第九讲 函数的图象与变换-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

9.二次函数y=x2+4x+1在x<a上y 随x 增大而减小,试求实数a的取值范围. 10.已知函数y=-2x2-4x+7,根据下列x的 范围求函数的最值.(1)-3≤x≤0;(2)-2 ≤x≤2;(3)0≤x≤4;(4)-3≤x≤-0.5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第九讲❘ 函数的图象与变换 在初中,我们学习了正比例函数、反比例函数、一次函数以及二次函数等特殊的函数,了解了这 些函数的图象特征. 函 数 图 象 性 质 正比例函数 y=kx(k≠0) ①过点(0,0);②当k>0时,图象是过一、三象限,且x增大 时,y增大;当k<0时,图象位于二、四象限,且x增大时,y 减小 反比例函数 y=kx (k≠0) ①当k>0时,图象位于一、三象限,且当x>0时,y随x 增 大而减小;当x<0时,y随x 增大而减小.②当k<0时,图 象位于二、四象限,且当x>0时,y 随x 增大而增大;当x <0时,y随x 增大而增大 一次函数 y=kx+b(k≠0) ①过点(0,b).②当k>0时,y 随x 增大而增大;当k<0 时,y随x 增大而减小.③图象位置与k,b有关 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 见第十一讲 038 1.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的关 系式是: ①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2. 则a,b,c,d的大小关系是 ( ) A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c 2.已知点A(-1,y1),B(- 2,y2),C(-2,y3) 在函数y=-x2的图象上,则y1,y2,y3的大 小关系是 ( ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y2>y1>y3 3.函数y=ax2与y=-ax+b的图象可能是 ( ) 4.如图,Rt△OAB 的顶点A(-2,4)在抛物线y =ax2上,将 Rt△OAB 绕点O 顺时针旋转 90°,得到△OCD,边CD 与该抛物线交于点 P,则点P 的坐标为 ( ) A.(2,2) B.(2,2) C.(2,2) D.(2,2) 5.如图是二次函数y=a(x+1)2+2的图象的 一部分,该图在y轴右侧与x 轴交点的坐标 是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 函数图象是函数性质的直观反映,是研究 函数的重要工具,因此,在高中阶段,我们更多 地利用函数图象的直观性来解决数学问题(图 象法).利用图象解决数学问题是数形结合思想 的重要体现,另一方面,利用已知函数的图象, 通过适当的变换得到较复杂函数的图象,也是 高中学习的一个重点. 1.平移变换:所谓平移变换,就是将图形上的所有 点,沿同一个方向移动相同的距离,得到一个新 的图象.(f(x)表示以x为自变量的函数) y=f(x) a>0时,向左平移a个单位 a<0时,向右平移|a|个单位→y=f (x +a). 2.对称变换:所谓对称变换,就是将一个图形上 的每一个点沿一条直线翻折得到一个新的图 形.即两个图形关于此直线对称. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 039 (1)y=f(x) 保留y=f(x)在x轴上方部分,x轴下方 图象绕x轴翻折上去 → y=|f(x)|; (2)y=f(x) 保留y=f(x)在y轴右侧部分,并把右 侧图象绕y轴翻折到左侧 → y=f(|x|); (3)y=f(x) 将y=f(x)图象绕y轴翻折180° → y=f(-x); (4)y=f(x) 将y=f(x)图象绕x轴翻折180° → y=-f(x). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点1 函数图象的平移变换 (1)函数y= 1x-3 的图象可以由函数y =1x 的图象如何变换得到? (2)函数y=1x-3 的图象可以由函数y=1x 的图象如何变换得到? [针对训练1-1] 将二次函数y=-x2+1向 左平移1个单位长度,再向下平移2个单位 长度,所得到的二次函数的一般式为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点2 作出函数的图象 画出函数y=|x2-1|的图象. [针对训练2-1] 已知二次函数y=x2+2x- 1, (1)指出该函数的开口方向、顶点坐标及对 称轴; (2)在如图所示的坐标系中,描出5个点,画 出函数的图象. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 040 衔接点3 函数图象的应用 当m 是什么实数时,方程x2-4|x|+5 =m 有四个互不相等的实根? [针对训练3-1] 求函数y=|x+2|的图象与 两坐标轴围成的三角形的面积. 1.函数y=x2-6x+9向左平移m 个单位后其 图象恰好经过坐标原点,则m 的值为 ( ) A.-3 B.-1 C.3 D.-1或3 2.函数y=-2x2 的图象经过下列某个平移变 换得到函数y=-2(x-1)2+3的图象,则此 平移变换是 ( ) A.向左平移1个单位,再向上平移3个单位 B.向右平移1个单位,再向上平移3个单位 C.向左平移1个单位,再向下平移3个单位 D.向右平移1个单位,再向下平移3个单位 3.将二次函数y=(x-1)2-3的图象沿x轴翻 折,所得图象的函数表达式为 ( ) A.y=-(x-1)2+3 B.y=(x+1)2-3 C.y=-(x+1)2-3 D.y=(x-1)2+3 4.如果点(a,b)是函数y=1-1x 图象上的一点, 那么下列点一定在函数y=1+1x 图象上的是 ( ) A.(a,b) B.(-a,b) C.(a,-b) D.(-a,-b) 5.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5 与y轴交于点C,则该抛物线关于点C 成中 心对称的抛物线的表达式为 ( ) A.y=-x2-4x+5 B.y=x2+4x+5 C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x-5 6.将抛物线y=-2x2+1绕原点O 旋转180°, 则旋转后抛物线的解析式为 ( ) A.y=2x2 B.y=2x2+1 C.y=-2x2-1 D.y=2x2-1 7.将 函 数 y=x+1图 象 上 的 所 有 点 通 过 变换得到函数y=-x+1的图象. (只要写出一种你认为合适的图象变换即可) 8.对于函数y=|x|,y随x 增大而增大的x 的 取值范围是 ,y随x 增大而减小的x 的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 041 9.画出下列函数的图象: (1)y=x2+2x-3; (2)y=|x2-2x-3|. 10.求把二次函数y=2x2-4x+1的图象关于 下列直线对称后所得到图象对应的函数解 析式: (1)直线x=-1; (2)直线y=1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第十讲❘ 分段函数 在初中,我们学习函数的概念以及一些特 殊的函数. 初中函数的概念:设在某种变化过程中,有 两个变量x,y,如果给定一个x的值,相应就确 定了一个y值,那么我们称y是x 的函数,其中 x是自变量,y是因变量. 1.某市推出电脑上网包月制,每月收取费用y (单位:元)与上网时间x(单位:小时)的函数 关系如图所示,其中BA 是线段,且BA∥x 轴,AC是射线. 第1题图 (1)当x≥30时,y与x 之间的函数解析式为 ; (2)若 小 李4月 份 上 网20小 时,他 应 付 元上网费用;则当0≤x≤30时,y 与x 之间的函数解析式为 ; (3)若小李5月份上网费用为75元,则他在 该月份的上网时间是 . 2.某医药研究所开发了一种新药,在实际验药时发 现,如果成人按规定剂量服用,那么每毫升血液 中含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化 情况如图所示,当成年人按规定剂量服药后. (1)服药后 h,血液中含药量最高, 达到每毫升 mg,接着逐步衰弱; (2)服 药 后5h,血 液 中 含 药 量 为 每 毫 升 mg; (3)当x≤2h,y 与x 之间的函数解析式是 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 042 (4)由-3≤x≤-0.5知,当x=-1时,ymax=9; 当x=-3时,ymin=1. 第九讲 函数的图象与变换 归纳初中知识 回顾训练 1.A 解析:由题图象可知a>0,b>0,c<0,d<0,且a> b>0,d<c<0. 2.A 解析:对于y=-x2,当x<0时,y随x 的增大而增 大.因为-1>- 2>-2,所以y1>y2>y3. 3.B 解析:若a>0,则抛物线的开口方向向上,直线一定经 过二、四象限,所以A错误,B正确;若a<0,抛物线开口 方向向下,直线一定经过一、三象限,故C,D都错误. 4.C 解析:将A(-2,4)代入y=ax2,解得a=1,所以抛 物线的解析式为y=x2. 因为A(-2,4),所以OB=2,AB=4. 又因为旋转前后的图形为全等三角形,所以OD=OB =2,CD=AB=4,所以D 点坐标为(0,2). 因为CD∥x轴,所以P 点的纵坐标与D 点纵坐标相 同,即P 点的纵坐标为2. 因为点P 在抛物线y=x2上,所以2=x2,解得x= ± 2.又因为点P 在第一象限,所以x= 2, 所以P 点的坐标为(2,2). 5.(1,0) 解析:抛物线y=a(x+1)2+2的对称轴为直线x =-1,图象与x轴的两个交点关于直线x=-1对称,与 x轴一个交点坐标为(-3,0),所以另一个交点坐标为(1, 0). 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)通过列表描点画出两个函数的图象.设 点(a,b)是函数y=1x 图象上的任意一点, 则b=1a ,由此可得b= 1(a+3)-3 , 即点(a+3,b)在函数y= 1x-3 的图象上. 因此,将函数y=1x 图象上的所有点,沿x轴向正方向 (右)平移3个单位,得到函数y= 1x-3 的图象. (2)通过列表描点画出两个函数的图象. 设点(a,b)是函数y=1x 图象上的任意一点,则b=1a , 由此可得b-3=1a-3 , 即点(a,b-3)在函数y=1x-3 的图象上. 因此,将函数y=1x 图象上的所有点,沿y轴向负方向 (下)平移3个单位,得到函数y=1x-3 的图象. 【规律方法】图象平移变换中经常运用“左加右减,上加 下减”的口诀解题. [针对训练1-1] y=-x2-2x-2 解析:将二次函数y=-x2+1向左平移1个单位长度 得到抛物线y=-(x+1)2+1, 再向下平移2个单位得到二次函数y=-(x+1)2+ 1-2,即y=-(x+1)2-1=-x2-2x-2. 衔接点2 例2-1 解:二次函数y=x2-1的图象是抛物线,如 图甲. y=|x2-1|= x2-1, x≥1或x≤-1, -(x2-1), -1<x<1. 由解析式的特点可知,当x≥1或x≤-1时,函数y= |x2-1|的图象与函数y=x2-1重合,即抛物线在x 轴上方部分保持不变;当-1<x<1时,函数y=|x2- 1|即为y=-(x2-1),其图象与函数y=x2-1的图象 关于x轴对称,即抛物线在x轴下方部分沿x 轴翻折. 这两部分共同组成函数y=|x2-1|的图象,如图乙. 【规律方法】作图的原则:保留x轴上方的图象,x轴下 方的图象沿着x 轴翻折上去即可. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 074 [针对训练2-1] 解:(1)y=x2+2x-1=(x+1)2-2, 所以抛物线开口向上,顶点坐标为(-1,-2),对称轴 为x=-1. (2)列表: x -3 -2 -1 0 1 y 2 -1 -2 -1 2 描点、作图,如图所示. 衔接点3 例3-1 解:(方法一)将原方程变形为x2-4|x|+4=m -1, 令y=x2-4|x|+4,则y= (x+2)2,x<0 (x-2)2,x≥0 它的图象如图所示: 而y=m-1是一条与x轴平行的直线,原方程有四个 互不相等的实根,即直线应与曲线有四个不同的交点. 由图象可知,当0<m-1<4,即1<m<5时,直线与曲 线有四个不同的交点. 所以当1<m<5时,方程x2-4|x|+5=m 有四个不 相等的实根. (方法二)原方程变形为(|x|-2)2=m-1, 所以|x|-2=± m-1(m≥1),|x|=2± m-1, x1=2+ m-1,x2=2- m-1,x3=-2- m-1, x4=-2+ m-1. 要使 这 四 个 数 互 不 相 等,必 须 m -1≠0 且 2- m-1>0,即1<m<5. 【规律方法】对于方程对应的根的个数问题,经常转化 为函数图象的交点个数进行求解. [针对训练3-1] 解:画出函数y=|x+2|的图象. 所以S△AOB= 1 2×2×2=2. 衔接训练 1.C 解析:因为y=x2-6x+9=(x-3)2, 所以向左平移m 个单位后的函数解析式为y=(x-3 +m)2, 因为函数图象经过坐标原点, 所以(0-3+m)2=0, 解得m=3.故选C. 2.B 解析:平移口诀“左加右减,上加下减”. 3.A 解析:二次函数y=(x-1)2-3的图象沿x轴翻 折,所得图象的函数表达式为-y=(x-1)2-3,即y =-(x-1)2+3.故选A. 4.B 解析:由b=1-1a=1+ 1 -a 知点 (-a,b)在函数y =1+1x 图象上. 5.A 解析:由抛物线y=x2-4x+5=(x-2)2+1知,抛 物线顶点坐标是(2,1). 由抛物线y=x2-4x+5知,C(0,5).所以该抛物线关 于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是(-2,9).所 以该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为 y=-(x+2)2+9=-x2-4x+5.故选A. 6.D 解析:y=-2x2+1的顶点坐标为(0,1), 因为抛物线y=-2x2+1绕原点O 旋转180°,所以旋 转后的抛物线的顶点坐标为(0,-1), 所以旋转后的抛物线的解析式为y=2x2-1.故选D. 7.关于y轴对称 解析:画出两函数的图象可知,两函数 关于y轴对称. 8.x≥0 x≤0 解析:由函数y=|x|的图象可知,y随x 增大而增大时,x≥0;y随x 增大而减小时,x≤0. 9.解:各函数图象如下. 10.解:(1)如图,把二次函数y=2x2-4x+1的图象关于 直线x=-1作对称变换后,只改变图象的顶点位置, 不改变其开口方向和形状. 由y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1可知,函数y=2x2 -4x+1图象的顶点为A(1,-1),所以对称后所得到 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 075 图象的顶点为A1(-3,-1),所以二次函数y=2x2- 4x+1的图象关于直线x=-1对称后所得到图象对 应的函数解析式为y=2(x+3)2-1,即y=2x2+12x +17. (2)如图,把二次函数y=2x2-4x+1的图象关于直 线y=1作对称变换后,只改变图象的顶点位置和开 口方向,不改变其形状. 由y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1可知,函数y=2x2 -4x+1图象的顶点为A(1,-1),所以对称后所得到 图象的顶点为B(1,3),且开口向下,所以二次函数y =2x2-4x+1的图象关于直线y=1对称后所得到 图象对应的函数解析式为y=-2(x-1)2+3,即y= -2x2+4x+1. 第十讲 分段函数 归纳初中知识 回顾训练 1.(1)y=3x-30 (2)60 (3)35小时 解析:(1)当x≥30时,设函数解析式为y=kx+b,则根 据图象将(30,60),(40,90)代入得 30k+b=60, 40k+b=90, 解得 k=3 , b=-30. 所以y=3x-30. (2)当0≤x<30时, 由图象可知收取费用始终是60元. 所以当0≤x<30时,y=60. (3)由75=3x-30,解得x=35. 所以他在该月份上网35小时. 2.(1)2 6 (2)3 (3)y=3x (4)y=-x+8 (5)4 解析:(1)通过读图,可知服药后2h,血液中含药量最 高,达到每毫升6mg,接着逐步衰弱; (2)通过读图,可知服药5h后,血液中含药量为每毫升 3mg; (3)当x≤2时,y与x 之间的函数图象经过原点且为 直线,是正比例函数,且过点(2,6),设其解析为y=kx, 代入可得6=2k,解得k=3. 所以解析式为y=3x. (4)当x≥2时,y与x 之间的函数图象是一条直线,且 过点(2,6)和点(5,3),设其函数关系式为y=mx+n, 则 2m+n=6, 5m+n=3, 解得 m=-1,n=8. 所以解析式为y=-x+8. (5)根据图象,可知在0<x≤2时,有一个时间点血液 中含药量为3mg, 所以根据图象,可知在1≤x≤5时,血液中的含药量均 大于等于3mg,符合要求,一共是4小时. 所以有效时间是4h. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)函 数 y=|x-1|写 成 分 段 函 数 y = x-1,x≥1, 1-x,x<1, 此函数的图象是端点为(1,0)的两条射线(俗称“天 线”),如图甲. (2)这个函数的图象由两部分组成,如图乙. 当0<x<1时,为双曲线y=1x 的一段; 当x≥1时,为直线y=x的一段. 【规律方法】解决本题的关键依然是去绝对值符号,转 化为分段函数,根据不同的x的范围画出函数的图象. [针对训练1-1] 解:已知的函数y=f(x)的表达式为 y= x, 0≤x≤1, 2-x,1<x≤2. 用图象表达这个函数,它由两条线段组成,如图. 衔接点2 例2-1 解:(1)当a≤-1时,f(a)=a+2=3, 所以a=1(舍去); (2)当-1<a<2时,f(a)=a2=3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 076