第3讲 一元二次方程-【中考宝典】2024年中考数学(广东专用版)

新课标中考宝典·数学（广东专用版） 第3讲一元二次方程 命题分折 广东近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 元二次方程及其解法 题22(2)，4分 题14,3分 一元二次方程根与 系数的关系 题9,3分 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解 的意义，经历估计方程解的过程 2.掌握等式的基本性质 新课标要求 3.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 4.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 5.了解一元二次方程的根与系数的关系 6.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 点 知 识 理 考点口一元二次方程及其解法 核心笔记 【跟踪训练】 1.一元二次方程的定义 1.(2023·武进区校级模拟)在下列方程中，属于一元二次方程的是 只含有一个未知数，并且未知数 ( 的最高次数是2的方程叫一元 二次方程. A.-3= B.x2+y=4 2.一元二次方程的一般形式是： a.x2十bx十c=0(a,b,c是常数， c是-1=0 D.x(1-2x2)=5x a≠0). 2.(2023·东莞市校级一模)一元二次方程5x2-2x+2=0的 3.常用解法 次项系数是 (1)直接开平方法：形如x2=p A.5 B.-2 C.2 D.0 或(m.x十n)产=p(p≥0)： (2)配方法：形如(x十n)2=p: 3.(2023·停州模拟)用配方法解方程x2十8.x十7=0，则配方正确 (3)公式法：形如a.x2+b.x+c 的是 ( 0(a≠0)， A.(x+4)2=9 B.(x-4)2=9 求根公式是=一仕√一a C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57 2a (情-4ac≥0)： 4.(2023·新华区校级模拟)方程x2一5x=0的解是 (4)因式分解法：客易变形为形 A.x1=x2=0 B.x1=x2=5 如(x-a)(x一b)=0 C.x1=0,x2=-5 D.x1=0,xg=5 044。 第二部分 知识梳理 考点2一元二次方程根的判别式 w核心笔记 详【跟踪训练】 一元二次方程根的判别式：△= 5.(2023·长春模拟)方程x2一3.x一1=0的根的情况是( -4ac. A.没有实数根 B.有一个实数根 1.当△>0台原方程有两个不相等 的实数根：2.当△=0曰原方程有 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 两个相等的实数根：3.当△<0台 6.(2023·西山区二模)关于x的一元二次方程x+2x一k=0有 原方程没有实数根 两个不相等的实数根，则k的取值范围是 特别提醒：△0一方程有实数根 A.k>-1 B.k≥-1 C.k≤1 D.k<1 考点固一元二次方程根与系数的关系 审核心笔记 【跟踪训练】 若一元二次方程a.x2十bx十c=0 7.已知x1x:是一元二次方程x2+4x十3=0的两根，则x1十x2十 (a≠0，一4ac≥0)的两根分别 21x2的值为 ( 为西和西，则：十=一 b A.-2 B.-1 C.1 D.2 :=c a 8.已知关于x的方程x2+px十q=0的两根为-3和2，则g的值为 ( A.-6 B.- D.6 考点☑一元二次方程的实际应用 审核心笔记 球【跟踪训练】 1.列一元二次方程解应用题的“六 9.(2023·博乐市校级二模)日前以5G等为代表的战略性新兴产 字诀”一审、设、列、解、验、答 业蓬勃发展.某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年 2.主要题型： (1)变化率问题 底全市5G用户数达到9.68万户.设全市5G用户数年平均增 设a为原来的量，n为增长次数， 长率为x,则可列方程为 ( b为增长后的量，当x为平均增 A.2(1+2x)=9.68 B.2(1十x)=9.68 长率时，则a(1十x)"=b:当x为 C.2(1+x2)=9.68 D.2(1+x)=9.68 平均下降率时，则a(1一x)"=b. (2)利润问题 10.(2023·鸡西二模)一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全 单件利润一售价一成本：总利润 组共送贺卡90张，则这个小组共有 ( 单件利润X销售量。 A.9人 B.10人 C.12人 D.15人 (3)循环问题 ①n(n>1)个人授手，单循环赛 总次数：n(n-1) 2 :②n(n>1)个 人互送礼物总份数：n(n一1) (4)面积问题 S和=长X宽：S6 ×底×高 ●45 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 例题销讲 考点口一元二次方程的根 例1.(2023·浦江县模拟)一元二次方程x一4x十变1.(2023·莲池区二模)已知一元二次方程的 3=0的解是 )两根分别为x1=3,=一4；则这个方程为( A.x1=3,x1=1 B.x1=-3,x2=1 A.(x-3)(x+4)=0 B.(x+3)(x-4)=0 C.x1=3,x2=-1 D.x1=-3,x2=-1 C.(x+3)(x+4)=0 D.(x-3)(x-4)=0 考点②一元二次方程根的判别式 常考题型：1，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况；2.利用根的判别式求字母的值或取值范围， 例2.(2023·广东模拟)关于一元二次方程x2+变2.(2023·宜阳县三模)若关于x的方程2x2十 2x十1=0根的情况，下列说法中正确的是( 4x十c=0没有实数根，则c的值可能为( A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根A.0 B.1 C.2 D.3 C.没有实数根 D.无法确定 奢点3一元二次方程及其解法 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2023·齐齐哈尔)解方程：x一3.x十 解：x2-3.x十2=0， 2=0. .(x-1)(x-2)=0, 2分 解： x一1=0或x一2=0，…4分 x1=1,x2=2.……5分 满分：5分 实得： 例3.(1)当m的值为多少时，关于x的方程(m一 变3.(2023·新华区校级模拟)下面是小明解一元 1)x2十2.x一6=0是一元一次方程： 二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务 (2)解一元二次方程x3十2x-6=0. 解：2.x2+4x-8=0. 二次系数化为1，得x2十2x一4=0，…第一步 移项，得x2十2x=4,…第二步 配方，得x2+2x十4=4十4，即(x十2)=8，…第三步 由此，可得x十2=士2√2，…第四步 所以=-2十2√2，x=一2-22.…第五步 (1)小明同学解题过程中，从第 步开始出 现错误： (2)请给出正确的解题过程， 046《 第二部分知识梳理 核©考点讲练 (一)基础过关 【建议用时：5分钟正确率：/8】 考点①一元二次方程及其解法 1.(2023·河东区校级模拟)若关于x的方程(a一1)x十a.x一1=0是一元二次方程，则a的取值范围 是 A.a≠1 B.a=1 C.a≥1 D.a≠0 2.(2023·长沙县三模)若x=1是一元二次方程2.x2-4x十k=0的根，则k的值为 考点2一元二次方程根的判别式 3.(2023·吉林)一元二次方程x2-5.x十2=0根的判别式的值是 A.33 B.23 C.17 D.√17 4.(2023·商丘四模)已知关于x的一元二次方程x十bx十1=0有两个不相等的实数根，则在下列选 项中，b的值可以是 () A.b=-1 B.b=-2 C.b=-3 D.b=0 考点③一元二次方程根与系数的关系 5.(2023·泰州)关于x的一元二次方程x2+2.x一1=0的两根之和为 6.(2023·菏泽)一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1x2,则】+1的值为 1 T? A. B.-3 C.3 D- 考点④一元二次方程的应用 7.(2023·郑城县一模)某网店在“双11”促销活动中对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠 活动（即两次打折数相同），优惠后实际仅售320元，设该店打x折，则可列方程 ( A.500(1-2.x)=320 &50( =320 c.5001-) =320 D.500(1-x)=320 8.(2023·黑龙江模拟)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果 每天要盈利800元，每件应降价 () A.12元 B.10元 C.11元 D.9元 (二)能力提升 【建议用时：5分钟 正确率：/6】 1.(2023·大同校联考模拟)将方程2x2一12x十1=0配方成(x一m)=n的形式，下列配方结果正确 的是 A.(x十3)=17 B.(x+3)=17 2 C.(x-3)=17 nc-3-号 ●470 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 2.(2023·西山区校级模拟)已知关于x的一元二次方程x2一2.x+m+2=0有实数根，则一次函数 y=x十m的图象一定不经过 () A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.(2023·林州市模拟)已知等腰△ABC的边是方程x一7x十10=0的根，则△ABC的周长为() A.9 B.9或12 C.6或15 D.6或12或15 4.(2023·岳阳)已知关于x的一元二次方程x2十2m.x十m2一m十2=0有两个不相等的实数根，且c1 十x2十x1x2=2,则实数n= 5.(2023·郴州)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游 客人数为2.5万人. (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率： (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率，已知该 景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是 多少万人？ 6.(2023·东营)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊 圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）. (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. BE F ●48《 第二部分 知识梳理 广东中考你在行 1.(2022·广东)若x=1是方程x2一2x+a=0的根，则a= 2.(2020·广东)已知关于x,y的方程组 ax+23y=-103与T-y=2 的解相同 x+y=4 x+by=15 (1)求a,b的值： (2)若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2十x十b=0的解，试判 断该三角形的形状，并说明理由. 3.(2019·广东)已知x1,x2是一元二次方程x一2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（) A,x1≠x B.x12-2.x1=0 C.xi十x2=2 D.x1·x2=2 ● 创新考 【教材拓展】我们知道，一元二次方程x=一1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于一1，如果我 们规定一个新数“”使它满足=一1（即x2=一1有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新 数“”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：'=i,=一1，产=产·i=一i,i' ()”=1,…那么平23= 总结反思： 请完成精练本第10一11页习题 49数学参考答案 例题精讲 广东中考你在行 解得0=25%，0= 例1：x=4变1：一1 1.解：设乙同学骑自行车的速度为x千 号（不合随意合去， 例2：B变2：D 米分钟，测甲同学骑自行车的速度为 答：这两个月中该景区游客人数的月平 例3：解片 1,2r千米分钟， 均增长率为25%， 方程两边同乘x(x一1)得2x=x一1， 根据题意得 12 (2)设5月份后10天日均接待游客人数 1.2r =10,解得x= 是a万人， 移项解得x=一I, 0.2,经检验，x=0.2是原方程的解，且 由题意可得2.125+10a≤2.5(1+ 将x=-1代人r(x-1)≠0， 符合题意. 25%),解得a≤0.1. x=一1是原分式方程的解。 答：乙同学骑自行车的速度为0.2千 答：5月份后10天日均接待游客人数最 变3：解：去分母得，x(r一1)=2， 米分钟， 多是0.1万人. 去括号得72-x=2. 2,解：设每个B类摊位占地面积为x平方 6.解：(1)设矩形ABCD的边AB=rm,则 移项得，x2一x一2=0， 米，测每个A类摊位占地面积为(r+2) 边BC-70-2r+2-(72-2r)m. .(x-2)(x+1)=0, 平方米. 根据题意，得r(72一2x)=640. x=2或x=一1. 化简.得r2-36x十320=0，解得x 将下=2代人原方程，原方程左右 则929·号解得=3： 16,x1=20, 相等， 经检验，=3是原方程的解且符合题 当x=16时，72-2x=72-32=40: ∴.x=2是原方程的解： 意，.x十2=5（平方米）. 当r=20时，72-2.r=72-40=32. 将x=一1代人，使分母为0. 答：每个A,B类雄位占地面积各为5平 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长 x=一1是原方程的增根， 方米和3平方米 为32m,宽为20m时，能围成一个面积 ,原方程的解为x=2. 创新考法 为640m的羊图： 核心考点讲练 (2)答：不能， (一)基础过关 第3讲 一元二次方程 理由：由题意，得x(72一2r)=650, 1.B2.B3.C4.C 考点知识梳理 化简，得-36.x+325=0, 5.解：由题意得最简公分母为2(x一1)， 1.A2.B3.A4.D5.D6.A7.D △=(-36)-4×325=-4<0. ,原方程可化为2+2r-2=3, 8.A9.D10.B ·一元二次方程设有实数根. 例题精讲 ∴.羊圈的面积不能达到650m, 例1：A变1：A 广东中考你在行 检验：把x=2代入2x-1)=1≠0，且 例2：B变2：D 1.1 例3：解：(1)1： 原方程左边=右边. 2.解：(1)由题意得，关于r,y的方程组的 (2).x+2.x-6=0, “原方程的解为一是 x+2x=6, 相同解，就是方程组 x+y=4, 的解， r-y=2 6,解：设每台A型机器每天搬运货物r吨· +2x+1=7, 则每台B型机器每天撒运货物(x+ (x十1)=7， 解得/=3 代人原方程组得a=一4√， y=1 10)吨， x+1=±7， b=12: 由题意得-06新得=0.当 所以r=一1+/7，x=一1一/行 (2)当a=一43.b=12时，关于x的方 变3：(1)三 r=90时，x(x十10)≠0， 解：(2)2x2+4x-8=0. 程x十ax十b=0就变为x一43x+ .x=90是分式方程的根，.r十10 .x2+2x-4=0, 12=0, 90十10=100. 2+2r=4, 解得1=1=25， 答：每台A型机器每天搬运货物90吨， .r+2x+1=4+1, 又，(23)+(23)=(26)， 每台B型机器每天搬运货物100吨. .即(x十1)1=5， ∴以25,25,2后为边的三角形是等 (二)能力提升 .r+1=±5 腰直角三角形. 1.D2.A3.D4.x=4 所以=一1+5，=一1一5. 3.D 5,解：设第一批足球单价为x元，则第二批 核心考点讲练 创新考法 足球的单价为(x一2)元， (一)基础过关 由题意得800×2=1560， r-2· 1.A2.23.C4.C5.-26.C 第4讲一元一次不等式（组） 解得x=80, 7.B8.B 考点知识梳理 经检验，x=80是原方程的解，且符合 (二)能力提升 1.B2.D3.B4.A5.D6.-3 题意， 1.D2.C3.D4.3 7.D8.B9.710.D 则-2=78,0+150=0， 5.解：(1)设这两个月中该景区游客人数的 例题精讲 月平均增长率为x, 例1：D变1：D 答：该学校两批共购买了30个足球， 由题意可得1.6(1+x)=2.5, 例2：B变2：A 3