第八讲 二次函数的图象与性质-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

❘第八讲❘ 二次函数的图象与性质 一、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 分类 Δ=b2-4ac>0 Δ=b2-4ac=0 Δ=b2-4ac<0 a>0 a<0 二、二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质: 1.顶点坐标为A -b2a,4ac-b 2 4a . 2.对称轴为直线x=-b2a. 3.①当a>0时,图象开口向上,且当x<-b2a 时,y随着x 的增大而减小;当x>-b2a 时,y 随着x 的增大而增大. ②当a<0时,图象开口向下,且当x<-b2a 时,y随着x 的增大而增大;当x>-b2a 时,y 随着x 的增大而减小. 4.①当a>0时,函数在x=-b2a 处取得最小值 4ac-b2 4a ,无最大值; ②当a<0时,函数在x=-b2a 处取得最大值 4ac-b2 4a ,无最小值. 1.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与 二次函数y=x2+m 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 033 2.下列抛物线中,与抛物线y=x2-2x+4具有 相同对称轴的是 ( ) A.y=4x2+2x+1 B.y=2x2-4x+1 C.y=2x2-x+4 D.y=x2-4x+2 3.已知二次函数y=-2x2+4x-3,如果y随x 的增大而减小,那么x的取值范围是 ( ) A.x≥1 B.x≥0 C.x≥-1 D.x≥-2 4.请选择一组你喜欢的a,b,c的值,使二次函 数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象同时满足下 列条件:(1)开口向下;(2)当x<2时,y随x 的增大而增大;当x>2时,y随x 的增大而 减 小.这 样 的 二 次 函 数 的 解 析 式 可 以 是 . 5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的 横、纵坐标的对应值如下表: x … -1 0 1 2 3 4 … y … 14 4 -2 -4 -2 4 … 则该抛物线的顶点坐标为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、二次函数的零点(定义域为R) x1= -b- b2-4ac 2a ,x2= -b+ b2-4ac 2a (根与 系数的关系:x1+x2=- b a ,x1x2= c a ). 四、二次函数的单调性(定义域为R) 1.若a>0,且当x<-b2a 时,函数y单调递减,单 调递减区间为 -∞,-b2a ;当x>-b2a时,函 数y单调递增,单调递增区间为 -b2a,+∞ . 2.若a<0,且当x<-b2a 时,函数y单调递增,单 调递增区间为 -∞,-b2a ;当x>-b2a时,函 数y单调递减,单调递减区间为 -b2a,+∞ . 五、二次函数的最值(定义域为R) 1.当 a>0 时,函 数 y 的 最 小 值 为ymin= 4ac-b2 4a ,无最大值; 2.当a<0时,函 数 y 的 最 大 值 为ymax= 4ac-b2 4a ,无最小值. 六、二次不等式的解(当x∈R时) 1.若a>0时,有: ①当Δ=b2-4ac>0时,不等式ax2+bx+c ≥0的解为(-∞,x1]∪[x2,+∞);不等式 ax2+bx+c≤0的解为[x1,x2]. ②当Δ=b2-4ac=0时,不等式ax2-bx+c ≥0的解为R; 不等 式ax2+bx+c≤0的 解 为{x1}(或 {x2}).③当Δ=b2-4ac<0时,不等式ax2+ bx+c≥0的解为R; 不等式ax2+bx+c<0的解为⌀. 2.若a<0时,有: ①当Δ=b2-4ac>0时,不等式ax2+bx+c ≥0的解[x1,x2];不等式ax2+bx+c≤0的 解为(-∞,x1]∪[x2,+∞). ②当Δ=b2-4ac=0时,不等式ax2+bx+c ≥0的解为{x1}(或{x2});不等式ax2+bx+ c≤0的解为R. ③当Δ=b2-4ac<0时,不等式ax2+bx+c ≥0的解为⌀;不等式ax2+bx+c≤0的解 为R. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 034 衔接点1 二次函数的图象与性质 求二次函数y=-3x2-6x+1图象的 开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小 值),并指出当x 取何值时,y随x 的增大而 增大(或减小),同时画出该函数的图象. [针对训练1-1] 求把二次函数y=x2-4x+ 3的图象经过下列平移变换后得到的图象所 对应的函数解析式: (1)向右平移2个单位长度,向下平移1个单 位长度; (2)向上平移3个单位长度,向左平移2个单 位长度. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点2 求二次函数解析式 已知二次函数f(x)满足f(2)=f(-1) =-1,且f(x)的最大值是8,求f(x). 【分析】设二次函数的一般式f(x)=ax2+bx +c(a≠0),结合已知条件运用待定系数法求 出a,b,c. 已知二次函数的图象过点(-1,-22), (0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 035 [针对训练2-1] 已知某二次函数的最大值 为2,图象的顶点在直线y=x+1上,并且图 象经过点(3,-1),求二次函数的解析式. [针对训练2-2] 已知二次函数的图象过点 (-3,0),(1,0),且顶点到x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达式. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点3 二次函数的最值 当1≤x≤2时,求函数y=-x2-x+1 的最大值和最小值. [针对训练3-1] (1)当-2≤x≤2时,求函数 y=x2-2x-3的最大值和最小值. (2)当x≥0时,求函数y=-x(2-x)的取值 范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 036 当t≤x≤t+1时,求函数y=x2-2x- 5的最小值(其中t为常数). [针对训练3-2] 当0≤x≤2时,求函数y= x2-tx-1的最小值(其中t为常数). 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点 坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则 ( ) A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 2.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)= f(6),则 ( ) A.f(1)=f(4) B.f(1)>f(4) C.f(1)<(4) D.当a>0时,f(1)>f(4);当a<0时,f(1) <f(4) 3.二次函数y=x2-4x+5(3≤x≤5)的最小值 是 ( ) A.5 B.10 C.2 D.1 4.已知二次函数y=(x-c)(x-d)-4与x轴 的交点为(6,0)和(1,0),且c<d,则c= ,d= . 5.二次函数y=x2-(m-4)x+2m-3,当m= 时,图象的顶点在y 轴上;当 m= 时,图象的顶点在x 轴上;当 m= 时,图象过原点. 6.开口向下的抛物线y=(m2-2)x2+2mx+1 的对称轴经过点(-1,3),则m= . 7.二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象 限,与x轴的两个交点分别位于原点的两侧, 则a,b,c的符号是 . 8.已知二次函数的图象过点(1,0),(0,-1), (2,5),求此二次函数的解析式. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 037 9.二次函数y=x2+4x+1在x<a上y 随x 增大而减小,试求实数a的取值范围. 10.已知函数y=-2x2-4x+7,根据下列x的 范围求函数的最值.(1)-3≤x≤0;(2)-2 ≤x≤2;(3)0≤x≤4;(4)-3≤x≤-0.5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第九讲❘ 函数的图象与变换 在初中,我们学习了正比例函数、反比例函数、一次函数以及二次函数等特殊的函数,了解了这 些函数的图象特征. 函 数 图 象 性 质 正比例函数 y=kx(k≠0) ①过点(0,0);②当k>0时,图象是过一、三象限,且x增大 时,y增大;当k<0时,图象位于二、四象限,且x增大时,y 减小 反比例函数 y=kx (k≠0) ①当k>0时,图象位于一、三象限,且当x>0时,y随x 增 大而减小;当x<0时,y随x 增大而减小.②当k<0时,图 象位于二、四象限,且当x>0时,y 随x 增大而增大;当x <0时,y随x 增大而增大 一次函数 y=kx+b(k≠0) ①过点(0,b).②当k>0时,y 随x 增大而增大;当k<0 时,y随x 增大而减小.③图象位置与k,b有关 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 见第十一讲 038 把②代入①得x2-[k(x-2)+1]2=1, 整理得(1-k2)x2+2k(2k-1)x-4k2+4k-2=0, 当1-k2=0,即k=±1时,关于x的方程变形为一元 一次方程,方程有一个解; 当1-k2≠0,即k≠±1时,关于x的方程变形为一元 二次方程, 当Δ=0时,方程有两组相同的解,即[2k(2k-1)]2- 4(1-k2)(-4k2+4k-2)=0, 整理得3k2-4k+2=0,此方程无实数根, 所以当k=1或-1时,原方程组有唯一解. 第八讲 二次函数的图象与性质 归纳初中知识 回顾训练 1.D 解析:A.由直线与y轴的交点在y 轴的负半轴上 可知,n2<0,A项错误; B.由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知, m>0,由直线可知,-m>0,B项错误; C.由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知, m<0, 由直线可知,-m<0,C项错误; D.由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知, m<0,由直线可知,-m>0,D项正确. 2.B 解析:抛 物 线y=x2-2x+4的 对 称 轴 为 x= - -22×1=1. A.y=4x2+2x+1的对称轴为- 22×4=- 1 4 ,不符合 题意; B.y=2x2-4x+1的对称轴为- -42×2=1 ,符合题意; C.y=2x2-x+4的 对 称 轴 为- -12×2= 1 4 ,不 符 合 题意; D.y=x2-4x+2的对称轴为- -42×1=2. 不符合题意; 故选B. 3.A 解析:因为y=-2x2+4x-3=-2(x-1)2-1, 所以抛物线开口向下,对称轴为x=1, 所以当x≥1,y随x 的增大而减小,故选A. 4.y=-x2+4x(答案不唯一,只要满足b=-4a,a<0即 可) 解析:由(1)知a<0,由(2)知抛物线的对称轴为x=2. 可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+h(a<0). 当a=-1,h=4时,抛物线的解析式为y=-(x-2)2 +4=-x2+4x(答案不唯一). 5.(2,-4) 解析:因为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经 过(0,4)、(4,4)两点, 所以对称轴x=0+42 =2. 所以顶点坐标为(2,-4). 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:因为y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4, 所以函数图象开口向下; 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标为(-1,4); 当x=-1时,函数y取最大值y=4; 当x<-1时,y随着x 的增大而增大;当x>-1时,y 随着x 的增大而减小; 采用描点法画图,选顶点A(-1,4),与x轴交于点B 2 3-33 ,0 和C -2 3+33 ,0 ,与y轴的交点为D (0,1),过这四点画出图象(如图所示). 【规律方法】从这个例题可以看出,根据配方后得到的 性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点 的盲目性,使画图更简便、图象更精确. [针对训练1-1] 解:二次函数y=2x2-4x-3的解析 式可变为y=2(x-1)2-1,其顶点坐标为(1,-1). (1)把函数y=2(x-1)2-1的图象向右平移2个单位 长度,向下平移1个单位长度后,其函数图象的顶点坐 标是(3,-2),所以平移后所得到的函数图象对应的函 数表达式为y=2(x-3)2-2. (2)把函数y=2(x-1)2-1的图象向上平移3个单位 长度,向左平移2个单位长度后,其函数图象的顶点坐 标是(-1,2),所以平移后所得到的函数图象对应的函 数表达式为y=2(x+1)2+2. 衔接点2 例2-1 解:(方法一)因为f(x)为二次函数, 所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(2)=f(-1)=-1,且f(x)的最大值是9,得 4a+2b+c=-1, a-b+c=-1, 4ac-b2 4a =8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解方程得 a=-4, b=4, c=7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 从而 f(x)=-4x2+4x+7. (方法二)因为f(x)为二次函数,f(2)=f(-1), 所以二次函数y=f(x)图象的对称轴为 x=2+ (-1) 2 = 1 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 071 又因为f(x)的最大值是8, 所以二次函数y=f(x)图象的顶点为O' 12,8 ,于是 设f(x)=a x-12 2 +8. 因为f(2)=-1,所以a 2-12 2 +8=-1, 解方程,得a=-4,从而f(x)=-4 x-12 2 +8= -4x2+4x+7. 例2-2 解:设该二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0). 由函数 图 象 过 点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可 得 -22=a-b+c, -8=c, 8=4a+2b+c, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=-2,b=12,c=-8. 所以所求的二次函数为y=-2x2+12x-8. 【规律方法】解决问题时可以分别从与x轴的交点坐标 及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式 来解题,亦可由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶 点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式 解决问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条 件,选择恰当的方法来解决问题. [针对训练2-1] 解:因为二次函数的最大值为2,而最 大值一定是其顶点的纵坐标,所以顶点的纵坐标为2. 又顶点在直线y=x+1上,所以,2=x+1,所以x=1. 所以顶点坐标是(1,2). 设该二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2(a<0), 因为二次函数的图象经过点(3,-1), 所以-1=a(3-1)2+2,解得a=-34. 所以二次函数的解析式为y=-34 (x-1)2+2, 即y=-34x 2+32x+ 5 4. [针对训练2-2] 解:(方法一)因为二次函数的图象过 点(-3,0),(1,0),所以可设二次函数为y=a(x+3) (x-1)(a≠0), 展 开,得 y=ax2 +2ax-3a,顶 点 的 纵 坐 标 为 -12a2-4a2 4a =-4a , 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2, 所以|-4a|=2,即a=±12. 所以,二 次 函 数 的 表 达 式 为 y= 12x 2+x- 32 或 y=-12x 2-x+32. (方法二)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所 以对称轴为直线x=-1. 又顶点到x轴的距离为2,所以顶点的纵坐标为2或- 2. 于是可设二次函数为y=a(x+1)2+2或y=a(x+1)2 -2, 由于函数图象过点(1,0),所以0=a(1+1)2+2或0= a(1+1)2-2. 所以a=-12 或a=12. 所以,二次函数的表达式为y=-12 (x+1)2+2或 y=12 (x+1)2-2. 衔接点3 例3-1 解析:(方法一)作出函数的图象. 例3-1题答图(1) 当x=1时,ymax=-1, 当x=2时,ymin=-5. (方法二:配方法)y=- x+12 2 +54 , 当x=1时,ymax=-1,当x=2时,ymin=-5. 【规律方法】二次函数在自变量x的给定范围内,对应 的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为 函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量x的 范围内图象形状各异.下面给出一些常见情况: 例3-1题答图(2) [针对训练3-1] 解:(1)(方法一)作出函数的图象.当 x=1时,ymin=-4,当x=-2时,ymax=5. 针对训练3-1题答图(1) (方法二:配方法) y=x2-2x-3=(x-1)2-4. 当x=1时,ymin=-4, 当x=-2时,ymax=5. (2)(方法一)作出函数y=-x(2-x)=x2-2x在x≥ 0内的图象. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 072 针对训练3-1题答图(2) 可以看出,当x=1时,ymin=-1,无最大值. 所以,当x≥0时,函数的取值范围是y≥-1. (方法二)y=-x(2-x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x =1时,ymin=-1,无最大值.所以,当x≥0时,函数的 取值范围是y≥-1. 例3-2 解:函数y=x2-2x-5的对称轴为x=1.画出 其草图. (1)当对称轴在所给范围左侧,即t>1时,当x=t时, ymin=t2-2t-5; (2)当对称轴在所给范围之间,即t≤1≤t+1⇒0≤t≤ 1时,当x=1时,ymin=12-2×1-5=-6; (3)当对称轴在所给范围右侧,即t+1<1⇒t<0时, 当x=t+1时,ymin=(t+1)2-2(t+1)-5=t2-6. 例3-2题答图 综上所述,ymin= t2-6, t<0, -6, 0≤t≤1, t2-2t-5,t>1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 【规律方法】由于x所给的范围随着t的变化而变化,所 以需要比较对称轴与其范围的相对位置,利用分类讨 论的方法求解最值. [针对训练3-2] 解析:函数y=x2-tx-1的对称轴为 x=t2. (1)当对称轴在所给范围左侧,即t<0时,当x=0时, ymin=-1; (2)当对称轴在所给范围之间,即0≤t2≤2 ,即0≤t≤ 4时,当x=t2 时,ymin=-1- t2 4 ; (3)当对称轴在所给范围右侧,即t>4时,当x=2时, ymin=3-2t. 综上所述,ymin= -1, t<0, -1-t 2 4 , 0≤t≤4, 3-2t, t>4. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 衔接训练 1.D 解析:设y=a(x-2)2-1,令x=0,y=11,代入解 得a=3,故y=3(x-2)2-1,即y=3x2-12x+11. 2.A 解析:由f(-1)=f(6)可知对称轴为x=52 ,从而 f(1)=f(4). 3.C 解析:因为y=(x-2)2+1,所以当x=3时,ymin =2. 4.2 5 解析:因为函数y=(x-c)(x-d)-4与x轴的 交点为(6,0)和(1,0), 所以x1=6,x2=1. 因为函数y=(x-c)(x-d)-4 =x2-(c+d)x+cd-4, 所以由根与系数的关系得x1+x2=c+d=7, x1x2=cd-4=6,且c<d. 解得c=2,d=5. 5.4 14或2 32 解析:根据二次函数的图象与性质 可知, 当函数图象的顶点在y轴上时,对称轴-b2a=0 , 即-- (m-4) 2 =0 ,解得m=4. 当函数图象的顶点在x轴上时, Δ=b2-4ac=0, 即[-(m-4)]2-4×(2m-3)=0, 16-8m+m2-8m+12=0, m2-16m+28=0, 解得m=14或m=2. 当函数图象过原点时,把点(0,0)代入原函数得2m- 3=0,解得m=32. 6.-1 解析:对称轴x=- m m2-2 =-1,则得m=2或- 1,又m2-2<0,所以m=-1. 7.a<0,b>0,c>0 解析:由-b2a>0 ,4ac-b 2 4a >0 ,c a < 0,Δ=b2-4ac>0可得. 8.解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 由函数图象过点(1,0),(0,-1),(2,5)得 a+b+c=0, c=-1, 4a+2b+c=5, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=2, b=-1, c=-1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故二次函数的解析式为 y=2x2-x-1. 9.解:由题意知,二次函数的对称轴为x=-2,因为函数 在x<a上y 随x 增大而减小,故根据函数图象可得a ≤-2. 10.解:由题意知,函数y=-2x2-4x+7图象的对称轴 为x=-1,且开口向下,则 (1)由-3≤x≤0知,当x=-1时,ymax=9; 当x=-3时,ymin=1. (2)由-2≤x≤2知,当x=-1时,ymax=9; 当x=2时,ymin=-9. (3)由0≤x≤4知,当x=0时,ymax=7; 当x=4时,ymin=-41. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 073 (4)由-3≤x≤-0.5知,当x=-1时,ymax=9; 当x=-3时,ymin=1. 第九讲 函数的图象与变换 归纳初中知识 回顾训练 1.A 解析:由题图象可知a>0,b>0,c<0,d<0,且a> b>0,d<c<0. 2.A 解析:对于y=-x2,当x<0时,y随x 的增大而增 大.因为-1>- 2>-2,所以y1>y2>y3. 3.B 解析:若a>0,则抛物线的开口方向向上,直线一定经 过二、四象限,所以A错误,B正确;若a<0,抛物线开口 方向向下,直线一定经过一、三象限,故C,D都错误. 4.C 解析:将A(-2,4)代入y=ax2,解得a=1,所以抛 物线的解析式为y=x2. 因为A(-2,4),所以OB=2,AB=4. 又因为旋转前后的图形为全等三角形,所以OD=OB =2,CD=AB=4,所以D 点坐标为(0,2). 因为CD∥x轴,所以P 点的纵坐标与D 点纵坐标相 同,即P 点的纵坐标为2. 因为点P 在抛物线y=x2上,所以2=x2,解得x= ± 2.又因为点P 在第一象限,所以x= 2, 所以P 点的坐标为(2,2). 5.(1,0) 解析:抛物线y=a(x+1)2+2的对称轴为直线x =-1,图象与x轴的两个交点关于直线x=-1对称,与 x轴一个交点坐标为(-3,0),所以另一个交点坐标为(1, 0). 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)通过列表描点画出两个函数的图象.设 点(a,b)是函数y=1x 图象上的任意一点, 则b=1a ,由此可得b= 1(a+3)-3 , 即点(a+3,b)在函数y= 1x-3 的图象上. 因此,将函数y=1x 图象上的所有点,沿x轴向正方向 (右)平移3个单位,得到函数y= 1x-3 的图象. (2)通过列表描点画出两个函数的图象. 设点(a,b)是函数y=1x 图象上的任意一点,则b=1a , 由此可得b-3=1a-3 , 即点(a,b-3)在函数y=1x-3 的图象上. 因此,将函数y=1x 图象上的所有点,沿y轴向负方向 (下)平移3个单位,得到函数y=1x-3 的图象. 【规律方法】图象平移变换中经常运用“左加右减,上加 下减”的口诀解题. [针对训练1-1] y=-x2-2x-2 解析:将二次函数y=-x2+1向左平移1个单位长度 得到抛物线y=-(x+1)2+1, 再向下平移2个单位得到二次函数y=-(x+1)2+ 1-2,即y=-(x+1)2-1=-x2-2x-2. 衔接点2 例2-1 解:二次函数y=x2-1的图象是抛物线,如 图甲. y=|x2-1|= x2-1, x≥1或x≤-1, -(x2-1), -1<x<1. 由解析式的特点可知,当x≥1或x≤-1时,函数y= |x2-1|的图象与函数y=x2-1重合,即抛物线在x 轴上方部分保持不变;当-1<x<1时,函数y=|x2- 1|即为y=-(x2-1),其图象与函数y=x2-1的图象 关于x轴对称,即抛物线在x轴下方部分沿x 轴翻折. 这两部分共同组成函数y=|x2-1|的图象,如图乙. 【规律方法】作图的原则:保留x轴上方的图象,x轴下 方的图象沿着x 轴翻折上去即可. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 074