第8讲 二次函数综合题-【中考宝典】2024年中考数学(广东专用版)

第二部分知识梳理 第8讲 二次函数综合题 命题分折 广东近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 与面积有关的问题 题23,12分 与相似三角形有关的问题 题25,10分 与特殊四边形有关的问题 题25,9分 题25,10分 考点知识梳理 审核心笔记 二次西数综合题中常考的题型如下： (一)基础题型 1.求二次函数解析式一—常用待定系数法 2.求特殊，点的坐标： (1)与x轴的交点，令y=0,求出x: (2)与y轴的交点，令x=0,求出y: y=kx十b. (3)两图象的交点联立组成方程组，常用代入法解方程，例如： y=a.x2+bx十c. (二)提高题型 4,二次函数中三角形、四边形面积问题，利用面积求点的坐标， 面积求法：①公式法，②割补法 注意：底和高通常选择“横的或竖的”的线，这样容易通过点的坐标来表示长度。 5.存在性问题 (1)找点构成等腰三角形，直角三角形、平行四边形等问题： (2)找点构成三角形全等、相似问题 w特别提醒：注意这类题往往要分类讨论 6.函数与最值问题 (1)如二次函数最值问题： (2)最短路径问题（线段和最小问题，线段差最大问题） 7,函数与动点问题，如利用动点坐标表示线段的长度，图形重叠部分面积问题， 0109《。 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 球【跟踪训练】 类型1与线段、周长有关的问题 1.(2023·宁夏)如图，抛物线y=a.x2十bx十3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.已知点 A的坐标是（一1,0），抛物线的对称轴是直线x=1. (1)直接写出点B的坐标： (2)在对称轴上找一点P,使PA十PC的值最小，求点P的坐标 和PA十PC的最小值： B B 01 /01: (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴， 备用图 垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意补全图形，当 MQ+2CQ的值最大时，求点M的坐标. 0》110● 第二部分知识梳理 类型2与面积有关的问题 2.(2023·黑龙江)如图，抛物线y=ax+bx十3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式： (②)抛物线上是否存在一点P,使得S。m=Sw,若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请 说明理由. 类型3与角度有关的问题 3.(2023·常德)如图，二次函数的图象与x轴交于A(一1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C,顶点为 D.O为坐标原点，tan∠AC0=号 (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形ACDB的面积： (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC,求P点 各用因 的坐标。 ●111《e 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 类型4与特殊三角形有关的问题 4.(2023·凉山)如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(一5,0)两点，与y轴交于点C.=-33 直线y=一3x十3过抛物线的顶点P. (1)求抛物线的解析式： (2)若直线x=m(一5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F, ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值： ②当△EFC是等腰三角形时，直接写出点E的坐标， ●112《e 第二部分 知识梳理 类型5与特殊四边形有关的问题 5.(2023·辽宁)如图，抛物线y=一2r+bc十c与x轴交于点A和点B4,0),与y轴交于点C0,4). 点E在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线在第一象限内一点，过点E作EF∥y轴，交BC于点F,作EH∥x轴，交抛物 线于点H,点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH,当矩形EFGH的周长 为11时，求线段EH的长； (3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标. B 备用图 ●113《● 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 类型6与相似三角形有关的问题 6.(2023·随州)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2十bx+c过点A(-1,0),B(2,0)和 C(0,2),连接BC,点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M, 交x轴于点N, (1)直接写出抛物线和直线BC的解析式： (2)如图2，连接OM,当△OCM为等腰三角形时，求m的值： (3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q,使得以O,P,Q为顶点的三角形与以B,C,N为 顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标：若不存 在，请说明理由. AONB外 AOB外 图1 图2 备用图 ●114《e 第二部分知识梳理 类型7其他问题 7.(2023·宿迁)规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为 “兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点” 1)下列三个函数①y=x十1：②y=一2，③y=-2+1,其中与二次函数y=2-4x-3互为“兄 弟函数”的是 (填写序号)： (2)若函数为=ar2一5x+2(a≠0)与为=一1互为“兄弟函数”，x=1是其中一个“兄弟点”的横坐标 ①求实数a的值： ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 (3)若函数=工一m(m为常数)与=一2互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为 x1,x,x1,且x1<xg<x,求(x2十x一2x1)2的取值范围. 请完成精练本第31一32页习题 0115《0.敬学参考答案 .C(-1,-4), ÷80=128a=1.6, 答：y关于x的解析式为y=一2+ ∴CF=4, P F 280x一8000(50≤x≤65)，且最大利润 :PQ∥BC. 实际意义：当面条的横截面积为1.6mm 为1750元. .△PQA△BCA. 时，面条长度为80m 创新考法 器-福9 三.1.y=-2.x2+400.r-16800 4 2.解：(1)炮弹飞行的水平距离是12百米 解：(1)设方关于p的函数解析式为h= p =1一m 时，达到最大高度是2.88百米， 把p=1,h=20代入解析式，得k=1×20 ,设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为 =20. QE=1-m:SON=SARA-SAN y=a(x-12)+2.88, ∴h关于p的函数解析式为=20：(2)把 -PA.CF-TPA.QE-2(1-m) 代人(0,0)得144a十2.88=0， p a=-0.02..y=-0.02(x-12)7+ A=25代人4-29，得25-20，解得p- ×4-1-m1-m)=-(m+1D0 2.88: 0.8, +2, (2),山丘M顶部距炮口的水平距离为 8百米， 答：该液体的密度p为0.8gcm. :-3≤m≤1，.当m=一1时，Se有 最大值2。 .当x=8时.y=2.56>2.3, 第8讲二次函数综合题 ,,炮弹能够越过山丘： 考点知识梳理 ∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点 (3)令y=-0.02(x-12)+2.88=0,得 1.解：(1)：点A(一1,0)关于对称轴的对 坐标为（一1,0） r=0或x=24, 称点为点B,对称轴为直线x=1, 8解：令2+5，一75-0，解得 点B为(3,0)： 8 ,,炮弹落在距离炮口24百米的地方， 1.=-7..A(1,0),B(-7,0) :炮弹的最大杀伤半径为2百米，山丘 (2)当x=0时，y=3, C(0,3),连接BC,如答图1， 由y+3-75=x+3 M顶部距抛口的水平距离为8百米， B(3,0),BC 4 8 ∴为使射击有效，目标物设置在距山丘 √3+3 -25,得D(-3,-2). 顶部水平距离d应满是24一2一8≤d≤ 创新考法 24十2-8. 32, 240 .14≤ds18. 点A关于对称4 第7讲 函数的实际应用 广东中考你在行 轴的对称点为点 1.4 B..PA+PC= 答图1 考点知识梳理 2.解：(1)把x=2,y=19代人y=kx十15 PB+PC≥BC, 一，1.A 中，得19=2k+15, ∴当P,B,C三点共线时，PA+PC的值 2.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y 解得=2，所以y与x的函数关系式为 最小，为BC的长， =kr十b(k≠0) y=2r+15: 设直线BC的解析式为y=kx十，则 将(1.110)，(3,130)代人y=kx+b得 110=十：解得 (2)把y=20代人y=2x+15中，得20= n=3, k=10, 2x+15,解得x=2.5,所挂物体的质量 3k十n=0 解得/一3， 130=3k+6. k=-1: b=100 为2.5kg ,y=一x十3，，点P在抛物线的对称轴 y与r之间的函数关系式为y= 3.解：(1)设猪肉棕每盒进价a元，则豆沙 上∴P(1.2) 10r+100: 粽每盒进价(a一10)元. ∴点P(1,2),PA+PC的最小值为 (2)根据题意得：(60一x一40)(10x+ 100)■1760，整理得x一10x-24=0, 则800-990解得a=40,经检壁a 32: a 解得=12.x:=一2（不符合题意， (3)过点M作MN =40是方程的解。 舍去)， ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进 ⊥x轴，垂足为N, ,.60-x=60-12=18(元). 连接BC交MN于 价30元. 答：这种排球每个的实际售价是48元 答：猪肉棕每盒进价40元，豆沙棕每盒 点Q,如答图2 二，1.0.6 进价30元. 所示， A(-1,0),B(3, 2,解：(1)设y与x之间的函数解析式为 (2)由题意得，当x=0时.每天可售 答困2 y=(>0. 100盒， 0》: 当猪肉棕每盒售x元时，每天可售[100 设抛物线的解析式为y■a(:十1)（工 将4,32)代人可得：32=。 一2(x一50)]盒，每盒的利涧为(xr一40) 3),,C(0.3),3=-344=-1, .y=(.r-40)·[100-2(.x-50)]= ∴.y=-(r+1(x-3)=-r2+2x+3. .k=4×32=128. 设M(m,一m+2m十3)，则N(m,0).由 ·y与下之间的函数解析式为 2x+280.x-8000 配方得y=一2(x一70)2十1800，当x= (2)知.直线BC:y=-r+3, y=12sx>0: 65时，y取最大值为1750元. .Q(m,一m+3), y=-27+280x-8000(30≤x≤ .MQ=一m+2m+3+m-3= (2)将(a.80)代人y=128 65).最大利洞为1750元， -m+3m. 9 新课标中考宝典·数学（广东专用版】 C(0,3),B(3,0), 180°-90°-45°=45”， ∴0C=OB=3,BN=3-m ∴△EFC是等覆直角三角形， 5,解：：抛物线y=-号r+bc十c经 ·.∠OBC=∠OCB=45, ∴FC=FE=1.∴点E的坐标为(1,6). 过点B(4,0)和C(0,4), .∠NQB=∠OBC=45, 过B,E两点的直线的解析式为y 1×4+4h+=0: ∴.BQ=2BN=2(3-m) + e=4, .CQ=BC-BQ=3√2-3√2+2m= 2m, 得 b=1, ∴.MQ十2CQ=-m+3m十2·2m y=-(x+1)(x-5), “抛物线的解析式为y=一立十 -m+5m=-(a一音）广+华， r=5 或 x+4: 解得 “当m=号时，MQ十ECQ有最大值， 1y=0. (2):"点B(4.0)和C(0.4),设直线BG 的解析式为y=kx十4，则0=4十4，解 此时M(号，子)： ∴直线BE与抛物线的两个交点为B(5, 得k=一1， 0,P(侵兴)，即所求点P的坐标 .直线BC的解析式为y=一x十4，设E 2.解：(1)因为抛物线y=a2+br+3经过 点A(-3,0)和点B队1,0)两点，所以 为（合翠） (-号r+r+4)小且0<<4，赠F 8-6+30·解得：一所以抛 (x,-x十4)， a+b+3=0, 6=-2. 4.解：(1)：抛物线与上轴交于A(1,0)和 物线的解析式为y=一x2-2r+3. B(-5.0)两点， GH=F=-名+r+4-(-r+40 (2)存在，点P的坐标为（一2,3）或 一抛物线的对称轴为直线r=二十1 2 =-+2 (3.-12. 一2， 3.解：(1)二次函数的解析式为y=一(x十 在y=一3x+3中，当x=一2时，y=9, :抛物线的对称轴为直线 1)(x-5)=-x2+4x+5: 2×(-号) .抛物线顶点P的坐标为（一2,9）， (2)y=-(x+1) 设抛物线的解析式为y=a(x+2)+9, =1, (x-5)=-(x ,.a(1十2)2十9=0，a=-1, H(2-,-+r+4)小， 2)十9，顶点的坐 ·抛物线的解析式为y=一(x+2)严+9 标为(2,9). ∴.GF=EH=r-(2-x)=2x-2. =-x-4x+5: 过点D作DN⊥AB B (2)①”地物线的解析式为y=一一4r 依题意得2(-之+2+2x-2）- 于点N,作DM⊥ +5,点C是抛物线与y轴的交点， 11,解得r=5(舍去)或r=3,∴EH=4: OC于点M,如答 答图1 .C(0,5), 图1， 设直线BC的解析式为y=kr十h, (3)点V的坐标为4,4或（一子·号）】 四边形ACDB的面积=Swr十Smw 将B,C两点的坐标代人y=kr十，得： -Saaw十S6m -5k十6=0·则 或(-5，二厘-12》 =1, 号×1×5+2×9- 1 ·×2×(9-5)+ 6=5, =5, 成(5,73厅-) 4 ∴直线BC的解析式为y=x十5， 号×(5-2)×9=30： :直线x=m(一5< 6.解：(1)抛物线的解析式为y=一(x十1) (3)如答图2，P是抛物线上的一点，且在 m<0)与抛物线交于 (x-2),即y=-x2十x十2. 直线BC的解析式为ym一x十2. 第一象限，当∠ACO=∠PBC时. 点E,与直线BC交于 点F,如答图， (2),点M在直线BC上，且P(m,n), 连接PB,过点C作CE⊥BC交BP于点 ,,E(m,一m一4m ∴点M的坐标为(m,一m十2). E,过点E作EF⊥OC于点F, 5),F(m,m十5)， O ∴.℃=2，C1f=(m-0)2+(-m+2-2) 0C=OB=5,则 答图 =2m.Of=m+(-m+2y=2m △OCB为等腰直角 ,,EF=一m-4m十 4m十4. 三角形，∠OCB= 5-(m十5)=一m-5m=-（m十2 当△OCM为等腰三角形时， 45°.由勾股定理得 ①若CM=OM,则Cf=Of,即2m= CB=52, 2m2一4m十4，解得m=1: '∠ACO=∠PBC 答图2 -1<0, ②若CM=OC,则Cf=OC,即2m= m∠A0=m∠PC,即-需 ,当m=一 时，EF有最大值，最大值 4.解得m=√2或m=一2（合去）： CE ③若OM=OC,则OM=OC,即2m 521 4m十4=4，解得m=0(舍去)或m=2. ∴.CE=√2，由CELBC.得∠BCE=90, ②点E的坐标为（一3,8）或（一4,5）或 综上，m=1或m=2或m=2 ·∠ECF=180°-∠BCE-∠(OCB= (W2-5,62-2). (3)P(2,2),Q(0,2-1)或P(1+/5, 10 数学参考答案 -1-5),Q(0,1)或P(1+/5,-3 5-2.1)>16. 'AB∥CD, 5),Q(0. 2)或 第四章三角形 ∴.∠A=∠AFC, P,+. 第1讲线、角、相交线与平行线 :∠AEC=∠C+∠AFC, 考点知识梳理 ∴∠AEC=∠A+∠C Q(04-2压) 1.D2.C3.C4.B5.C6.C7.D 广东中考你在行 9 8.C9.A10.B11.C12.D 1.D2.B3.45°4.105 创新考法 7.(1)② 例题精讲 4 例1：B变1：C B 解：(2)①函数y=a2一5r十2(a≠0)与 例2：C变2：B 第2讲一般三角形及其性质 为=一}互为“兄弟函数=1是其中一 例3：(1)证明：：AD∥BC.AB∥CD 考点知识梳理 .∠FED=∠FBC,∠2=∠F, 1.A2.锐角3.钝角4.C5.C6.C 个“兄弟点”的横坐标 :BF平分∠ABC..∠2=∠FBC 7.C8.2.59.D10.611.D12.10 y=a-3,y=-1,划a-3=-1,解 ∠F=∠FED,∴DE=FD: 13.D 得a=2: (2)解：∠1=150， 例题精讲 (3)在平面直角坐标系中作出= 变3：解：(1)AB∥CE 例1：120变1：65 一如为省数)与-一号的图 理由：∠1+∠2=180'（已知）， 例2：C变2：C 象，如答图所示： ·DE∥同榜纳角互.补两直线平行)， 例3：18变3：15 ∴∠ADF=∠B(两直线平行，同位角 核心考点讲练 相等)， (一)基础过关 '∠B=∠E已知)， 1.C2.C3.24.C5.D ·∠ADF=∠E(等量代换)， (二)能力提升 ,AB∥CE(内错角相等，两直线平 1.B2.A 行)， 3.360(m-2)4.B5.72”6.10 答图 (2)AB∥(CE,.∠B+∠BCE 7.(1)证明：过点C作CE∥AB,交AD的 的=x-m, =180°， 延长线于点E,如答图， 联立 。一2 即x一m=一 :∠B=50°，.∠BCE=130, .∠BAD=∠E, C :CA平分∠BCE, 又：∠ADB= ①当一m≥0时一m=一子甲上 ∠ACE=∠BCE=65 ∠EDC(对顶角相 2 mr+2=0,当4=m-8>0时，x 等》， :AB∥CE,∠A=∠ACE=65. .△ADBO 答图 =m士m=8 核心考点讲练 2 △EDC(两角分别相等的两个三角形相 (一)基础过关 ②当x一m<0时，一(x一m)=一 2,即 似)， 1.A2.B3.B4.A5.B6.D7.5 2-mx-2=0,则4=m2+8>0. 8.4 能部相蚁三角形的对应边度比 r=m±V你十8 (二)能力提升 例)， 2 1.B2.B3.B4.C5.C :AD平分∠BAC, 由图可知，两个函数图象的交点只能在 6.证明：方法一： ∴.∠BAD=∠CAD 第二象限，从面x<0,再根据三个“兄弟 B 又'∠BAD=∠E, 点“的横坐标分别为，，·且< ∴∠CAD=∠E. D ÷函=m二m+8,=m1m8 AC-G(等角对等边).…能-品 如图，过点E作MV∥AB. 2 2 (2)解：在R1△ABC中，∠BAC=90",AC :AB∥CD, 西=m十m一8 =1,AB=2, ,.AB∥CD∥MN, 2 ,.∠A=∠AEM,∠C=∠CEM. 则BC=AC+AB=、5, ∴(n+名-2)少-(m-=8+ :∠AEC=∠AEM+∠CEM, 由折叠的性质可知∠CAD=∠BAD,DC ·∠AEC=∠A+∠C, =DE. m十m=8-2×m-m+8) 方法二： 可知器-品片 1 CD 2 2 ,解得CD 如图，延长AE,交CD于点F, =(m-m十√m+8) =(√m+8) -DE- 3 =m2十8， 广东中考你在行 由m2一8>0得到m2十8>16，即(x十 1.D2.A3.8 11