精品解析：河南省郑州市金水区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期学情监测八年级 数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 中国传统纹样图案作为中国文化的符号，把东方美学演绎得淋漓尽致，请欣赏以下经典纹样设计，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 若分式的值为0，则的值为（ ）． A. 1 B. 0 C. 2 D. 3. 某古建筑屋顶房梁的一部分如图所示，其中，，，则跨度的长为（　　） A. B. C. 1 D. 4. 已知关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图，那么这个不等式可以是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 6. 下列判断错误是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C. 由 ，得 D. 由，得 7. 我们知道，正五边形无法密铺平面，即便正五边形与正十边形组合，也只能密铺平面的某个局部，无法延伸至整个平面，如图所示，缝隙的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 9. 如图，点O为平面直角坐标系原点，是等边三角形，点A在y轴上，点B和点C在x轴上，其中点B的坐标为，若以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转2024次后，点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式时，我们可以令，，在平面直角坐标系中分别画出函数．和函数 的图象，如图所示，观察图象可知当时，，即，所以原不等式的解集为．请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式的解集是，则下列选项中可能是一次函数图象的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 12. 某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少_______元． 13. 将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解__________． 14. 如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是_________． ①；②；③； ④的周长等于线段的长． 15. 如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第_______时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题（本题共7小题，共75分） 16. （1）解不等式组：； （2）利用因式分解计算： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 下面是同学们几种不同解法的部分运算过程： ①原式． ②原式 ③将被除式与除式位置颠倒，即化简并代入求值后，取结果的倒数． （1）以上解法中正确的是 ；（填序号即可） （2）①中运算的依据是 ； （3）请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程． 18. 求证：等腰三角形底边中线上的任意一点到两腰的距离相等． 已知：如图，中，，为边上中线，P是上任意一点，且 ． 求证： ． 证明： 19. 某校八年级组织“豫见青春，挺膺担当”大型诗歌朗诵会，需租借男生、女生两种汉服．已知租借一套女生汉服的价格比租借一套男生汉服的价格多元，用 元租借女生汉服的数量和用元租借男生汉服的数量相同． （1）租借一套女生汉服的价格是多少元? （2）商家推出了打折优惠活动：女生汉服以九折租售，男生汉服以八折租售．学校计划租借男女生汉服共套，且要求女生汉服数量不少于男生汉服数量的倍，请你帮助学校选择花费最少的租借方案． 20. 在中，点E、F、G、H分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）设对角线与的交点为，四边形对角线与的交点为，那么与是同一个点吗？请说明理由． 21. 分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 问题1．通过分析，你认为下面哪种说法才是分组分解的关键______；（只填序号）①分组后组内能提取公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间还能继续分解． 问题2．请你利用分组分解法分解因式： （1）； （2） 问题3．若a，b，c是的三边，当时，判断的形等腰三角的形状． 22. 如图，已知四边形是平行四边形，，，点P是对角线所在直线上的一个动点，将线段绕点C顺时针旋转得到，点P的对应点为点Q，连接和，直线和直线相交于点 M， （1）如图1，当点P是对角线的中点时，直线和直线所夹的锐角为______度； （2）如图2，当点P在的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的判断并说明理由； （3）点P在直线上运动的过程中，当为直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期学情监测八年级 数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 中国传统纹样图案作为中国文化符号，把东方美学演绎得淋漓尽致，请欣赏以下经典纹样设计，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选C． 2. 若分式的值为0，则的值为（ ）． A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据若分式的值为0，则分母不等于0，分子等于0求解即可． 【详解】依题意得：，所以． 故选：A 【点睛】本题考查的是分式值为0的条件，解题的关键在于熟悉概念与方法． 3. 某古建筑屋顶房梁的一部分如图所示，其中，，，则跨度的长为（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，然后利用等腰三角形三线合一性质求解即可． 【详解】∵，，， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 4. 已知关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图，那么这个不等式可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式得解集、解一元一次不等式，分别求出每个不等式的解集，比较即可得出答案． 【详解】解：A、解不等式得，故符合题意； B、解不等式得：，故不符合题意； C、解不等式得：，故不符合题意； D、解不等式得：，故不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：B． 6. 下列判断错误的是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C 由 ，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、不等式的性质等知识点，灵活运用不等式的相关性质成为解题的关键． 根据解不等式、不等式的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 由，移项得：，即该选项正确，不符合题意； B. 由，由不等式的性质可得，即该选项正确，不符合题意； C. 由 ，当时，，即该选项错误，符合题意； D. 由，得，即A该选项正确，不符合题意． 故选C． 7. 我们知道，正五边形无法密铺平面，即便正五边形与正十边形组合，也只能密铺平面的某个局部，无法延伸至整个平面，如图所示，缝隙的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），多边形内角与外角，熟练掌握平面镶嵌（密铺）的定义和多边形内角和公式是关键． 先求出正五边形的每个内角的度数，再结合密铺的条件即可求出答案． 【详解】解：正五边形每个内角是， ． 故选：D． 8. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、因式分解的方法等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 根据整式的加减运算、因式分解等知识点逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 甲：，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； B. 乙： ，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； C. 丙：，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； D. 丁：，不能进行因式分解，被淘汰，即该选项符合题意． 故选D． 9. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，是等边三角形，点A在y轴上，点B和点C在x轴上，其中点B的坐标为，若以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转2024次后，点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律，等边三角形的性质，勾股定理，能根据所给旋转方式发现每旋转六次，点的位置重复出现及熟知勾股定理是解题的关键． 根据所给旋转方式发现每旋转六次，点的位置重复出现，再结合是等边三角形及旋转的性质即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以每旋转六次，点的位置重复出现． 又因为余2， 所以旋转2024次后点的位置与旋转2次后点的位置相同． 如图所示， 过点作轴的垂线，垂足为， 是等边三角形，且点坐标为， ． 由旋转可知， ，， ， ． 在中， ， ． 点的坐标为． 则旋转2024次后点的坐标为． 故选：B ． 10. 数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式时，我们可以令，，在平面直角坐标系中分别画出函数．和函数 的图象，如图所示，观察图象可知当时，，即，所以原不等式的解集为．请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式的解集是，则下列选项中可能是一次函数图象的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是数形结合思想的应用． 求出直线过，可知当时，一次函数图象在直线的上方，观察图象可得答案． 【详解】解：当时，， 直线过， 不等式的解集是， 当时，一次函数图象在直线的上方， 观察各选项图象可知，符合条件的为， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 【解析】 【详解】解：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件， 那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 因此，“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”. 故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 12. 某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少_______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是：元， 当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是：元， 则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少：元， 故答案为：． 13. 将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，矩形和正方形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据图形可知，图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积，列式即可． 【详解】解：图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积， 即：， ∴根据图形写出一个多项式的因式分解为 故答案为：． 14. 如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是_________． ①；②；③； ④的周长等于线段的长． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 利用线段的垂直平分线的性质，直角三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，故①正确， 由作图可知垂直平分线段， ，故②正确， 由作图可知， ，故③正确， ，， ∴的周长，故④正确． 故答案为：①②③④． 15. 如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第_______时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形；点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形；画出图形进行解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 设运动时，有两种情况： 如图，点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得； 如图，点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得； 综上，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 三、解答题（本题共7小题，共75分） 16. （1）解不等式组：； （2）利用因式分解计算： ． 【答案】（1）；（2）10000 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用完全平方公式因式分解，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． （1）解各不等式后即可求得不等式组的解集； （2）利用完全平方公式因式分解计算即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则原不等式组的解集为； （2）原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 下面是同学们几种不同解法的部分运算过程： ①原式． ②原式 ③将被除式与除式位置颠倒，即化简并代入求值后，取结果的倒数． （1）以上解法中正确的是 ；（填序号即可） （2）①中运算的依据是 ； （3）请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）①③ （2）分式的基本性质 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值及倒数，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分式混合运算的法则即可作出判断； （2）根据分式的基本性质解答即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 ①③正确， 故答案：①③； 【小问2详解】 ①中运算依据是分式的基本性质， 故答案为：分式的基本性质； 【小问3详解】 选择①， 原式 ， 当时，原式． 18. 求证：等腰三角形底边中线上的任意一点到两腰的距离相等． 已知：如图，中，，为边上的中线，P是上任意一点，且 ． 求证： ． 证明： 【答案】于，于；；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质，熟记等腰三角形的三线合一是解题的关键． 根据题意写出已知、求证，利用定理证明，根据全等三角形的对应边相等证明即可． 【详解】解：已知：如图，中，，为边上的中线，是上任意一点，且于，于， 求证：． 证明：，为边上的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 19. 某校八年级组织“豫见青春，挺膺担当”大型诗歌朗诵会，需租借男生、女生两种汉服．已知租借一套女生汉服的价格比租借一套男生汉服的价格多元，用 元租借女生汉服的数量和用元租借男生汉服的数量相同． （1）租借一套女生汉服的价格是多少元? （2）商家推出了打折优惠活动：女生汉服以九折租售，男生汉服以八折租售．学校计划租借男女生汉服共套，且要求女生汉服的数量不少于男生汉服数量的倍，请你帮助学校选择花费最少的租借方案． 【答案】（1）元； （2）租借女生汉服套，男生汉服套，花费最少． 【解析】 【分析】（）设租借一套女生汉服的价格是元，根据题意列出分式方程即可求解； （）设租借女生汉服套，则租借男生汉服套，租借费用为元，求出与的一次函数解析式，再求出的取值范围，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设租借一套女生汉服的价格是元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：租借一套女生汉服的价格是元； 【小问2详解】 解：设租借女生汉服套，则租借男生汉服套，租借费用为元， 由（）可得，租借一套男生汉服的价格是元， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴的最小值为， 又∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值，此时， 答：租借女生汉服套，则租借男生汉服套，花费最少． 20. 在中，点E、F、G、H分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）设对角线与的交点为，四边形对角线与的交点为，那么与是同一个点吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形的判定，三角形中位线，全等三角形的性质和判定．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． （1）连接，根据三角形的中位线定理证明且，即可证明四边形 是平行四边形； （2）设与的交点为，证明四边形是平行四边形，得到与互相平分，即点O是和的公共中点，再证明点是的中点，点是的中点，从而得到与是同一个点，都是点O． 【小问1详解】 证明：连接， 点、、、分别是，，，的中点， 和分别是和的中位线， ∴且， ∴且， 四边形 是平行四边形； 【小问2详解】 解：与是同一个点， 理由如下：如图所示， 设与的交点为， ∵在中，点E、G、H分别是，，的中点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分，即点O是和公共中点． ∵对角线与的交点为，平行四边形对角线与的交点为， ∴点是的中点，点是的中点， ∴与是同一个点，都是点O． 21. 分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 问题1．通过分析，你认为下面哪种说法才是分组分解的关键______；（只填序号）①分组后组内能提取公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间还能继续分解． 问题2．请你利用分组分解法分解因式： （1）； （2） 问题3．若a，b，c是的三边，当时，判断的形等腰三角的形状． 【答案】问题1：③；问题2：（1）；（2）；问题3：等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解，提公因式法、平方差公式和完全平方公式是常用的因式分解法． 问题1：确定分组分解的关键步骤； 问题2：利用分组分解法进行因式分解； 问题3：利用分组分解法进行因式分解，再判定三角形的形状． 【详解】解：问题1：分组分解的目的是分组以后，继续因式分解，最后组与组之间还要因式分解， 故选③； 问题2：（1） ； （2） ； 问题3：， ， ， ， ，，是的三边， 不可能是0， ， ， ∴是等腰三角形． 22. 如图，已知四边形是平行四边形，，，点P是对角线所在直线上的一个动点，将线段绕点C顺时针旋转得到，点P的对应点为点Q，连接和，直线和直线相交于点 M， （1）如图1，当点P是对角线的中点时，直线和直线所夹的锐角为______度； （2）如图2，当点P在的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的判断并说明理由； （3）点P在直线上运动的过程中，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）60 （2）成立，理由见解析 （3）12或6 【解析】 【分析】（1）先证得和是等边三角形，可得，由点是对角线的中点，可得，，由旋转得，，推出，即点在边上，再证得，得出，根据三角形内角和定理即可求得答案； （2）同理可证得，得出，根据三角形内角和定理即可求得答案； （3）分三种情况：当点在的延长线上，时，当点在的延长线上，时，当点在线段上时，分别求得的长即可． 【小问1详解】 解：如图1， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 和是等边三角形， ， 由旋转得，， ，即点在边上， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 （1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故（1）中的结论仍然成立； 【小问3详解】 当点在的延长线上，时，如图3， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 当点在的延长线上，时，如图4， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； 当点在线段上时，如图5， 由（1）知， ， 是钝角三角形，不符合题意； 综上，当为直角三角形时，的长为12或6． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，运用分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$