第六讲 二次根式与简单的无理方程-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

❘第六讲❘ 二次根式与简单的无理方程 一、概念 一般地,形如 a(a≥0)的代数式叫做二次 根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式 子称为无理式.例如3a+ a2+b+2b,b2+b2 等是无理式,而 2x2+ 22x+1 ,x2+ 2xy+y2, a2等是有理式. 二、分母有理化 把分母中的根号化去,叫做分母有理化.为 了进行分母有理化,需要引入有理化因式的概 念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们 的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互 为有理化因式,例如2与2,3 x与 x等. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分 母的有理化因式,化去分母中根号的过程. 三、二次根式的化简与运算 在二次根式的化简与运算过程中,二次根 式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运 用公式 ab= ab(a≥0,b≥0);而对于二次根 式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分 母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项 式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与 合并同类二次根式. 四、二次根式 a2的意义 a2=|a|= a,a≥0 -a,a<0 1.下列方程中,不是无理方程的是 ( ) A.x+1=x B.2x+ 3=1 C.x2+2- x-1=1D.2x+ 3-x=1 2.使得式子 x 4-x 有意义的x 的取值范围是 ( ) A.x≥4 B.x>4 C.x≤4 D.x<4 3.下列说法正确的是 ( ) A.方程x= 2x+3的根是x=-1和3 B.方程 x2-2x+1-4=0的根是x=5 C.方程 x-1=7-x的根是x=10 D.方程 2y+3=-y的根是y=-1 4.方程 3 x= 6 1+ 3 x 的根是 . 5.一般地,要让式子 a是有意义,需要满足的条 件是 ,即a是一个 数;又因 为 a 代 表 的 是 a 的 ,所 以 a 0,即 a也是一个 数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 五、分子有理化 把分子中的根号化去,叫做分子有理化.分 子有理化是分母和分子都乘以分子的有理化因 式,化去分子中的根号的过程. 初中阶段对分母有理化的考查比较多,在 高中阶段还可能遇到分子有理化的情形. 六、分母(子)有理化类型的扩展 初中阶段一般只需要掌握住a x与 x类 型的互为有理化因式,在高中阶段实际上也会 用到a x+b y与a x-b y,a x+b与a x-b互为有理化因式,如 3+ 6与 3- 6, 2 3-3 2与2 3+3 2等等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 024 七、复合二次根式 一般地,我们把二次根式中套叠着二次根 式的 式 子 叫 做 复 合 二 次 根 式,如 6+7a, 5a- x,a- b+3c都是复合二次根式. 复合二次根式化简需要灵活运用二次根式 的性质和运算法则,其基本方法有三种. 1.平方法: 先将复合二次根式平方并化简,再将结果开 方,求得原式的值. 2.配方法: 如将 a+2b中a+2b能配成(x+ y)2 (x>0,y>0,x>y),这样就可以把原复合二 次根式化为 x+ y. 3.待定系数法: 先根据复合二次根式的特点,假设原式能化 为几个简单二次根式的和或差,再通过平方、 化简,比较系数求出结果. 万能变形公式:复合二次根式 A± B的恒 等 变 形 公 式 是 A± B = A+ A 2-B 2 ± A- A 2-B 2 , 其中A>0,B>0,A2-B>0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点1 根式的简化 将下列式子化为最简二次根式: (1)12b; (2)a2b(a≥0); (3)4x6y(x<0). [针对训练1-1] 化简:(1-x)2+ (2-x)2 (x≥1). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 025 (1)若 (5-x)(x-3)2=(x-3)5-x, 则x的取值范围是 . (2)等式 xx-2= x x-2 成立的条件是 ( ) A.x≠2 B.x>0 C.x>2 D.0<x<2 [针对训练1-2] (1)4 24-6 54+3 96- 2 150= . (2)若 b = a 2-1+ 1-a2 a+1 ,则 a +b = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点2 有理化因式和分母有理化 计算: 3 3- 3 . 化简:(3+ 2)2022·(3- 2)2023. 化简:(1)9-4 5; (2)x2+1 x2 -2(0<x<1). [针对训练2-1] 1- 3 1+ 3 = . [针对训练2-2] 已知x=2+ 3,y=2- 3, 求 x+ y x- y - x- y x+ y 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 026 衔接点3 无理方程的解法 解方程:3x+6-2x=1. [针对训练3-1] 解方程:3x-2+ x+3 =3. 1.下列说法正确的是 ( ) A.正数有一个偶次方根 B.负数没有偶次方根 C.负数有两个奇次方根 D.正数有两个奇次方根 2.当a>0时,- ax3= ( ) A.x ax B.x -ax C.-x -ax D.-x ax 3.把 a-b a+b (a≠b)分母有理化的结果是( ) A.-1 B.a+ba-b C.a+b-2aba-b D. a+b-2ab b-a 4.若 x2 + y2 = 1,则 x2-2x+1 + xy-2x+y-2的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知x= 7-2,x4+8x3+16x2的值为 ( ) A.11- 7 B.7+3 C.3 D.9 6.64的平方根是 ,立方根是 , 六次方根是 . 7.已 知 xy=5,则 x yx +y x y 的 值 为 . 8.把下列各式中的分子有理化: (1)2 2a 3b ;(2)x- xx . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 027 9.化简:(1)a-2 a-1(1<a<2); (2) n (a-b)n+ n (a+b)n(a<b<0,n>1,n∈ N*). 10.设 m,n 是 实 数,且 满 足 n = m2-4+ 4-m2+2 m-2 ,求 mn的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第七讲❘ 简单的二元二次方程组 一、一元一次方程、一元二次方程及二元一次方 程(组) 1.只含有一个未知数,且含有未知数的项的最 高次数是1的整式方程,叫做一元一次方程. 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做一 元一次方程的解. 标准形式:ax+b=0(a≠0). 常见解法:①移项ax=-b;②两边同时乘1a 得解x=-ba. 2.只含有一个未知数,且含有未知数的项的最 高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程. 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做一 元二次方程的解. 标准形式:ax2+bx+c=0(a≠0). 常见解法:直接开平方法、配方法、公式法、因 式分解法. 3.含有两个未知数,且含有未知数的项的次数 都是1的整式方程,叫做二元一次方程.使方 程左右两边相等的一对未知数的值,叫做二 元一次方程的一个解,二元一次方程有无数 个解. 标准形式:Ax+By+C=0(其中A,B,C 为 常数,且AB≠0). 把两个(或两个以上)含有相同未知数的二元 一次方程联合在一起,那么这两个方程就构 成了一个二元一次方程组.两个二元一次方 程的公共解,叫做二元一次方程组的解. 标准形式: A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 (其中A1,B1, C1,A2,B2,C2为常数). 常见解法:代入消元法、加减消元法. 1.若二元一次方程组 2x+y=14 -3x+2y=21 的解为 x=a y=b 则a+b值为 ( ) A.19 B.212 C.7 D.13 2.方程组 x=y+5 2x-y=5 的解满足方程x+y+a= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 028 =12 1 n(n+1)- 1 (n+1)(n+2) =12 1n- 1n+1 - 1n+1- 1n+2 =12 1n- 1n+1 -12 1n+1- 1n+2 所以 1 1×2×3+ 1 2×3×4+ …+ 1n(n+1)(n+2) =12 1- 1n+1 - 12 12 - 1n+2 = 14 - 12n+2 - 12n+4 , 又n是正整数,所以 12n+2+ 1 2n+4 一定为正数, 所以1 4- 1 2n+2- 1 2n+4< 1 4 ,不等式得证. 第六讲 二次根式与简单的无理方程 归纳初中知识 回顾训练 1.B 解析:根号下没有未知数的方程不是无理方程,即 2x+ 3=1不是无理方程.故选B. 2.D 解析:使得式子 x 4-x 有意义,则4-x>0,解得x <4. 3.D 解析:x= 2x+3,x2=2x+3,x2-2x-3=0,(x -3)(x+1)=0,解得x1=3,x2=-1, 因为x≥0,x=3,A选项错误; x2-2x+1-4=0,x2-2x+1=16,x2-2x-15=0, (x-5)(x+3)=0,x1=5,x2=-3,经检验,x1=5,x2 =-3是方程的解,故B选项错误; x-1=7-x,x-1=(7-x)2,x2-15x+50=0, (x-5)(x-10)=0, 解得x1=5,x2=10,经检验,x1=5,x2=10是原方程 的解,故C选项错误; 2y+3=-y,y2-2y-3=0,(y-3)(y+1)=0,解得 y1=3,y2=-1, 因为-y≥0,所以y≤0,所以y=-1,D选项正确. 综上,故选D. 4.x=-27或x=8 解析:令 3 x=t,原方程可化为t= 6 1+t ,则t(1+t)=6, 整理得t2+t-6=0,(t+3)(t-2)=0,解得t1=-3, t2=2, 当t=-3时,则 3 x=-3,解得x=-27, 当t=2时,则 3 x=2,解得x=8, 则原方程的根是x=-27或x=8. 5.a≥0 非负 算术平方根 ≥ 非负 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1) 12b=2 3b.(2)a2b=|a|b=ab(a≥ 0).(3)4x6y=2|x3|y=-2x3 y(x<0). 【规律方法】注意性质 a2=|a|的使用:当化去绝对值 符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论. [针对训 练 1-1] 解:原 式 =|x-1|+|x-2| = (x-1)+(x-2)=2x-3, x>2 (x-1)-(x-2)=1, 1≤x≤2 例1-2 (1)3≤x≤5 (2)C 解析:(1) (5-x)(x-3)2=|x-3| 5-x=(x- 3) 5-x, 因为|x-3|=(x-3),所以(x-3)≥0,所以x≥3,又 x≤5,所以3≤x≤5. (2)由于 x≥0, x-2>0, 所以x>2.故选C. 【规律方法】解题时要注意二次根式有意义的条件,同 时注意去掉根式时被开方数的符号问题. [针对训练1-2] (1)-8 6 (2)1 解析:(1)4 24-6 54+3 96-2 150=8 6- 18 6+12 6-10 6=-8 6. (2)因为 a2-1≥0, 1-a2≥0, a+1≠0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以a=1,此时b=0+02 =0 , 所以a+b=1. 衔接点2 例2-1 解:(方 法 一) 3 3- 3 = 3 ·(3+ 3) (3- 3)(3+ 3) = 3 3+3 9-3 = 3(3+1) 6 = 3+1 2 . (方 法 二 ) 3 3- 3 = 3 3(3-1) = 1 3-1 = 3+1 (3-1)(3+1) = 3+12 . 例2-2 解:原式=(3+ 2) 2022·(3- 2) 2022· (3- 2) = (3+ 2)·(3- 2) 2022·(3- 2) =12022·(3- 2)= 3- 2. 例2-3 解:(1)原式= 5+4 5+4 = (5) 2 +2×2× 5+22 = (2- 5) 2 =|2- 5|= 5-2. (2)原式= x-1x 2 = x-1x ,因为0<x<1,所以 1 x>1>x ,所以原式=1x-x. 【规律方法】解决与二次根式化简求值的有关问题时, 关键要明确二次根式化简求值的方法和分母有理化的 方法. [针对训练2-1] 3-2 解析:1- 3 1+ 3 = (1- 3) 2 (1+ 3)(1- 3) =4-2 31-3 = 3-2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 067 [针对训练2-2] 解:x+ y x- y - x- y x+ y = (x+ y)2 (x- y)(x+ y) - (x- y)2 (x+ y)(x- y) = (x+ y)2 x-y - (x- y)2 x-y =4 xyx-y. 当x=2+ 3,y=2- 3时,原式 4 2+ 3-2+ 3 =2 3 =2 33 . 衔接点3 例3 解:移项得 3x+6=2x+1, 两边平方得3x+6=4x2+4x+1, 移项、合并同类项得4x2+x-5=0, 解方程得x=-54 或x=1. 检验:把 x= - 54 代 入 原 方 程,左 边≠右 边,所 以 x=-54 是增根;把x=1代入原方程,左边=右边, 所以原方程的解是x=1. 【规律方法】含未知数的二次根式恰有一个的无理方程 的一般步骤:①移项,使方程的左边只保留含未知数的 二次根式,其余各项均移到方程的右边;②两边同时平 方,得到一个整式方程;③解整式方程;④验根. [针对训练3-1] 解:原 方 程 可 化 为 3x-2=3- x+3,两边平方得3x-2=9-6 x+3+x+3, 整理得6 x+3=14-2x⇒3 x+3=7-x,两边平方 得9(x+3)=49-14x+x2,整理得x2-23x+22=0, 解得x=1或x=22. 检验:把x=1代入原方程,左边=右边,所以x=1是 原方程的根;把x=22代入原方程,左边≠右边,所以x =22是增根.所以原方程的解是x=1. 衔接训练 1.B 解析:负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数,正数的 任何次幂都是正数,故B正确. 2.C 解析:因为a>0,所以x≥0,所以 -ax3= -x -ax. 3.D 解析:a-b a+b = (a-b)2 (a+b)(a-b) =a+b-2aba-b . 4.C 解析:因为x2+y2=1,所以-1≤x≤1,-1≤y≤ 1,因为 xy-2x+y-2= (x+1)(y-2), 其中y-2<0,所以x+1≤0,又因为-1≤x≤1, 所以x+1=0,x= -1,所 以 y=0,所 以 原 式 = (x-1)2+ (x+1)(y-2)=2+0=2. 5.D 解析:因为x= 7-2, 所以x2=(7-2)2=(7)2-2×7×2+22=7-47+4 =11-4 7, 则原式=x2(x2+8x+16)=x2(x+4)2=(11-4 7) (7-2+4)2=(11-4 7)(2+ 7)2 =(11-4 7)(11+4 7)=112-(4 7)2 =121-112=9. 6.±8 4 ±2 解析:(±8)2=64,43=64,(±2)6 =64. 故64的平方根是±8,立方根是4,六次方根是±2. 7.±2 5 解析:因为xy=5,所以x,y同号, 当x,y同正时,原式= xy+ xy=2 5;当x,y同负 时,原式=- xy- xy=-2 5. 8.解:(1)2 2a 3b =2 2a · 2a 2b· 2a = 4a 3 2ab . (2)x- xx = (x- x)(x+ x) x(x+ x) = x 2-x x(x+ x) =x-1 x+ x . 9.解:(1)原式= (a-1)-2 a-1+1=| a-1-1| =1- a-1. (2)当n为偶数时,原式=|a-b|+|a+b|=b-a-a- b=-2a; 当n为奇数时,原式=a-b+a+b=2a. 10.解:由题意得 m2-4≥0, 4-m2≥0, 解得m=±2,又m-2≠0, 所以m=-2,所以n= 2-4=- 1 2. 所以 mn= -2· -12 =1. 第七讲 简单的二元二次方程组 归纳初中知识 回顾训练 1.D 解析:解方程组 2x+y=14 -3x+2y=21 得 x=1 , y=12. 又因为 二元一次方程组 2x+y=14 -3x+2y=21 的解为 x=a , y=b, 所以a =1,b=12,所以a+b=13.故选D. 2.A 解析:解方程组 x=y+5 2x-y=5 得 x=0 , y=-5, 故x+y= -5,代入方程x+y+a=0中,得-5+a=0,即a=5. 故选A. 3.A 解析:解方程组 5x+y=3 x-2y=5 得 x=1 , y=-2, 代入方程组 ax+5y=4, 5x+by=1, 得 a-10=4 , 5-2b=1, 解得 a=14 , b=2, 故选A. 4.y=3x-5 解析:因为3x-y=5,所以y=3x-5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 068