求出的极值即可；对于C，利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可；对于D，结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可. 【详解】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确； 对于B，当时，，则， 令，解得：，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，所以的极大值为， 故B不正确； 对于C，，当，则，所以在上单调递增， 又，即，则，故C正确； 对于D，当时，由，解得：， 当时，，则在上单调递增，当，， 则在上单调递减， 所以， 令，则， 所以当时，，则在上单调递增， 所以，即的最大值大于， 而，故，即，所以D正确； 故选:ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为______百元． 【答案】6 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入得到值，再令即可. 【详解】由已知数据，， 因为，则，代入，则， 则，令，则. 故答案为：6 13. 设随机变量，且，则______；若，则的方差为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】(1)用二项分布的概率公式可解； (2)用二项分布的方差结论即可解决. 【详解】(1) ,则， 则，解得 (2) ，由(1)得，则． ，则 故答案为：；． 14. 已知六棱锥的底面是正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，即可求出，进而得到，利用导数即可求解． 【详解】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大， 设底面正六边形的边长为，所以底面外接圆的半径为， 六棱锥的底面积，设六棱锥的高为， 因为，即，所以，． 设外接球的半径为，可得，，得． 所以， 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，解得， 故球的表面积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再根据线面垂直判定定理证明线面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则， 则， 所以， 所以， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 记直线与所成角为，则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 16. 为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表： 男性 女性 喜欢 12 4 不喜欢 6 8 （1）能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关? （2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关 （2）的分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；（2）根据题意求出离散型随机变量可能取值以及对应的概率，列出分布列. 【小问1详解】 由题可得， 所以没有把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关； 【小问2详解】 由题可得男性的人数可能取值为：0，1，2，3 ， ， ， , 所以的分布列为： 0 1 2 3 17. 已知函数，，， （1）设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； （2）设函数，讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出曲线在处的切线方程，与联立，由解得； （2）先求的定义域，求导数，对进行分类讨论，求解即可. 【小问1详解】 ，，且， 所以曲线在处的切线为， 则，得， 因为直线与曲线相切， 所以，得（舍），或； 【小问2详解】 的定义域为， ， 因为，令，得或， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 当时，，当时取等号，函数在上单调递增， 综上所述，时，的单调增区间为，， 单调减区间为， 时，的单调增区间为，没有减区间， 时，的单调增区间为，，单调减区间为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得. （2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值. （3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面. 所以. 【小问2详解】 如图： 取中点，连接. 因为平面，平面，所以. 在四边形中，，且， 所以四边形为矩形.所以平面. 又在和中，，，. 所以（）. 所以，. 故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 当为中点时，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以 所以二面角的正弦值为：. 【小问3详解】 设，（） ，则，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 则到平面的距离为：， 到平面的距离为：， 所以 设，则 那么（当且仅当即时取“”） 所以 【点睛】结论点睛：点为平面外一点，点为平面内一点，平面的法向量为，则点到平面的距离为：. 19. 箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止． （1）求2号球为红球的概率（用与表示）； （2）若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求； （3）若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件：第号球为红球，利用全概率公式求； （2）根据题意，先得出的可能取值为：，结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布列，再由期望的计算公式，即可求出结果； （3）将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考察再进行全排列，利用概率公式求解答案. 【小问1详解】 设事件：第号球为红球， 则 ； 【小问2详解】 根据题意，随机变量的取值为， 从袋中个红球和个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有种情况； 则，， ，， ，，， 所以的分布列为： 因此其数学期望为： ； 【小问3详解】 解法一：根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球. 问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完， 此时的概率为， 同理可得，最后一球为白球的概率为， 最后一球为黑球的概率为， 将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，， 按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查. 问题2：发现最后一球是红的概率为，最后一球是白球的概率为， 最后一球是黑的概率为，所以问题1与问题2等价. 不妨令红球为a，白球为b，黑球为c，d，则全排列作为概率公式分母，即. 记“红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）”为事件A， 现在对事件A进行分析： 第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有种可能； 第二类：a在第二位时，b必须在第三或第四位，c，d全排列，有种可能； 共种可能. 所以. 解法二：考虑最后一个球的颜色情况： ①最后一个球是白球： i)将全部黑球放入白球前面，共1种方法； ii）再将全部红球一个一个放入，确保最后一个红球后面有黑球和白球：有种方法； iii)最后将剩余的()个白球放入：有种方法； 所以情况①共有种. ②最后一个球是黑球： 过程类似于情况①，共有种. 综上所述： 【点睛】关键点点睛：将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$