第5讲 反比例函数与几何图形结合-【中考宝典】2024年中考数学(广东专用版)

第二部分 知识梳理 第5讲 反比例函数与几何图形结合 命题分折 广东近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 反比例函数与三角形、 四边形面积问题 题24(2)，3分 反比例函数与儿何 题24(3)，5分 图形综合问题 1,结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数 新课标要求 的解析式 2.能用反比例函数解决简单的实际问题 考点知因梳理 考点☑反比例函数与三角形、四边形面积问题 球核心笔记 【跟踪训练】 面积求法： (1)公式法：(2)割补法 L.如图是反比例函数y=的图象，点A(x,y是反 4(r.y) 特别提醒：底和高通常选择“横 比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴 的或竖的“线，这样容易通过点的 于点B,连接OA,则△AOB的面积是( ) 坐标来表示长度 A.1 B.2 C.2 D. 3 2 考点2反比例函数与几何图形综合问题 核心笔记 【跟踪训练】 1.找点构成等腰三角形、直角三角 2.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A,B 形、平行四边形等问题. 2.找点构成三角形全等、相似 分别在反比例函数y-上（x>0)与y=一5 问题， 3.求点的坐标。 (x<0)的图象上，则tan∠BAO的值为 特别提醒：这类题往往要分类 3.(2023春·雁峰区期末)如图，等腰直角△ABC的 讨论 顶点A坐标为（一4,0），直角顶点B坐标为(0,1)， 反比例函数y=k(x<O)的图象经过点C,则k 087《e 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 例 讲 考点口反比例函数与三角形面积问题 例1.(2023·锦州)如图，在平面直角坐标系中， 变L.(2022秋·广东梅州校考阶段练习)如图，在 △AOC的边OA在y轴上，点C 平面直角坐标系中，A(0,2),B(3,0),点C在第 在第一象限内，点B为AC的中 象限内，且CB⊥x轴，AC=AB,反 点，反比例函数y=(x>O)的 2 比例函数y=(k>O)的图象交 图象经过B,C两点.若△AOC的面积是6，则kAC于点D,交BC于点E,若点D 的值为 是AC的中点，则△CDE的面积是 5 A.4 B.3 c D. 15 8 考点2反比例函数与四边形面积问题 常考题型：1.根据图形面积求比例系数（解析式）：2.已知比例系数求特殊图形的面积. 例2.(2023秋·广东广州校考期末)如图，直线变2.如图，直线y=一x与反比例 y=一x十2与x轴，y轴分别相交于A,B两点， 函数y=一 的图象相交于A,B 过A,B两点作矩形ABCD,AB=2AD,曲线y= 两点，过A、B两点分别作y轴的垂 在第一象限经过C,D两点， 线，垂足分别为点C、D,连接AD,BC,则四边形 则为的值是 ACBD的面积为 ( A.3 B.6 A.4 B.8 C.12 D.24 C.8 D.24 考点③反比例函数与几何图形综合问题 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2022·西宁)如图，正比例函数y=4x与 解：)”正比剑福载y=4x与反比例西数y= (r>0)的图章 反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(a,4), 交于点A(a,4): ,4=4a,.=1,A(1,4),………2分 点B在反比例函数图象上，连接AB,过点B作 六k=4X1=4,六反比例画数的解析式为y=4 4……4分 BC⊥x轴于点C(2,0). (1)求反比例函数的解析式： (2)当=2时y==2 (2)点D在第一象限，且以A,B,C, 2,2),BC=2.…6分 D为顶点的四边形是平行四边 ,点D在第一豪限，以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形， 形，请直接写出点D的坐标. AD∥BC,AD=BC=2,BC⊥r轴， D的坐标为(1,2)或(1,6)。…“…·8分 解： 满分：8分 实得： ●88● 第二部分 知识梳理 例3.(2023·商水县一模)如图，在平面直角坐标变3.(2023仪征市期末)如图，一次函数y1= 系0中，直线AB与反比例函数y一冬的图象 kx十b与反比例函数y:=”(x>0)的图象交于 交于点A(1,m),B( -3,-2), A(1,4),B(2,2)两点 (1)分别求出该一次函数和反比 (1)求反比例函数的解析式： 例函数的解析式： (2)求△AOB的面积. (2)取AB的中点E,连接OE,则 △OEC是等腰三角形吗？如 是，请证明：如不是，请说明理由. 089《e 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 心考点讲练 (一)基础过关 【建议用时：10分钟正确率：/6】 考点口反比例函数与三角形、四边形面积问题 1.(2023·泉州期末)如图，点A在反比例函数y=(x<0)的图象上，AB⊥x轴于点B,C是OB的 中点，连接AO,AC,若△AOC的面积为3，则k的值为 A.12 B.-12 C.6 D.-6 C O (第1题图) (第2题图) 2.(2023·商水县一模)正方形ABCD的顶点A,B分别在x轴和y轴上，点C在反比例函数y= 2(x>O)的图象上，点D在第二象限内，若A0=3B0,则正方形ABCD的边长为 () A.√10 B.3 C.7 D.5 考点②反比例函数与几何图形综合问题 3.(2023·重庆期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E,顶点A在 第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象同时经过顶点C,D,若点 C的横坐标为6，BE=2DE,则k的值为 () A号 R号 C. D.18 (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.(2023·丽水期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,B分别在x轴、y轴上，对 角线交于点E反比例函数y=（x>0)的图象经过点D,E.若E点坐标为(4,4)，则B点坐标为 5.(2023·新昌县模拟)如图，在Rt△ABC中，AB=CB,直角顶点B在y轴上，边AB交x轴于点 D是0点C的坐标为（一4,0），反比例函数)y一（≠0)的图象过点A.则k的值是· ●90● 第二部分知识梳理 6.(2023·薛城区二模)如图，一次函数y=ax十b与反比例函数y=”m(x<0)的图象交于A(-2,4), B(一4,2)两点，且与x轴和y轴分别交于点C,点D. (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)根据图象直接写出不等式"”>ax十b的解集； (3)若点P在y轴上，且Sm=2Sam,请求出点P的坐标。 (二)能九提升 【建议用时：10分钟 正确率：/6】 1.(2022·牡丹江)如图，等边三角形OAB,点B在x轴正半轴上，S△a=4√3，若反比例函数y= (k≠0)图象的一支经过点A,则k的值是 A.3/3 B.23 D.43 2 C.3/3 4 =(r<0) (0 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.(2022·郴州)如图，在反比例函数y=2(>0)的图象上任取一点A,过点A作y轴的垂线交反比 例函数y=-8(x<0)的图象于点B,连接OA.OB,则△AOB的面积是 () A.3 B.5 C.6 D.10 3.(2023·大庆模拟)反比例函数y=冬在第二象限的图象如图所示，过函数图象上一点P作PA1 7 x轴交x轴于点A,已知△PAO的面积为3，则k的值为 e》91《o 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 4.(2023·鹿城区校级三模)如图，菱形OABC的边OC在y轴上，点B在第一象限，y: 且∠B=60°，将这个菱形向右平移2个单位得到菱形A'B'C‘(点A'和A对应). 若反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点A',B,则k的值为 5.(2023·贵州模拟)如图，已知点A,B为反比例函数y=4图象上两点，连接AB, 线段AB经过原点O,点C为反比例函数y=(k<0)在第四象限内图象上一点， 当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且器-时，的值为 6.(2022·盘锦)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B 的坐标是（一4,8），反比例函数y=(x<0)的图象经过点C. (1)求反比例函数的解析式： )点D在边C0上，且光-子，过点D作DE/x轴，交反比例函数的图象手 点E,求点E的坐标. ● 东中考你在行 1.(2020·广东)如图，点B是反比例函数y=8(x>0)图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为点A,C.反比例函数y=(x>O)的图象 G 经过OB的中点M,与AB,BC分别交于点D,E.连接DE并延长交x轴 ●92● 第二部分知识梳理 于点F,点G与点O关于点C对称，连接BF,BG (1)填空：k=: (2)求△BDF的面积： (3)求证：四边形BDFG为平行四边形， 创新考击 ● 【新考法】定义运算：mina,b,当a≥b时，mina,b=b:当a<b时，mina,b=a.例如：min一1,3= -1:min-1,-2=-2. 完成下列任务 (1)①min(-3)",2=:②min-、14.-4=_ (2)如图，已知反比例函数y=和一次函数y=一2x十b的图象交于A,B两点. 当 -2<r<0时，min会，-2z+6=(c+1一3)-云.求这两个函数的解析式。 康总结反思： 面请完成精练本第23一24页习题 ●93《e新课标中考宝典·数学（广东专用版】 例3：解：(1)：一次函数y=一r十m与反 ∴k=一1×4=一4，反比例函数的解 :一次函数y=k,十力的图象过点A,点 比例函数为-相交于点A和点B 析式为的=一4 一k+b=4, B... 4k,+b=-1, 解得k=一1.b=3. (3,-1), (2)r的取值范围为一1<r<0: ·一次函数的解析 ÷-1=-3+m,-1=夸 (3)由于直线PA⊥AB,可设直线PA的 式为y=-x+3,反 解得m=2,k=一3， 关系式为=登+6， 比例函数的解析式 “反比例函数的解析式为为=一是 把点A(-1,)代人得4=一+6，解得 为y=-生 (3)如答图，设直线 y=-r+2, (2)解方程组 AB与y轴的交点为C, y- 3 直线以的关系式为y一号+号，当 1 3 x=一1‘或 C0.3)5=zX3X1=2· r=3, v=3 y=-1 =0时，x=一9，.点P的坐标为（一9,0）. Sw=S6r十Samn=2 ×3×1十 .A(-1,3). 2.解：(1)点A(m,4)在反比例函数y= 观察图象可得，当>为时，的取值 的图象上，4-品m=A ×3x4= 范围为<一1或0<r3. 4), S么p1S4ae=12, 变3：解：把Am,2代人=立+得： 义点A(1,4), zm=2,解得m=4,A(4,2. 1 C(0.3)都在一次 函数y=k:r+十6 无A4,2代人为=点>0)得： 的图象上， (k十b=4 ×31 2,解得k=8, ,解 1b=3 w=导 六反比例函数的解析式为为=8 :点P在线段AB上， 核心考点讲练 (一)基础过关 一次函数的解析式为y=十3： 1.A2.B3.A4.A5.4 (2)对于y=x+3,当y=0时，x=-3, 号子 6.解：(1)在y=x+2中，令x=0得y=2. ∴.0B=3, 创新考法 令y=0得r=-2,∴A(0,2).B(-2. C(0,3),∴0C=3, 0), 如答图，过点A作AH⊥y轴于点H,过 105 :AB=号BC.A为BC的中点，C 点P作PD⊥x轴于点D, 第5讲反比例函数与几何图形结合 :Se=25md0B·PD=2X 考点知识梳理 2,,把C2.0代人y-亭得4-台 1.B2.53.-5 解得k=8:,k的值为8： 20C:AH.即号×3XPD=2×空× 例题精讲 例1：4变1：D y=x+2, 3×1, 例2：A变2：C (2)由 8得： 解得PD=2,.点P的纵坐标为2或 y-x 例3：解：(1)将点A,B坐标代人反比例 -2, 或/一4， m=k. r=2. 1y=4,y=-2. 将y=2或-2代人y=生得r=2或 函数y=飞 -2= k一，解 D(-4.-2)Saue =Sam+Soao 2,点P(2,2)或(-2，-2) 一3 -2×2×2+2×2×4=2+4=6 广东中考你在行 k=3, 得 1.解：P1,m)为反比例函数y=手图象 m=3. △CD)的而积是6. (二)能力提升 1.解：(1)一次函数y=一2+2的图象 上一点代人得加-子-4m=4 反比例函数的解析式为y子 (2)由(1)得：A点坐标为(1,3)，B点坐标为 与y轴，x轴分别交于点C,点D, 2解：由图象可得为十>卓的：的取 点C(0,2),点D(1,0),OE=4. （,2 OCCE-2. 值范围是x<一1或0<r<4: 设直线AB的解析式为y=kx十b: :∠AEC=∠DC=90',∠ACE= (②)：反比例函数y=的图象过点A 3=k十b, ∠DO,'.△AE≌△DOC(ASA). -2-g6+. .解得6=2 (-1.4).B(4.n), 1b=1. AE=OD=1.点A(-1,4) k=一1×4=一4，k=4,.n=一1 直线AB的解析式为y=2x+1, “点A在反比例函数=冬的图象上， B4,-1), 如答图，设一次函数与”轴的交点 6 数学参考答案 为D. -2a十b=4, 得 ?DE∥x轴一点E的纵坐标为号. 令y=0,0=2x+1. -4a+b=2, 得公 解得=一 1 .一次函数的解析式为y=x十6. 号=一号解得=-7 .点D的坐标 (2)观察图象可知，”>：+6的解集为 “点E的坐标为(-7，号) 为(-号0)小 -2<r<0或x<-4: 广东中考你在行 答图 (3)在y=x十6中，当y=0时，x=一6， 0D=安 1.(1)2 C(-6,0). (2)解：如答图1，过点D作DP⊥x轴于 Sw=S4m十SD= 1 2 1×3+ .Sm-S-Smcx( 点P, )-含×6×2-6.5aw- 1 由题意得.Snr=AB·AO=表=8， 4 SeMm=AD·AO=表=2， 变3：解：(1)把(1,4)和(2,2)分别代入 6=3. k+h=4, =kx+b可得 解 :点P在y轴上心20PX1ra=3, 12k+b=2. ∴0P=3..P(0,3)或(0，-3). S-BD·A0-号AB·A0=3 (二)能力提升 (3)证明：如答图2，连接OE, ∴为=-2x+6. 1.D2B3.-64后5-号 把(2,2)代入为 6.解：(1)根据题意，过点B作BF⊥y轴于 -可得受-2 点F,如答图： :四边形(OABC是菱形，设点A为(0， 解得m=4, G m).OA=BC=AB CF :点B为(-4,8)， 答图2 O FC 由题意得Sr■ (2)△OEC是等 答图 .BF=4,AF=8-m. C.CE-1.5 腰三角形. 在直角 △ABF中，由 =0ccB=4 =，即CE 证明：A(1,4),B(2,2),点E为AB 的中点， 勾股定理，则 AB=BF+ 青BE, E(受3) AF,即m= 过点E作CF⊥OC于F,如答图 4+(8- '∠DEB=∠CEF,∠DBE=∠FCE, m)严，解得m 答图 0F=是EF=3, ÷△DEB△FEC.CF=专BD, =5, OC=GC.AB=OC. 0E-√2)+3-3， .OA-BC-AB-5. 2 点C的坐标为（一4.3）， :.FG-AB-CF-BD-BD-BD. 把y=0代人M=-2x+6可得一2x十 把点C代人y=得k=一4×3=-12. :AB∥(OG,.BD∥FG. 6=0,r=3 ∴四边形BDFG为平行四边形. .C(3.0).(C=3. 六反比例函数的解析式为y=二1巴 创新考法 CF=00-0F=3-是- 2 (1)1-4 (0): 解：(2)由函数图象可知当一2<r<0时， ∴CE=VEF+CF=√3+()】 (2)作DG⊥r轴.CH⊥x轴，垂足分别为 点G,点H,如答图， 2+6<是 36 2· .min ,-2r+b =-2x+b. .OE=CE,∴△OC是等腰三角形. .DG∥CH. 核心考点讲练 ∴.△ODG∽△OCH. 又min ,-2x+b=(x+1)(r-3) (一)基础过关 1.B2.A3.C4.(0,6)5.3 滑滑黑 -2.x+b=(x+1)(x-3)-2, 6,解：(1)将A(-2,4)代入y=四(r<0) :点C的坐标为（一4,3） b=一3，“.一次函数的解析式为为 一2a-3,当x=一2时，为=1， 得4=2m=一8心反比例函数的 0H=4,cH=3- 解析式为=一兰。 0G=9,DG=号. A(-2,1),将A(-2,1)代人为=得大 =一2×1=一2， 将A(-2,4),B(-4.2)代入y=ux+b ∴点D的纵坐标为号， “反比例函数的解析式为=一子 -7