第6讲 二次函数的图象与性质-【中考宝典】2024年中考数学(广东专用版)

第二部分知识梳理 第6讲 二次函数的图象与性质 命题分折 广东近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 二次函数的图象及性质 题9,3分 题10,3分 题10,3分 待定系数法求二 次西数的解析式 题23(1)，5分 a,b,c,b2-4ac符号 的确定 题10,3分 二次函数图象的 题7,3分 题12,4分 平移规律 二次函数与一次、二次 题25(1)，2分 方程的关系 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数 与图象形状和对称轴的关系 新课标要求 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应 的实际问题 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一 元二次方程的近似解 考点知因梳理 考点二次函数的定义 时核心笔记 【跟踪训练】 一般地，形如y=a.z2十bx+c(a,bc是常数，a≠0)的 1.(2023秋·湖南益阳·九年级统考期末)下列 函数叫做二次函数。 函数中，是二次函数的是 () 特别提醒：当b=0或c=0或b,c同时为0时，也 是二次函数 A.y=-2 B.y=√E C.y=2.x+1 D.y=-2.x2+1 )97《6 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 考点2二次函数的图象及性质 w核心笔记 抛物线 y=ax v=ax2十G y=a(x-h)? y=a(z-h)2+k y=ax+bx+c y=a(x十 )+4ac- 2a 4a 当a>0时，开口向上，并向上无限延仲 开口方向 当a<0时，开口向下，并向下无限延伸 顶点坐标 (0,0) (0,c) (h,0) (h,k) h Aac-b 2a' 4a b 对称轴 y轴 y轴 直线x=h 直线x=h 直线x=一 a x=0时， x=0时， x=h时， x=h时， b 时，ymm= Aac-b a>0 I=- 最值 ymin=0 ymin =c yain =0 ymin= 2a 4a x=0时 x=0时， x=h时， x=h时， <0 Aac-b I=- ymax=0 yox=c yex=0 you=k 时ya= 2a 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 a>0 增诚 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 性 a<0 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 女本 【跟踪训练】 2.已知抛物线y=x-2x-1. (1)化为顶点式为y= (2)该抛物线的开口方向 对称轴为直线 ,顶点坐标为 (3)当x 时，y随x的增大而增大，x 时，y随x的增大而减小： (4)当x= 时，函数y有最 值，是 考点③待定系数法求二次函数的解析式 时核心笔记 【跟踪训练】 设解析式的 待定系 3.一个二次函数，当x=0时，y=一5：当x=一1时，y=一4：当 已知条件 形式 数法求 解析式 x=-一2时，y=5,则这个二次函数的关系式是 已知顶 A.y=4.x2+3.x-5 B.y=2.x2+x+5 点(h,k) 顶点式：y C.y=2.x2-x+5 D.y=2x2+x-5 十其他 a(x-h)+k 点坐标 4.若二次函数图象的顶点坐标为(2，一1)，且过点(0,3)，则该二 已知与x 次函数的解析式为 联立方 轴的两 程，得出 个交点 交点式：y= 结果，再 Ay--2- B.y=(x+2)2-1 (,0), a(r-n)(x 代回所设 (,0)+ x:) C.y=(x-2)2-1 D.y=-(x-2)2-1 解析式 其他点 坐标 已知任 一 意三个 般式：y= 点坐标 ax+bx+c 98《e 第二部分 知识梳理 考点④a,b,c,b一4ac符号的确定 ㎡核心笔记 【跟踪训练】 抛物线y=ax2十b.x十. 5.关于二次函数y=2(x+3)2+6,下列说法正 1.a决定抛物线的开口方向和开口大小 确的是 ( (1)a相同台抛物线的形状相同1 上正 (2)a>0曰抛物线的开口向上 A.开口向下 下负 (3)a<0台抛物线的开口向下 B.对称轴为直线x=3 r特别提醒：a还决定开口大小，即a越大，开口越小 C.顶点坐标为(3,6) 2.4,b决定对称轴的位置 D.当x<一3时，y随x的增大而减小 抛物线y=ax十bx十c的对称轴为直线x=一 b 2a' 6.(2023·上海一摸)已知二次函数y=a.x+h.x (1)a与b同号曰对称轴在y轴的左侧 左同 十c的图象如图所示，则a,b,c满足 (2)a与b异号台对称轴在y轴的右侧 右异 (3)b=0台对称轴就是y轴 A.a<0,b<0,c<0 B.a>0,b<0,c<0 C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c>0 ① 2 3.c决定抛物线与y轴的交点位置 抛物线y=ar2+br+c,当x=0时，y=c,即抛物 线与y轴的交点为(0，). (1)c>0一抛物线与y轴相交于正半轴 上正 (2)=0台抛物线与y轴相交于原点 (3)<0一抛物线与y轴相交于负半轴下负 4.b一4ac的符号决定抛物线与x轴的交点个数. (1)b-4a>0台抛物线与x轴有2个交点： (2)6-4ac=0曰抛物线与x轴有1个交点： (3)6一4ac<0抛物线与x轴没有交点。 考点⑤二次函数图象的平移规律 W核心知识 【跟踪训练】 平移前的 移动方向 平移后的 7.(2023秋·河北张家口·九年级统考期末)将 解析式 (m>0) 解析式 简记 向左平移 y=a(.x-h日 抛物线y=2(x一1)+3的图象向左平移1个 m个单位 m)2十k 左“十” 单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物 向右平移 y=a(x-h 右“一” y=a(x- m个单位 m)k 线的解析式为 h)十k 向上平移 y=a(x一h)十 A.y=2.r B.y=2x2+6 m个单位 k十m 上“十” 向下平移 y=a(r-h)2+ 下“一” C.y=2(x-2) D.y=2(x-2)2+6 加个单位 k一m ●99《● 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 考点⑥二次函数与一元二次方程的关系 事核心知识 w【跟踪训练】 抛物线y=a.x2+ 元二次方：程 8.(2023春·盐城期中)抛物线y=2x2-x十1与 △=b-4ac bx十c与x轴的 a.x2+bx十c=0 y轴的交点坐标是 ( 交点个数 的根 A.(0,1) B.(-1,0) b-4ac>0 两个 两个不相等的实数根 C.(0,-1) D.(2,0) b-4ac=0 一个 两个相等的实数根 9.(2022秋·南通阶段练习)抛物线y=(x一3)2一4 b:-4ac<0 无实数根 与y轴的交点坐标是 例 题 讲 考点二次函数的平移规律 例1.(2023秋·浙江)将二次函数y=5x2的图变1.将抛物线C1:y=x2一2.x+3向左平移2个 象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，单位长度后得到抛物线C,则抛物线C,与y轴 得到的函数图象的解析式为 的交点坐标是 A.y=5(x+3)2+2 B.y=5(x-3)2+2 C.y=5(x+3)2-2 D.y=5(.x-3)2-2 考点2二次函数的图象和性质 常考题型：1.根据二次函数的性质判定对错；2.求二次函数的最值. 例2.(2023·兰州)已知二次函数y=一3(x-2)2- 变2.(2023·泰安)二次函数y=-x2一3.x十4的 3,下列说法正确的是 ( 最大值是 A.对称轴为x=一2 B.顶点坐标为(2,3) C.函数的最大值是一3D.函数的最小值是一3 考点③待定系数法求二次函数解析式 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：已知抛物线y=ax十x十c(a≠0)经过 解：将A(一1,0)，B(2,0)代入y=ax+x十c(a≠0)得 A(一1,0)，B(2,0)两点，与y轴相交于点C,该 a-1十c=0, 4a+2+c=0, 释21 抛物线的顶点为点M.求该抛物 故抛物线的解析式为y=一x十x十2…2分 线的解析式及点M的坐标. 1 y= -x2+x+2=-(x- )+9 解： 故项点M， ………3分 满分：3分 实得： ●100《e 第二部分知识梳理 例3.(2023·大庆节选)如图所示，在平面直角坐变3.(2022·广州二模节选)如图，抛物线y= 标系中，抛物线与x轴分别交于A(3,0),a.x2+hx十c经过点A(一2,5)，与x轴相交于 C(一1,0)两点，抛物线与y轴的交点为B(0,一3). B(-1,0),C(3,0)两点. 求抛物线的解析式. 求抛物线的函数解析式， 拉巴考点进练 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 正确率：/9】 考点口二次函数的图象及性质 1.下列关于二次函数y=一3x2十3x十6的图象和性质的叙述中，正确的是 A.点（一1,4）在函数图象上 B.开口方向向上 C.对称轴是直线x=1 D.当x>1时，y随x的增大而减小 2.已知抛物线y=(x一1)+2，下列说法错误的是 A.顶点坐标为(1,2) B.对称轴是直线x=1 C.开口方向向上 D.当x>1时，y随x的增大而减小 考点②二次函数解析式的确定 3.若抛物线的顶点为(1，一1)，且过点(0,0)，则函数的关系式为 4.已知二次函数y=ax+bx一1的图象过A(2,0)和B(4,5)两点，则这个二次函数的解析式为 考点③二次函数图象的平移 5.将拋物线y=3.x2向上平移1个单位，得到抛物线 A.y=3(x-1) B.y=3(x+1) C.y=3.x2-1 D.y=3x2+1 6.抛物线y=x2一4x+7先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后解析式是 A.y=(x-4)+6 B.y=x2+6 C.y=(x-2)”+6 D.y=(x+4)2+6 考点④二次函数图象与a,b,c的关系 7.已知抛物线y=(a一3)x2的图象开口向下，则a的值可能是 A.5 B.4 C.3 D.2 0101《o 新课标中考宝典·数学（广东专用版】 8.二次函数y=ax+b.x十c的图象如图所示，则下列关系式中错误的是 A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.b2-4ac>0 考点⑤二次函数与一元二次方程的关系 9.抛物线y=x”一8x+7与x轴的交点坐标为 (二)能力提升 【建议用时：5分钟 正确率：/7】 1.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym,当x在一定范 围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是 A.一次函数关系 B.二次函数关系 C.正比例函数关系 D.反比例函数关系 2.将抛物线y=一4x+3向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为( A.y=-4(x+2)2-1 B.y=-4(x-2)2+2 C.y=-4(x-2)2-1 D.y=-4(x+2)2+2 3.无论m为任何实数，二次函数y=x十(2一m)x十m的图象一定过的点是 A.(1,3) B.(1,0) C.(-1,3) D.(-1,0) 4.已知（一2）（分），(1y)是二次函数y=号十x+c图象上的三点，则1，的大小关系 为 A.ys>y:>y B.ys<y<y C.y2<ys<y D.y<y<y 5.在同一平面直角坐标系中，函数y=a.x2十b与y=bx十ax的图象可能是 6.已知二次函数y=(k一1)x2十2x一1与x轴有交点，则k的取值范围是 7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx十b与二次函数y=一x2十mx十n交于点A(3,0), B(0,3)两点.求一次函数y=kx十b和二次函数y=一x十m:x十n的解析式. ●102《 第二部分知识梳理 户东中考你起行 1.(2023·广东)如图，抛物线y=ax十c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上，则 ac的值为 ( A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 2.(2021·广东)我国南宋时期数学家秦九部曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希 腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为4，b,c,记p=4十十C,则其面积 2 S=√p(p一a)(p一b)(p一c).这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面 积的最大值为 A.5 B.4 C.25 D.5 3.(2021·广东)设O为坐标原点，点A,B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB.连接点A,B, 过点O作OC⊥AB于点C,则点C到y轴距离的最大值为 () A号 B号 c D.1 4.(2021·广东)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物 线的解析式为 5.(2020·广东)把函数y=(x一1)十2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为 () A.y=x2+2 B.y=(x-1)”+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(.x-1)+3 6.(2020·广东)如图，抛物线y=a.x2+bx十c的对称轴是直线x=1.下列结论：①abc>0:②6一4ac>0: ③8a十c<0;④5a+b十2c>0.其中正确的结论有 A.4个 B.3个 4 C.2个 D.1个 )103《e: 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 7.(2022·广东)如图，抛物线y=x2+bhz+c(h,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点，A(1,0), AB=4,点P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式： (2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标. 8.(2019·广东节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=气2+3。-7与x轴交于点A,B 8 (点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点.求点A,B,D的坐标： ● 创新考法 【跨学科】(2023·大同)生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升 高逐渐增强：在最适温度时，酶的活性最强：超过一定温度范围，酶的活性又随温度的升 高逐渐减弱，甚至会失去活性.现已知某种酶的活性值y(单位：IU)与温度x(单位：℃) 的关系可以近似用二次函数y=一 2x十14x十142来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性 值为 IU. 事总结反思： 请完成精练本第27一28页习题 0104e.新课标中考宝典·数学（广东专用版】 特训营一【专训篇】函数中的面积问题 ∴△AOB的面积= ×2×4+号 ×2× (4)1小 -2 【跟踪训练】 3.A4.C5.D6.D7.A8.A9.(0,5) 1,32.D3.D 2=6. 例题精讲 4.解：(1)A(一3,0)，B(1,0),C(0,2): 4.解：(1)：反比例函数为=”(m≠0)的 例1：D变1：(0,3) (2)如答图，过点P作PD∥y轴交AC 图象经过点A(6,2),B(a,一6)： 例2：C变29 于点D, .m=6×2=12=-6a,a=-2. 设直线AC的解析 例3：解：根据题意设抛物线的解折式为y ,B-2,-6), 式为y=kr+b(质 u(x+1)(r-3), 把A(6,2),B(-2,一6)代人=x十b ≠0》， :把B(0,-3)代人得-3=-3a, (6k十b=2, fk=1, 则 得 -2k+=-6. 解得 =-4.y=r ∴.u=1. -3k十b=0, ∴.抛物线的解析式为y=x一2x一3. -4. b=2, 4a-2b+c=5, 一次函数解析式为少=一4，反比例 变3：解：由题意得：〈a一b+c=0, 2 得 西数解折式为一兰 9a+3b+=0, d=1+ 《2)在y=T一4中，令x=0,则y=一4 ∴直线AC的解析式为y=了+2 2 解得 b=-2, .C(0.-4), -3. 设点P(u,-是。 :点E是点C关于x轴的对称点， 2 3u+2),则Du, .抛物线的函数解析式为y= E(0,4),.EC=8, 2-3. a+2), Sar=Sacm SAcA ×8X2+ 1 核心考点讲练 2 PD-- 3u+2-( 34十2) (一)基础过关 2×8×6=32: 1.D2.D (3)A(6,2),B(一2，一6)，.由图象可 1 2 得，当雨数值”<为时，<一2或0< 3.y-r-2s1.y- 5a=S6w+Sw=2·（- <6. 5.D6.B7.D8.B9.(1,0,(7,0) -2)3=-u+r+ 5.解：(1)设r=0,代人y=a.x2十2ax-3, (二)能力提升 则y=-3, 1.A2.B3.A4.A5.D ∴当4=一号时，Sw有最大值，此时 抛物线和y轴的交点为C(0,一3). 6.k≥0且k≠1 7.解：把点A(3.0),B(0,3)代人y=kr+ -+2- :sin∠OBC= =号.÷∠OBC=450B=】 3k+b=0 解得/-1， ∴点P(-是，受)时△ACP的面积 OC=3..B( b得=3， 1h=3. 3,0). ∴.一次函数的解析式为y=一r十3： 最大 将B(一3,0)代 把点A(3,0),B(0,3)代人y=-x+ 【综合训练】 入y=ar2+2a. mx十有， 1.B2.3 -3,得9a-6a 1一9十3m十#=0 得 解得/m=2, 3.解：(1)”一次函数=如十2的图象与 -3=0,.a H3. n■3. 反比例函数为=一 的图象相交于 =1. 答国 二次函数的解析式为y一一2+ 2 y=x+2x-3.y=(x+1)-4 2x十3. A(a,-2a),B(4,一2)两点. .D(-1,-4). 广东中考你在行 -2=4k+2, 将D(一1，-4)代人y=r一3，得=1. 1.B2.C3.A k=-1,y=-x+2, .直线DC的解析式是y=x一3： 4.y=2r2+4x5.C6.B 代人A(a,-2a)得，-2a=-a+2, (2)如答图，过点D作DE⊥y轴于点E, 7.解：(1)抛物线y=++c的顶点为 解得：=一2， 期E(0,-4),又B(-3,0),C(0,一3)， C,与x轴交于A,B两点，A(1,0),AB .a的值为一2，的值为-1： D-1,-4), =4 (2)不等式kx十2十 Sam=Satrom一Sa-Sar= B(-3,0). 1十6什=0，解 8<0的解集为一2 立X(1+3)×4- 1 9-3b十=0， 2 ×3×3- ×1x1 2 b=2, <r<0或x>4: 得 =3. c=-3, (3)如答图，AB与y 第6讲二次函数的图象与性质 .抛物线的解析式为y=十2r一3： 轴交于点C,由直线 考点知识梳理 (2)如答图，过点Q作QE⊥x轴于点E, 3头=一x十2可知 1.D 过点C作CF⊥r轴于点F, C(0,2), 2.(1)(x-1)-2 设P(m,0),则PA=1一m, (2)向上x=1(1,-2)(3)≥1≤1 :y=+2x-3=(x+1)°-4， 敬学参考答案 .C(-1,-4), ÷80=128a=1.6, 答：y关于x的解析式为y=一2+ ∴CF=4, P F 280x一8000(50≤x≤65)，且最大利润 :PQ∥BC. 实际意义：当面条的横截面积为1.6mm 为1750元. .△PQA△BCA. 时，面条长度为80m 创新考法 器-福9 三.1.y=-2.x2+400.r-16800 4 2.解：(1)炮弹飞行的水平距离是12百米 解：(1)设方关于p的函数解析式为h= p =1一m 时，达到最大高度是2.88百米， 把p=1,h=20代入解析式，得k=1×20 ,设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为 =20. QE=1-m:SON=SARA-SAN y=a(x-12)+2.88, ∴h关于p的函数解析式为=20：(2)把 -PA.CF-TPA.QE-2(1-m) 代人(0,0)得144a十2.88=0， p a=-0.02..y=-0.02(x-12)7+ A=25代人4-29，得25-20，解得p- ×4-1-m1-m)=-(m+1D0 2.88: 0.8, +2, (2),山丘M顶部距炮口的水平距离为 8百米， 答：该液体的密度p为0.8gcm. :-3≤m≤1，.当m=一1时，Se有 最大值2。 .当x=8时.y=2.56>2.3, 第8讲二次函数综合题 ,,炮弹能够越过山丘： 考点知识梳理 ∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点 (3)令y=-0.02(x-12)+2.88=0,得 1.解：(1)：点A(一1,0)关于对称轴的对 坐标为（一1,0） r=0或x=24, 称点为点B,对称轴为直线x=1, 8解：令2+5，一75-0，解得 点B为(3,0)： 8 ,,炮弹落在距离炮口24百米的地方， 1.=-7..A(1,0),B(-7,0) :炮弹的最大杀伤半径为2百米，山丘 (2)当x=0时，y=3, C(0,3),连接BC,如答图1， 由y+3-75=x+3 M顶部距抛口的水平距离为8百米， B(3,0),BC 4 8 ∴为使射击有效，目标物设置在距山丘 √3+3 -25,得D(-3,-2). 顶部水平距离d应满是24一2一8≤d≤ 创新考法 24十2-8. 32, 240 .14≤ds18. 点A关于对称4 第7讲 函数的实际应用 广东中考你在行 轴的对称点为点 1.4 B..PA+PC= 答图1 考点知识梳理 2.解：(1)把x=2,y=19代人y=kx十15 PB+PC≥BC, 一，1.A 中，得19=2k+15, ∴当P,B,C三点共线时，PA+PC的值 2.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y 解得=2，所以y与x的函数关系式为 最小，为BC的长， =kr十b(k≠0) y=2r+15: 设直线BC的解析式为y=kx十，则 将(1.110)，(3,130)代人y=kx+b得 110=十：解得 (2)把y=20代人y=2x+15中，得20= n=3, k=10, 2x+15,解得x=2.5,所挂物体的质量 3k十n=0 解得/一3， 130=3k+6. k=-1: b=100 为2.5kg ,y=一x十3，，点P在抛物线的对称轴 y与r之间的函数关系式为y= 3.解：(1)设猪肉棕每盒进价a元，则豆沙 上∴P(1.2) 10r+100: 粽每盒进价(a一10)元. ∴点P(1,2),PA+PC的最小值为 (2)根据题意得：(60一x一40)(10x+ 100)■1760，整理得x一10x-24=0, 则800-990解得a=40,经检壁a 32: a 解得=12.x:=一2（不符合题意， (3)过点M作MN =40是方程的解。 舍去)， ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进 ⊥x轴，垂足为N, ,.60-x=60-12=18(元). 连接BC交MN于 价30元. 答：这种排球每个的实际售价是48元 答：猪肉棕每盒进价40元，豆沙棕每盒 点Q,如答图2 二，1.0.6 进价30元. 所示， A(-1,0),B(3, 2,解：(1)设y与x之间的函数解析式为 (2)由题意得，当x=0时.每天可售 答困2 y=(>0. 100盒， 0》: 当猪肉棕每盒售x元时，每天可售[100 设抛物线的解析式为y■a(:十1)（工 将4,32)代人可得：32=。 一2(x一50)]盒，每盒的利涧为(xr一40) 3),,C(0.3),3=-344=-1, .y=(.r-40)·[100-2(.x-50)]= ∴.y=-(r+1(x-3)=-r2+2x+3. .k=4×32=128. 设M(m,一m+2m十3)，则N(m,0).由 ·y与下之间的函数解析式为 2x+280.x-8000 配方得y=一2(x一70)2十1800，当x= (2)知.直线BC:y=-r+3, y=12sx>0: 65时，y取最大值为1750元. .Q(m,一m+3), y=-27+280x-8000(30≤x≤ .MQ=一m+2m+3+m-3= (2)将(a.80)代人y=128 65).最大利洞为1750元， -m+3m. 9