第十讲 分段函数-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

9.画出下列函数的图象: (1)y=x2+2x-3; (2)y=|x2-2x-3|. 10.求把二次函数y=2x2-4x+1的图象关于 下列直线对称后所得到图象对应的函数解 析式: (1)直线x=-1; (2)直线y=1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第十讲❘ 分段函数 在初中,我们学习函数的概念以及一些特 殊的函数. 初中函数的概念:设在某种变化过程中,有 两个变量x,y,如果给定一个x的值,相应就确 定了一个y值,那么我们称y是x 的函数,其中 x是自变量,y是因变量. 1.某市推出电脑上网包月制,每月收取费用y (单位:元)与上网时间x(单位:小时)的函数 关系如图所示,其中BA 是线段,且BA∥x 轴,AC是射线. 第1题图 (1)当x≥30时,y与x 之间的函数解析式为 ; (2)若 小 李4月 份 上 网20小 时,他 应 付 元上网费用;则当0≤x≤30时,y 与x 之间的函数解析式为 ; (3)若小李5月份上网费用为75元,则他在 该月份的上网时间是 . 2.某医药研究所开发了一种新药,在实际验药时发 现,如果成人按规定剂量服用,那么每毫升血液 中含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化 情况如图所示,当成年人按规定剂量服药后. (1)服药后 h,血液中含药量最高, 达到每毫升 mg,接着逐步衰弱; (2)服 药 后5h,血 液 中 含 药 量 为 每 毫 升 mg; (3)当x≤2h,y 与x 之间的函数解析式是 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 042 (4)当x≥2时,y与x 之间的函数解析式是 ; (5)如果每毫升血液中含药量3mg或3mg 以上时,治疗疾病最有效,那么这个有效时间 是 h. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 从初中知识的回顾中,我们知道初中学习 的函数只有一个表达式(解析式).事实上,在高 中,我们还经常学习到另一类形式的函数——— 分段函数. 高中函数的概念:设集合A 是一个非空的 数集,对A 中的任意数x,按照确定的法则f, 都有确定的数y与它对应,这种对应关系叫做 集合A 上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其 中x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A) 叫做这个函数的定义域. 分段函数:在函数自变量的取值范围内,对 于自变量x的不同取值范围,有着不同的表达 式,这样的函数通常叫做分段函数. 例如y= x, x≥0, -x, x<0, y= x+1, x>1, 2, x≤1. 特别提示:(1)分段函数是一种重要的函 数,它不是几个函数,而是一个函数在不同范围 内的表示方法不同. (2)在解决分段函数的问题时,一定要根据 自变量的取值范围选择不同的表达式进行求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点1 画分段函数的图象 作出下列函数的图象: (1)y=|x-1|;(2)y= 1 x , 0<x<1, x, x≥1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 [针对训练1-1] 已知一个函数y=f(x)的自 变量x的取值范围是0≤x≤2,当0≤x≤1时, 表达式为y=x,当1<x≤2时,表达式为y=2 -x,试写出函数y=f(x)的表达式,并画出 图象. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 043 衔接点2 分段函数求值或范围 已知函数f(x)= x+2, x≤-10, x2, -1<x<2, 2x, x≥2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 若f(a)=3,求a的值. [针对训练2-1] 已知函数y= x-1,x≤1, x2, x>1. 当x=0,1,2时,求函数值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点3 分段函数的应用 如图所示,在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P,从点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周后,回到A 点.设点P 移动 的路程为x,△PAC的面积为y. (1)求函数y的解析式; (2)画出函数y的图象; (3)求函数y的取值范围. [针对训练3-1] 如图,在边长为4的正方形 ABCD 的边上有一动点P,沿着折线B→C→ D→A 运动.设点P 运动的路程为x,△APB 的面积为y,试求: (1)y与x 之间的函数关系式; (2)求面积最大值时,x的取值的范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 044 1.下列给出的函数是分段函数的是 ( ) (1)f(x)= x2+1, 1≤x≤5, 2x, x≤1. (2)f(x)= x+1, x∈R, x2, x≥2. (3)f(x)= 2x+3, 1≤x≤5, x2, x≤1. (4)f(x)= x2+3, x<0, x-1, x≥5. A.(1)(2) B.(1)(4) C.(2)(4) D.(3)(4) 2.已知函数f(x)= x2, x≥0, 2x,x<0, 则f(-3)的 值为 ( ) A.9 B.-9 C.6 D.-6 3.若[x]为不超过x 的最大整数,则函数y= [x]的图象与y=x交点个数为 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数 4.若 f(x)= x+1, x>0, π, x=0, 0, x<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则 f[f(-1)] = . 5.设f(x)= 1 2x-1 , x≥0, 1 x , -x<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 若f(a)> a,则实数a的取值范围是 . 6.已知函数f(x)= 0, x>0, π, x=0, π2+1,x<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 x=-1,0,1时, 求函数值. 7.写出下列函数的解析表达式. (1)设函数y=f(x),当x<0时,f(x)=0;当 x≥0时,f(x)=2. (2)设函数y=f(x),当x≤-1时,f(x)= x+1;当-1<x<1时,f(x)=0;当x≥1时, f(x)=x-1. 8.作出下列函数的图象: (1)y=|x-12| ; (2)y=|x+1|. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 045 9.求函数y=|x+1|+|x-2|的最小值. 10.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5km以内,票价2元; (2)5km以上,每增加5km,票价增加1元 (不足5km的按5km计算). 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1km,如果沿途(包括起点站和终点站)设 20个汽车站,请根据题意写出票价与里程 之间的函数解析式. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第十一讲❘ 一元二次不等式 在初中,我们已经掌握了一元一次不等式 (组)的解法,但高中阶段数学很多模块内容都要 用到一元二次不等式和分式不等式的知识,虽然 高中新课程数学必修5有系统学习,但是为了大 部分学生能顺利完成高中新课程各模块学习以 及少部分学生提前学习(数学竞赛等),很有必要 对一元二次不等式基本知识先作一个介绍. 一元一次不等式ax>b的解集: (1)当a>0时,不等式的解集为x>ba. (2)当a=0时,若b≥0,则不等式无解;若b< 0,则不等式的解集为全体实数. (3)当a<0时,不等式的解集为x<ba. 1.不等式组 x-2≤0 x+3>0 的解集是 ( ) A.-3<x≤2 B.-3≤x<2 C.x≥2 D.x<-3 2.下列不等式组中,无解的是 ( ) A. x+5>0 x-5>0 B. 3+x>0 x-2<0 C. 2x<0 1 3x>2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 D. 2(x-1)<0 -3x>5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 046 图象的顶点为A1(-3,-1),所以二次函数y=2x2- 4x+1的图象关于直线x=-1对称后所得到图象对 应的函数解析式为y=2(x+3)2-1,即y=2x2+12x +17. (2)如图,把二次函数y=2x2-4x+1的图象关于直 线y=1作对称变换后,只改变图象的顶点位置和开 口方向,不改变其形状. 由y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1可知,函数y=2x2 -4x+1图象的顶点为A(1,-1),所以对称后所得到 图象的顶点为B(1,3),且开口向下,所以二次函数y =2x2-4x+1的图象关于直线y=1对称后所得到 图象对应的函数解析式为y=-2(x-1)2+3,即y= -2x2+4x+1. 第十讲 分段函数 归纳初中知识 回顾训练 1.(1)y=3x-30 (2)60 (3)35小时 解析:(1)当x≥30时,设函数解析式为y=kx+b,则根 据图象将(30,60),(40,90)代入得 30k+b=60, 40k+b=90, 解得 k=3 , b=-30. 所以y=3x-30. (2)当0≤x<30时, 由图象可知收取费用始终是60元. 所以当0≤x<30时,y=60. (3)由75=3x-30,解得x=35. 所以他在该月份上网35小时. 2.(1)2 6 (2)3 (3)y=3x (4)y=-x+8 (5)4 解析:(1)通过读图,可知服药后2h,血液中含药量最 高,达到每毫升6mg,接着逐步衰弱; (2)通过读图,可知服药5h后,血液中含药量为每毫升 3mg; (3)当x≤2时,y与x 之间的函数图象经过原点且为 直线,是正比例函数,且过点(2,6),设其解析为y=kx, 代入可得6=2k,解得k=3. 所以解析式为y=3x. (4)当x≥2时,y与x 之间的函数图象是一条直线,且 过点(2,6)和点(5,3),设其函数关系式为y=mx+n, 则 2m+n=6, 5m+n=3, 解得 m=-1,n=8. 所以解析式为y=-x+8. (5)根据图象,可知在0<x≤2时,有一个时间点血液 中含药量为3mg, 所以根据图象,可知在1≤x≤5时,血液中的含药量均 大于等于3mg,符合要求,一共是4小时. 所以有效时间是4h. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)函 数 y=|x-1|写 成 分 段 函 数 y = x-1,x≥1, 1-x,x<1, 此函数的图象是端点为(1,0)的两条射线(俗称“天 线”),如图甲. (2)这个函数的图象由两部分组成,如图乙. 当0<x<1时,为双曲线y=1x 的一段; 当x≥1时,为直线y=x的一段. 【规律方法】解决本题的关键依然是去绝对值符号,转 化为分段函数,根据不同的x的范围画出函数的图象. [针对训练1-1] 解:已知的函数y=f(x)的表达式为 y= x, 0≤x≤1, 2-x,1<x≤2. 用图象表达这个函数,它由两条线段组成,如图. 衔接点2 例2-1 解:(1)当a≤-1时,f(a)=a+2=3, 所以a=1(舍去); (2)当-1<a<2时,f(a)=a2=3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 076 所以a=± 3,其中负值舍去,所以a= 3; (3)当a≥2时,f(a)=2a=3, 所以a=32 (舍去). 综上所述,a= 3. 【规律方法】本题给出的是分段函数,函数值的取得直 接依赖于自变量x属于哪一个区间,所以要对x的范 围逐段进行讨论. [针对训练2-1] 解:因为x≤1时,y=x-1, 所以x=0时,y=0-1=-1; x=1时,y=1-1=0. 又因为当x>1时,y=x2, 所以x=2时,y=22=4. 所以x=0,1,2时,函数值分别为-1,0,4. 衔接点3 例3-1 解:(1)①当点P 在线段AB 上移动(如图甲), 即0<x≤2时,y=12AP ·BC=x; ②当点P 在线段BC 上移动(如图乙),即2<x<4时, y=12PC ·AB=12 (4-x)·2=4-x; ③当点P 在线段CD 上移动(如图丙),即4<x≤6时, y=12PC ·AD=12 (x-4)·2=x-4; ④当点P 在线段DA 上移动(如图丁),即6<x<8时, y=12PA ·CD=12 (8-x)·2=8-x. 综上所述,函数的解析式为 y= x, 0<x≤2, 4-x, 2<x<4, x-4, 4<x≤6, 8-x, 6<x<8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 (2)函数y的图象如图戊所示. (3)由函数图象可知,函数y的取值范围是0<y≤2. 【规律方法】本题为一个分段函数模型,解题时,需将x 分段后写出函数解析式,然后根据不同范围内的解析 式,画出函数的图象,根据函数图象求出函数值的取值 范围. [针对训练3-1] 解:(1)易知应将x的取值分成三段, 即点P 分别从B→C 一段,C→D 一段,D→A 一段, 于是 y= 2x, 0<x≤4, 8, 4<x≤8, 2(12-x), 8<x≤12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)(方法一) 当0<x≤4时,ymax=8;当4<x≤8 时,y=8; 当8<x<12时,y<8. 故ymax=8,此时4≤x≤8,即x 的取值范围是4≤x ≤8. (方法二) 先作出函数图象如图所示, 由图易知ymax=8,且4≤x≤8,即x的取值集范围是4 ≤x≤8. 衔接训练 1.B 解析:对于(2),取x=2,f(2)=3或4,对于(3),取 x=1,f(1)=5或1,所以(2)(3)都不是分段函数. 2.D 解析:因为-3<0,所以f(-3)=2×(-3)=-6. 3.D 解析:作出y=[x]的图象,可知D正确. 4.π 解析:因为f(-1)=0,所以f[f(-1)]=f(0)=π. 5.a<-1 解析:当a≥0时,12a-1>a ,解得a<-2,矛 盾;当a<0时,1a<a ,解得a<-1或a>1(舍). 6.解:当x>0时,f(x)=0,即f(1)=0;当x=0时,f(x) =π,即f(0)=π;当x<0时,f(x)=π2+1,即f(-1) =π2+1. 7.解:(1)f(x)= 0, x<0, 2, x≥0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 077 (2)f(x)= x+1, x≤-1, 0, -1<x<1, x-1, x≥1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 8.解:(1)y= x-12 = x-12 , x≥12 -x+12 ,x<12 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的图象如图 所示. (2)y=|x+1|= x+1, x≥-1 -x-1,x<-1 的图象如图所示. 9.解:将原函数解析式中的绝对值符号去掉,化为分段 函数. 当x≤-1时,y=-(x+1)-(x-2)=-2x+1; 当-1<x<2时,y=x+1-(x-2)=3; 当x≥2时,y=x+1+x-2=2x-1. f(x)= -2x+1, x≤-1, 3, -1<x≤2, 2x-1, x>2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 它的图象如图所示,显然y≥3.所以函数的最小 值 为3. 10.解:设票价为y,里程为x,则根据题意,如果某空调汽 车运行路程中设20个汽车站,那么汽车行驶的里程 约为20km,所以自变量x的取值范围是0<x≤20. 由空调汽车票价制定的规定,可得到函数解析式: y= 2, 0<x≤5, 3, 5<x≤10, 4, 10<x≤15, 5, 15<x<20. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 第十一讲 一元二次不等式 归纳初中知识 回顾训练 1.A 解析: x-2≤0, ① x+3>0, ② 解①得x≤2, 解②得x>-3,所以不等式组的解集为-3<x≤2. 故选A. 2.C 解析:A:分别解不等式得 x>-5, x>5, 其解集为{x|x >5}. B:分别解不等式得 x>-3, x<2, 其解集为{x|-3<x< 2}. C:分别解不等式得 x<0, x>6, 无解. D:分 别 解 不 等 式 得 x<1, x<-53 , 其 解 集 为 x x<-53 . 3.D 解析:因为点P(m-3,m-1)在第二象限, 所以 m-3<0, m-1>0, 解得1<m<3. 故选D. 4.4<x<7 解析: x+3>0, ① x-4>0, ② x-7<0, ③ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解①得x>-3,解②得x>4,解③得x<7. 综上,不等式组的解集为4<x<7. 5.解:根据“同号两数相乘,积为正”可得 2x-1>0 x+3>0 或 2x-1<0,x+3<0, 解得x>12或x<-3.所以 不等式的解集为x>1或x<-3. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:原不等式可以化为(x+3)(x-2)>0, 于 是 x+3<0 x-2<0 或 x+3>0x-2>0 ⇒ x<-3x<2 或 x>-3x>2 ⇒ x<-3或x>2. 所以,原不等式的解是x<-3或x>2. 【规律方法】当把一元二次不等式化为ax2+bx+c>0 (或<0)的形式后,只要左边可以分解为两个一次因 式,即可运用本题的解法. [针对训练1-1] 解:(1)不等式可化为(x-1)(x-2) <0,所以不等式的解是1<x<2. (2)不等式可化为(2x-1)(3x+4)<0,所以不等式的 解集是 x -43<x< 1 2 . (3)不等式可化为x2-2x-3≤0,即(x+1)(x-3)≤ 0,所以不等式的解是-1<x<3. (4)不等式可化为(2x+1)(x-1)>0,所以不等式的解 是x<-12 或x>1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 078