第七讲 简单的二元二次方程组-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

9.化简:(1)a-2 a-1(1<a<2); (2) n (a-b)n+ n (a+b)n(a<b<0,n>1,n∈ N*). 10.设 m,n 是 实 数,且 满 足 n = m2-4+ 4-m2+2 m-2 ,求 mn的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第七讲❘ 简单的二元二次方程组 一、一元一次方程、一元二次方程及二元一次方 程(组) 1.只含有一个未知数,且含有未知数的项的最 高次数是1的整式方程,叫做一元一次方程. 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做一 元一次方程的解. 标准形式:ax+b=0(a≠0). 常见解法:①移项ax=-b;②两边同时乘1a 得解x=-ba. 2.只含有一个未知数,且含有未知数的项的最 高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程. 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做一 元二次方程的解. 标准形式:ax2+bx+c=0(a≠0). 常见解法:直接开平方法、配方法、公式法、因 式分解法. 3.含有两个未知数,且含有未知数的项的次数 都是1的整式方程,叫做二元一次方程.使方 程左右两边相等的一对未知数的值,叫做二 元一次方程的一个解,二元一次方程有无数 个解. 标准形式:Ax+By+C=0(其中A,B,C 为 常数,且AB≠0). 把两个(或两个以上)含有相同未知数的二元 一次方程联合在一起,那么这两个方程就构 成了一个二元一次方程组.两个二元一次方 程的公共解,叫做二元一次方程组的解. 标准形式: A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 (其中A1,B1, C1,A2,B2,C2为常数). 常见解法:代入消元法、加减消元法. 1.若二元一次方程组 2x+y=14 -3x+2y=21 的解为 x=a y=b 则a+b值为 ( ) A.19 B.212 C.7 D.13 2.方程组 x=y+5 2x-y=5 的解满足方程x+y+a= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 028 0,则a的值为 ( ) A.5 B.-5 C.3 D.-3 3.已 知 关 于 x,y 的 方 程 组 5x+y=3 ax+5y=4 和 x-2y=5 5x+by=1 的解相同,则a,b的值为 ( ) A. a=14 b=2 B. a=4 b=-6 C. a=-6 b=2 D. a=1 b=2 4.已知方程3x-y=5,用含x的代数式表示y, 则 . 5.关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 x+y=1-m x-3y=5+3m 中,m 与方程组的解中的x 或y 的值相等,则m 的值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二、二元二次方程(组) 1.含有两个未知数,且含有未知数的项的最高 次数是2的整式方程,叫做二元二次方程,使 方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做 二元二次方程的解. 标准形式:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F= 0(其中A,B,C,D,E,F 为常数,且A,B,C 至少有一个不为零,当B=0时,A 与D,C与 E 分别不全为零;当A=0时,C,E 至少有一 个不为零;当C=0时,A,D 至少有一个不为 零). 常见解法:降次解法、消元解法、因式分解法. 2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组 成的方程组,或由两个二元二次方程组成的方 程组,叫做二元二次方程组.组成方程组的两 个方程的公共解,叫做二元二次方程的解. 标准形式: ① A1x2+C1y2+D1x+E1y+F1=0 A2x+B2y+C2+0 ② A1x2+C1y2+F1=0 A2x2+B2xy+C2y2=0 ③ A1x+B1y+C1=0 B2xy+F2=0 其中A1,B1,C1,D1,E1,F1,A2,B2,C2为常数. 常见解法:消元解法、降次解法. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点1 二元或三元一次方程组及其解法 解方程组 3x-2y=7 ① x+2y=5 ② [针对训练1-1] 解方程组 5m+2n=1 ① -7m+3n=16 ② 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 029 解方程组 3x+4z=7 ① 2x+3y+z=9 ② 5x-9y+7z=8 ③ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 [针对训练1-2] 解方程组 3x+4y+z=14 ① x+5y+2z=17 ② 2x+2y-z=3 ③ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 【分析】三个方程中,z的系数比较简单,可以 考虑用加减法,设法先消z. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点2 二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组解法 解方程组 2x-y=0 ① x2-y2+3=0 ② [针对训练2-1] 解方程组 x2+4y2-4=0 ① x-2y-2=0 ② 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 030 解方程组 x+y=9 xy=18. [针对训练2-2] 解方程组 x+y=7 ① xy=12 ② 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点3 二元二次方程组成的方程组的解法 解方程组 x2+xy=12 ① xy+y2=4 ② [针对训练3-1] 解方程组 x2+y2=26 ① xy=5 ② 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031 1.二元二次方程组 x+y=3 xy=-10 的解是 ( ) A. x1=-5 y1=2 或 x2=2 y2=-5 B. x1=5 y1=2 或 x2=2 y2=5 C. x1=5 y1=2 或 x2=-2 y2=5 D. x1=-5 y1=-2 或 x2=-2 y2=-5 2.下面的方程组,不是二元二次方程组的是 ( ) A. x2-x=3 y=2 B. y=x-1 (x-1)(y+1)=x C. x+y=1 x+yz=2 D. x-y=1 xy=2 3.关于x,y的二元二次方程组 x2+y=2 2x+y=m 有且 只有一组实数解,则m 的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.二元二次方程组 (x+1)(y+2)=0 y=x2 的解的 个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.若二元二次方程组 3x+y=3 2x-y=7 的解是某个一 元二次方程的两个根,则这个一元二次方程 为 . 6.若方程组 mx2+ny2=2 3x+2y=1 是关于x,y 的二元 二 次 方 程 组,则 m,n 需 满 足 的 条 件 是 . 7.由一个二元一次方程和一个二元二次方程所 组成的二元二次方程组最多有 组解. 8.二 元 二 次 方 程 组 x2-y2-2x+1=0 x-2y=0 的 解 是 . 9.若方程组 2x2+mym 2 -2m-1=2 5x2-3xy=4 是二元二次 方程组,求m 的值. 10.若二元二次方程组 x2-y2=1 y=k(x-2)+1 有唯一 解,求实数k的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 032 [针对训练2-2] 解:x+ y x- y - x- y x+ y = (x+ y)2 (x- y)(x+ y) - (x- y)2 (x+ y)(x- y) = (x+ y)2 x-y - (x- y)2 x-y =4 xyx-y. 当x=2+ 3,y=2- 3时,原式 4 2+ 3-2+ 3 =2 3 =2 33 . 衔接点3 例3 解:移项得 3x+6=2x+1, 两边平方得3x+6=4x2+4x+1, 移项、合并同类项得4x2+x-5=0, 解方程得x=-54 或x=1. 检验:把 x= - 54 代 入 原 方 程,左 边≠右 边,所 以 x=-54 是增根;把x=1代入原方程,左边=右边, 所以原方程的解是x=1. 【规律方法】含未知数的二次根式恰有一个的无理方程 的一般步骤:①移项,使方程的左边只保留含未知数的 二次根式,其余各项均移到方程的右边;②两边同时平 方,得到一个整式方程;③解整式方程;④验根. [针对训练3-1] 解:原 方 程 可 化 为 3x-2=3- x+3,两边平方得3x-2=9-6 x+3+x+3, 整理得6 x+3=14-2x⇒3 x+3=7-x,两边平方 得9(x+3)=49-14x+x2,整理得x2-23x+22=0, 解得x=1或x=22. 检验:把x=1代入原方程,左边=右边,所以x=1是 原方程的根;把x=22代入原方程,左边≠右边,所以x =22是增根.所以原方程的解是x=1. 衔接训练 1.B 解析:负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数,正数的 任何次幂都是正数,故B正确. 2.C 解析:因为a>0,所以x≥0,所以 -ax3= -x -ax. 3.D 解析:a-b a+b = (a-b)2 (a+b)(a-b) =a+b-2aba-b . 4.C 解析:因为x2+y2=1,所以-1≤x≤1,-1≤y≤ 1,因为 xy-2x+y-2= (x+1)(y-2), 其中y-2<0,所以x+1≤0,又因为-1≤x≤1, 所以x+1=0,x= -1,所 以 y=0,所 以 原 式 = (x-1)2+ (x+1)(y-2)=2+0=2. 5.D 解析:因为x= 7-2, 所以x2=(7-2)2=(7)2-2×7×2+22=7-47+4 =11-4 7, 则原式=x2(x2+8x+16)=x2(x+4)2=(11-4 7) (7-2+4)2=(11-4 7)(2+ 7)2 =(11-4 7)(11+4 7)=112-(4 7)2 =121-112=9. 6.±8 4 ±2 解析:(±8)2=64,43=64,(±2)6 =64. 故64的平方根是±8,立方根是4,六次方根是±2. 7.±2 5 解析:因为xy=5,所以x,y同号, 当x,y同正时,原式= xy+ xy=2 5;当x,y同负 时,原式=- xy- xy=-2 5. 8.解:(1)2 2a 3b =2 2a · 2a 2b· 2a = 4a 3 2ab . (2)x- xx = (x- x)(x+ x) x(x+ x) = x 2-x x(x+ x) =x-1 x+ x . 9.解:(1)原式= (a-1)-2 a-1+1=| a-1-1| =1- a-1. (2)当n为偶数时,原式=|a-b|+|a+b|=b-a-a- b=-2a; 当n为奇数时,原式=a-b+a+b=2a. 10.解:由题意得 m2-4≥0, 4-m2≥0, 解得m=±2,又m-2≠0, 所以m=-2,所以n= 2-4=- 1 2. 所以 mn= -2· -12 =1. 第七讲 简单的二元二次方程组 归纳初中知识 回顾训练 1.D 解析:解方程组 2x+y=14 -3x+2y=21 得 x=1 , y=12. 又因为 二元一次方程组 2x+y=14 -3x+2y=21 的解为 x=a , y=b, 所以a =1,b=12,所以a+b=13.故选D. 2.A 解析:解方程组 x=y+5 2x-y=5 得 x=0 , y=-5, 故x+y= -5,代入方程x+y+a=0中,得-5+a=0,即a=5. 故选A. 3.A 解析:解方程组 5x+y=3 x-2y=5 得 x=1 , y=-2, 代入方程组 ax+5y=4, 5x+by=1, 得 a-10=4 , 5-2b=1, 解得 a=14 , b=2, 故选A. 4.y=3x-5 解析:因为3x-y=5,所以y=3x-5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 068 5.2或-12 解析:因为 x+y=1-m , ① x-3y=5+3m,② 所以①-②得4y=-4-4m,所以y=-1-m. 将y=-1-m 代入①得x=1-m+1+m=2, 所以当m 与x 相等时,m=x=2,当m 与y 相等时,m =y=-1-m,解得m=-12. 所以m=2或-12. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解析:由②,得x=5-2y. ③ 将③代入①,得3(5-2y)-2y=7, 即15-6y-2y=7,解得y=1. 把y=1代入③,得x=3. 所以原方程组的解是 x=3, y=1. 【规律方法】此题方程②的系数较简单,且方程②中未 知数x的系数是1,因此考虑将方程②变形,并用含y 的代数式表示x.用代入消元法解二元一次方程组,需 先观察方程组的系数特点,判断消去哪个未知数较为 简单.代入消元时,要注意所代代数式的整体性,必要 时可添加括号,以避免符号错误. [针对 训 练 1-1] 解:(方 法 一)① ×3,② ×2,得 15m+6n=3, ③ -14m+6n=32.④ ③-④,得29m=-29,解得m= -1.将m=-1代入①,得-5+2n=1,解得n=3. 所以原方程组的解为 m=-1, n=3. (方法二)①×7,②×5,得 35m+14n=7, ③ -35m+15n=80.④ ③+④,得29n=87,解得n=3. 把n=3代入①,得5m+6=1,解得m=-1. 所以原方程组的解为 m=-1, n=3. 例1-2 解:②×3+③,得11x+10z=35.④ 联立方程组 3x+4z=7, ① 11x+10z=35,④ 解得 x=5,z=-2, 把x=5, z=-2代 入 ②,得2×5+3y-2=9,解 得y=13. 所以 x=5, y=13 , z=-2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 【规律方法】此题方程①中只含两个未知数,可以考虑 用加减法,设法先消y,由三元一次方程组得到二元一 次方程组,进而求解.用加减消元法解三元一次方程 组,需先观察方程组的系数特点,判断消去哪个未知数 较为简单. [针对训练1-2] 解:①+③,得5x+6y=17,④ ②+③×2,得5x+9y=23,⑤ ④与⑤ 组 成 方 程 组 5x+6z=17, 5x+9y=23, 解 这 个 方 程 组,得 x=1, y=2, 把x=1,y=2代入③得2×1+2×2-z=3, 所以z=3,所以 x=1, y=2, z=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 衔接点2 例2-1 解:由①得y=2x,③将③代入②,得x2-(2x)2 +3=0,解得x1=1或x2=-1,把x=1代入③,得y2 =2;把x=-1代入③,得y2=-2. 所以原方程组的解是 x1=1 y1=2 或 x1=-1, y1=-2. 【规律方法】(1)解由一个二元一次方程和一个二元二 次方程组成的方程组的步骤: 第一步:由二元一次方程变形为用x表示y 的方程,或 用y表示x 的方程③. 第二步:把方程③代入二元二次方程,得一个一元二次 方程. 第三步:解消元后得到的一元二次方程. 第四步:把一元二次方程的根,代入变形后的二元一次 方程③,求相应的未知数的值. (2)消x还是消y,应由二元一次方程的系数来决定. 若系数均为整数,那么最好消去系数绝对值较小的,如 x-2y+1=0,可以消去x,变形得x=2y-1,再代入 消元. (3)消元后,求出一元二次方程的根,应代入二元一次 方程求另一未知数的值,不能代入二元二次方程求另 一未知数的值,因为这样可能产生增根,这点注意. [针对训练2-1] 解:由②得x=2y+2,③将③代入①, 得8y2+8y=0, 即y(y+1)=0,解得y1=0,y2=-1. 把y1=0代入③,得x1=2; 把y2=-1代入③,得x2=0. 所以原方程组的解是 x1=2 y1=0 或 x2=0, y2=-1. 例2-2 解:根据一元二次方程的根与系数的关系,把 x,y看成是方程z2-9z+18=0的两根,解方程得z= 3或z=6. 所以原方程组的解是 x1=3 y1=6 或 x2=6, y2=3. 【规律方法】对于形如 x+y=a xy=b 的方程组,可以根据一 元二次方程根与系数的关系,将x,y看作一元二次方 程z2-az+b=0的两个根,求得的z1 和z2 的值,就是 x,y的值,当x1=z1 时,y1=z2;当x2=z2 时,y2=z1, 所以原方程组的解是两组“对称解”. [针对训练2-2] 解:(方法一)由①,得x=7-y.③ 把③代入②,整理得y2-7y+12=0, 解这个方程,得y1=3,y2=4. 把y1=3代入③,得x1=4;把y2=4代入③,得x2=3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 069 所以原方程的解是 x1=4 y1=3 或 x2=3, y2=4. (方法二)根据一元二次方程的根与系数的关系,把x, y看作一元二次方程z2-7z+12=0的两个根,解方程 得z=3或z=4. 所以原方程组的解是 x1=4 y1=3 或 x2=3, y2=4. 衔接点3 例3 解:①-②×3得x2+xy-3(xy+y2)=0, 即x2-2xy-3y2=0⇒(x-3y)(x+y)=0,所以x- 3y=0或x+y=0, 所以原方程组可化为两个二元一次方程组 x-3y=0 xy+y2=4 或 x+y=0 , xy+y2=4. 用代 入 法 解 这 两 个 方 程 组,得 原 方 程 组 的 解 是 x1=3 y1=1 或 x2=-3, y2=-1. 【规律方法】(1)若方程组的两个方程均缺一次项,则消 去常数项,得到一个二元二次方程.此方程与原方程组 中的任一个方程联立,得到一个可因式分解型的二元 二次方程组. (2)对称型方程组,如 x2+y2=a, x+y=b, x 2+y2=a, xy=b, 都可 以通过变形转化为 x+y=m xy=n 的形式,通过构造一元二 次方程求解. [针对训练3-1] 解:①+②×2得x2+y2+2xy=36, 即(x+y)2=36,所以x+y=6或x+y=-6. ①-②×2得x2+y2-2xy=16,即(x-y)2=16,所以 x-y=4或x-y=-4.解此四个方程组,得原方程组 的解是 x1=5 y1=1 或 x2=1 y2=5 或 x3=-1 y3=-5 或 x4=-5, y4=-1. 衔接训练 1.C 解析:依题意得x=3-y,所以xy=(3-y)y= -10, 即-y2+3y+10=0, 解得y1=5,y2=-2, 所以方程组的解为 x1=5 y1=-2 或 x2=-2, y2=5. 2.C 解析:A,B,D中的方程组均含有两个未知数,并且 未知数的次数是2,故均为二元二次方程组,不符合题 意;C中含有三个未知数,故是三元二次方程组,故本 选项符合题意. 3.C 解析:将两式相减,可得x2-2x=2-m,整理得x2 -2x+m-2=0,由题可得(-2)2-4(m-2)=0,解得 m=3. 4.A 解析:解方程组 (x+1)(y+2)=0, ① y=x2, ② 将②代入①,得(x+1)(x2+2)=0, 因为x2+2>0, 所以x+1=0,即x=-1, 将x=-1代入②得,y=1 所以方程组的解为 x=-1, y=1. 5.x2+x-6=0 解析:方程组 3x+y=3 2x-y=7 的解为 x=2 , y=-3. 因为x+y=2+(-3)=-1,xy=2×(-3)=-6, 所以以2和-3为根的一元二次方程可为x2-(-1)x -6=0,即x2+x-6=0. 6.m,n不能同时为0 解析:当m≠0,n≠0时,方程组是 关于x,y的二元二次方程组; 当m=0,n≠0时,方程组是关于x,y 的二元二次方 程组; 当m≠0,n=0时,方程组是关于x,y 的二元二次方 程组. 综上可知,m,n不能同时为0. 7.两 解析:把二元一次方程变形后代入二元二次方程, 得到关于某一个未知数的一元二次方程, 由根的判别式可知,方程有两个不等实数根或两个相 等实数根或没有实数根. 所以一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的 二元二次方程组可能有两个解或两个相同的解(可以 看作一个解)或没有解. 所以一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的 二元二次方程组最多有两组解. 8. x1=2 y1=1 或 x2= 2 3 y2= 1 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解析:解方程组 x2-y2-2x+1=0,① x-2y=0, ② 由②得x=2y, ③代入①整理得3y2-4y+1=0, 解得y=1或y=13 ,代入③,得x=2或x=23. 故方程组的解为 x1=2 y1=1 或 x2= 2 3 , y2= 1 3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 9.解:根据题意,m2-2m-1=0或m2-2m-1=1或m2 -2m-1=2, 解m2-2m-1=0,得m=1± 2, 解m2-2m-1=1,得m=1± 3, 解m2-2m-1=2,得m=3或-1. 综上,m 的值为1± 2,1± 3,3或-1. 10.解: x2-y2=1, ① y=k(x-2)+1, ② 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 070 把②代入①得x2-[k(x-2)+1]2=1, 整理得(1-k2)x2+2k(2k-1)x-4k2+4k-2=0, 当1-k2=0,即k=±1时,关于x的方程变形为一元 一次方程,方程有一个解; 当1-k2≠0,即k≠±1时,关于x的方程变形为一元 二次方程, 当Δ=0时,方程有两组相同的解,即[2k(2k-1)]2- 4(1-k2)(-4k2+4k-2)=0, 整理得3k2-4k+2=0,此方程无实数根, 所以当k=1或-1时,原方程组有唯一解. 第八讲 二次函数的图象与性质 归纳初中知识 回顾训练 1.D 解析:A.由直线与y轴的交点在y 轴的负半轴上 可知,n2<0,A项错误; B.由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知, m>0,由直线可知,-m>0,B项错误; C.由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知, m<0, 由直线可知,-m<0,C项错误; D.由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知, m<0,由直线可知,-m>0,D项正确. 2.B 解析:抛 物 线y=x2-2x+4的 对 称 轴 为 x= - -22×1=1. A.y=4x2+2x+1的对称轴为- 22×4=- 1 4 ,不符合 题意; B.y=2x2-4x+1的对称轴为- -42×2=1 ,符合题意; C.y=2x2-x+4的 对 称 轴 为- -12×2= 1 4 ,不 符 合 题意; D.y=x2-4x+2的对称轴为- -42×1=2. 不符合题意; 故选B. 3.A 解析:因为y=-2x2+4x-3=-2(x-1)2-1, 所以抛物线开口向下,对称轴为x=1, 所以当x≥1,y随x 的增大而减小,故选A. 4.y=-x2+4x(答案不唯一,只要满足b=-4a,a<0即 可) 解析:由(1)知a<0,由(2)知抛物线的对称轴为x=2. 可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+h(a<0). 当a=-1,h=4时,抛物线的解析式为y=-(x-2)2 +4=-x2+4x(答案不唯一). 5.(2,-4) 解析:因为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经 过(0,4)、(4,4)两点, 所以对称轴x=0+42 =2. 所以顶点坐标为(2,-4). 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:因为y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4, 所以函数图象开口向下; 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标为(-1,4); 当x=-1时,函数y取最大值y=4; 当x<-1时,y随着x 的增大而增大;当x>-1时,y 随着x 的增大而减小; 采用描点法画图,选顶点A(-1,4),与x轴交于点B 2 3-33 ,0 和C -2 3+33 ,0 ,与y轴的交点为D (0,1),过这四点画出图象(如图所示). 【规律方法】从这个例题可以看出,根据配方后得到的 性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点 的盲目性,使画图更简便、图象更精确. [针对训练1-1] 解:二次函数y=2x2-4x-3的解析 式可变为y=2(x-1)2-1,其顶点坐标为(1,-1). (1)把函数y=2(x-1)2-1的图象向右平移2个单位 长度,向下平移1个单位长度后,其函数图象的顶点坐 标是(3,-2),所以平移后所得到的函数图象对应的函 数表达式为y=2(x-3)2-2. (2)把函数y=2(x-1)2-1的图象向上平移3个单位 长度,向左平移2个单位长度后,其函数图象的顶点坐 标是(-1,2),所以平移后所得到的函数图象对应的函 数表达式为y=2(x+1)2+2. 衔接点2 例2-1 解:(方法一)因为f(x)为二次函数, 所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(2)=f(-1)=-1,且f(x)的最大值是9,得 4a+2b+c=-1, a-b+c=-1, 4ac-b2 4a =8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解方程得 a=-4, b=4, c=7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 从而 f(x)=-4x2+4x+7. (方法二)因为f(x)为二次函数,f(2)=f(-1), 所以二次函数y=f(x)图象的对称轴为 x=2+ (-1) 2 = 1 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 071