第五讲 分式与分式方程-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

9.已知实数x,y满足x2+y2-xy+2x-y+1 =0,试求x,y的值. 10.已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4 =0有两个实数根,并且这两个实数根的平 方和比两个根的积大21,求m 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第五讲❘ 分式与分式方程 一、可化为一元一次方程的分式方程 1.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程 叫分式方程. 2.解分式方程的数学思想:根据分式方程的不 同条件,将其转化为整式方程.解题方法主要 使用的数学转化的思想方法. 3.初中阶段学习要求:需掌握可化为一元一次 方程的分式方程的解法. 4.解可化为一元一次分式方程的一般步骤: (1)去分母(关键是确定分母的最简公分母) (2)去括号 (3)移项 (4)合并同类项 (5)系数化为1 (6)检验:把求出的整式方程的根代入最简公 分母检验.若使最简公分母等于0,则是原方 程的增根,增根必须舍去;若使最简公分母不 等于0,则是原方程的解. 5.解分式方程与解整式方程不同.①分式方程 比整式方程多了一步:去分母.②最大的区别 是分式方程可能产生增根,所以必须验根.产 生增根的原因是分式方程本身隐含着分母不 为零的条件,当把分式方程转化成整式方程 后,方程中未知数的取值范围扩大了,如果转 化后整式方程的根恰好使原分式方程中分母 的值为0,那么就会出现不适合原方程的根, 即增根.③解分式方程去分母转化成整式方 程来求解,体现了数学转化的思想方法. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 020 1.计算 2xy2 3· 2yx 2 ÷ -2yx 的结果是 ( ) A.-8x 3 y6 B.8x 3 y6 C.-16x 2 y5 D.16x 2 y5 2.计算 a-b 2 a ÷a-ba 的结果是 ( ) A.a-b B.a+b C.1a-b D. 1 a+b 3.下列计算正确的是 ( ) A.a 2 b5 ·b 3 a5 =b 3 a3 B.ab ·d c= ac bd C.7b 2a2 ·8a 3 7b2 =4a b2 D.a·ba ·1 a= b a 4.若ab=3 ,则a 2-ab+b2 a2+b2 . 5.已知分式x 2-y2 x 乘以一个分式后结果为 - (x-y)2 x ,则这个分式为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二、可化为一元二次方程的分式方程 高中数学学习中需要进一步掌握可化为一元二 次方程的分式方程的解法,并采用同样的方式 检验增根.在高中阶段只要求掌握不超过三个 分式构成的分式方程的解法.常用的解可化为 一元二次方程的分式方程方法有: (1)去分母法:将分式方程两边同乘以同一个含 有未知数的整式(各分式的最简公分母),约去 分母,从而将分式方程化为整式方程; (2)换元法:根据分式方程的特点用换元法将分 式方程转化为整式方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点1 解分的化简与求值 (1)代数式 1 1+ 1x+1 有意义,则x需要满 足的条件是 . (2)若 5x+4x(x+2)= A x + B x+2 ,求 常 数 A,B 的值. [针对训练1-1] (1)已知x+1x =2 ,求 x2 x4+x2+1 的值. (2)设e=ca ,且e>1,2c2-5ac+2a2=0,求e 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021 衔接点2 裂项相消 (1)试证: 1n(n+1)= 1 n- 1 n+1 (其中n是 正整数); (2)计算:11×2+ 1 2×3+ …+ 19×10 ; (3)证明:对任意大于1的正整数n,有 12×3 + 13×4+ …+ 1n(n+1)< 1 2. [针对训练2-1] (1)证明: 1(2n-1)(2n+1)= 1 2 12n-1- 12n+1 (其中n是正整数); (2)证明:对任意大于1的正整数n,有 11×3 + 13×5+ …+ 1(2n-1)(2n+1)< 1 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点3 多项式除以多项式 计算:(x4-3x)÷(3-x2). [针对训练3-1] 计算: (1)(3x3+10x2+13x-27)÷(x2+2x-3). (2)(2x2+x3-2)÷(x2-1). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 022 1.如果分式 (x+1)(x-1) (x-2)(x+1) 的值为零,那么x的 值是 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.±1 2.若k= ab+c= b a+c= c a+b ,则k的值等于 ( ) A.-1 B.-1或12 C.12 D. 不能确定 3.若a+b+c=0,则a 1b+1c +b 1c+1a + c 1a+1b +3的值为 ( ) A.1 B.-1 C.±1 D.0 4.若边长为a的正方形与长、宽分别为m,n的 矩形面积相等,则下列比例式中,不正确的是 ( ) A.ma= a n B.a+na = a+m m C.a-nm-a= n a D.a-1m+1= n-1 a+1 5.若2x-yx+y= 2 3 ,则x y= ( ) A.1 B.54 C. 4 5 D. 6 5 6.对任意的正整数n, 1n(n+2)= 1n- 1 n+2 . 7.计 算:1÷ yx 0 ÷ x 2 y ÷ - x y2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 -1 = . 8.正数x,y满足x2-y2=2xy,则x-yx+y 的值为 . 9.计算:11×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ …+ 199×100. 10.试 证:对 任 意 的 正 整 数n,有 11×2×3+ 1 2×3×4+ …+ 1n(n+1)(n+2)< 1 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 023 因为直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2- 8x+7=0的两个根, 所以a+b=--82 =4 ,ab=72 , 根据勾股定理可得 c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2×72=9. 所以c=3(负值舍去). 8.9或-3 解析:由根与系数的关系可知 x1+x2= k+1 2 ,x1x2= k+3 2 . 由已知两根之差为1,得|x1-x2|=1,即(x1-x2)2 =1. 则(x1+x2)2-4x1x2=1. 即 (k+1)2 4 -2 (k+3)=1, 解得k=-3或9. 9.解:可以把所给方程看作为关于x的方程,整理得x2- (y-2)x+y2-y+1=0, 由于x是实数,所以上述方程有实数根, Δ=[-(y-2)]2-4(y2-y+1)=-3y2≥0⇒y=0, 代入原方程得x2+2x+1=0⇒x=-1. 综上知,x=-1,y=0. 10.解:设x1,x2是方程的两根,由根与系数的关系得 x1+x2=-2(m-2),x1x2=m2+4. 因为x12+x22-x1x2=21, 所以(x1+x2)2-3x1x2=21, 即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21,化简得m2-16m -17=0,解得m=-1或m=17.当m=-1时,方程 为x2-6x+5=0,Δ>0,满足题意;当m=17时,方程 为x2+30x+293=0,Δ=302-4×1×293<0,不合 题意,舍去.综上,m=-1. 第五讲 分式与分式方程 归纳初中知识 回顾训练 1.C 解析: 2xy2 3 · 2yx 2 ÷ -2yx =8x 3 y6 ·4y 2 x2 ÷ -2yx =32xy4 · -x2y =-16x 2 y5 .故选C. 2.B 解析:原式=a 2-b2 a · a a-b=a+b. 故选B. 3.D 解析:a 2 b5 ·b 3 a5 = 1 a3b2 ,故A错误;ab ·d c = ad bc ,故B 错误;7b 2a2 ·8a 3 7b2 =4ab ,故C错误;a·ba ·1 a= b a ,故D 正确.故选D. 4.710 解析:因为a b =3 ,所以a=3b,则a 2-ab+b2 a2+b2 = 9b2-3b2+b2 9b2+b2 =710. 5.-x-yx+y 解析:由题意,得- (x-y)2 x ÷ x2-y2 x = - (x-y)2 x ÷ (x+y)(x-y) x = - (x-y)2 x · x (x+y)(x-y)=- x-y x+y. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)因为 1x+1+1≠0 且x+1≠0,解得x≠ -1且x≠-2. (2)因 为Ax + B x+2= A(x+2)+Bx x(x+2) = (A+B)x+2A x(x+2) = 5x+4x(x+2) , 所以 A+B=5, 2A=4, 解得A=2,B=3. 【规律方法】有条件的分式化简与求值时,既要瞄准目 标,又要抓住条件;既要根据目标变换条件,又要依据 条件来调整目标. [针对训练1-1] 解:(1)化简过程如下: x2 x4+x2+1 = 1 x2+1+1 x2 = 1 x+1x 2 -1 ,将x+1x=2 代入上式得原式 1 4-1= 1 3. (2)将2c2-5ac+2a2=0两边同除以a2, 得2e2-5e+2=0, 所以(2e-1)(e-2)=0, e=2或e=12 (舍去), e=2. 衔接点2 例 2-1 (1)证 明:因 为 1n - 1 n+1= (n+1)-n n(n+1) = 1n(n+1) , 所以 1 n(n+1)= 1 n- 1 n+1 (其中n是正整数)成立. (2)解:由(1)可知 1 1×2+ 1 2×3+ …+ 19×10= 1-12 + 12-13 +… + 19-110 =1-110=910. (3)证明:因为 12×3+ 1 3×4+ …+ 1n(n+1)= 12-13 + 13-14 +…+ 1n- 1n+1 =12- 1n+1, 又n≥2,且n是正整数,所以 1n+1 一定为正数, 所以 1 2×3+ 1 3×4+ …+ 1n(n+1)< 1 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 065 【规律方法】根据给出代数式的结构特征,将代数式的 最后的特征项分解为两个有关联的两项的差,转化便 于求解和的形式的代数式的结构形式. [针对训练2-1] 证明:(1)因为 1(2n-1)(2n+1)= 1 2× (2n+1)-(2n-1) (2n-1)(2n+1) =12× [ (2n+1)(2n-1)(2n+1)- (2n-1) (2n-1)(2n+1) ] =12 12n-1- 12n+1 , 所以 1(2n-1)(2n+1)= 1 2 12n-1- 12n+1 (其中n是 正整数)成立. (2)因为 11×3+ 1 3×5+ …+ 1(2n-1)(2n+1) =12 1-13 + 13-15 +…+ 12n-1- 12n+1 =12 1- 12n+1 =12- 14n+2, 又n≥1,且n是正整数,所以 12n+1 一定为正数, 1 1×3+ 1 3×5+ …+ 1(2n-1)(2n+1)< 1 2. 衔接点3 例3-1 解: 所以(x4-3x)=(3-x2)(-x2-3)+9-3x. 【规律方法】做竖式除法时,被除式、除式都要按同一字 母的降幂排列,缺项补零(除式的缺项也可以不补零, 但做其中的减法时,要同类项对齐),要特别注意,得到 每个余 式 的 运 算 都 是 减 法.结 果 表 示 为 被 除 式 = 除式×商式+余式. [针对训练3-1] 解:(1)(3x3+10x2+13x-27)÷(x2 +2x-3)=3x+4+ 14x-15 x2+2x-3 . (2)(2x2+x3-2)÷(x2-1)=x+2+ x x2-1 . 衔接训练 1.A 解析:由(x+1)(x-1)=0且(x-2)(x+1)≠0可 得x=1. 2.B 解析:由已知可得a=k(b+c),b=k(a+c),c=k(a +b),所以a+b+c=2k(a+b+c),当a+b+c=0时, 即a=-(b+c),所以k=-1;当a+b+c≠0时,k =12. 3.D 解析:充分运用a+b+c=0,并运用3=1+1+1= a a + b b + c c ,则原式=ab + a c + b c + b a + c a + c b + b b + c c + a a = (a+b+c)1a+ 1 b+ 1 c =0. 4.D 解析:由题意可得a2=mn,所以ma = a n ,A选项正 确;因为n a = a m ,所以1+na =1+ a m ,即a+n a = a+m m , B选项正确;因为a2=mn,所以a2-an=mn-an,即a (a-n)=n(m-a),所以a-nm-a= n a ,C选项正确.故 选D. 5.B 解析:因为2x-yx+y= 2 3 , 所以3(2x-y)=2(x+y), 即6x-3y-2x-2y=0, 4x-5y=0, 4x=5y, x y = 5 4. 6.12 解析:因为1 n- 1 n+2= n+2-n n(n+2)= 2 n(n+2) , 所以对任意的正整数n, 1 n(n+2)= 1 2 1n- 1n+2 . 7.-xy 解析:原式=1÷1÷ x2y × -y 2 x -1 =1÷(-xy)-1 =1÷ -1xy =1×(-xy) =-xy. 8.2-1 解析:因为x2-y2=2xy,x>0,y>0, 所以 xy 2 -1=2xy , 所以 xy 2 -2xy -1=0 , 所以x y =1+ 2 (负值舍去). 所以x-y x+y= x y-1 x y+1 =1+2-1 1+2+1 = 2 2+2 = 1 2+1 =2-1. 9.解:原式=1-12+ 1 2- 1 3+ …+199- 1 100=1- 1 100 =99100. 10.证明:因为 1n(n+1)(n+2)= 1 n+1 · 1 n(n+2) = 1n+1 · 1 2 1n- 1n+2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 066 =12 1 n(n+1)- 1 (n+1)(n+2) =12 1n- 1n+1 - 1n+1- 1n+2 =12 1n- 1n+1 -12 1n+1- 1n+2 所以 1 1×2×3+ 1 2×3×4+ …+ 1n(n+1)(n+2) =12 1- 1n+1 - 12 12 - 1n+2 = 14 - 12n+2 - 12n+4 , 又n是正整数,所以 12n+2+ 1 2n+4 一定为正数, 所以1 4- 1 2n+2- 1 2n+4< 1 4 ,不等式得证. 第六讲 二次根式与简单的无理方程 归纳初中知识 回顾训练 1.B 解析:根号下没有未知数的方程不是无理方程,即 2x+ 3=1不是无理方程.故选B. 2.D 解析:使得式子 x 4-x 有意义,则4-x>0,解得x <4. 3.D 解析:x= 2x+3,x2=2x+3,x2-2x-3=0,(x -3)(x+1)=0,解得x1=3,x2=-1, 因为x≥0,x=3,A选项错误; x2-2x+1-4=0,x2-2x+1=16,x2-2x-15=0, (x-5)(x+3)=0,x1=5,x2=-3,经检验,x1=5,x2 =-3是方程的解,故B选项错误; x-1=7-x,x-1=(7-x)2,x2-15x+50=0, (x-5)(x-10)=0, 解得x1=5,x2=10,经检验,x1=5,x2=10是原方程 的解,故C选项错误; 2y+3=-y,y2-2y-3=0,(y-3)(y+1)=0,解得 y1=3,y2=-1, 因为-y≥0,所以y≤0,所以y=-1,D选项正确. 综上,故选D. 4.x=-27或x=8 解析:令 3 x=t,原方程可化为t= 6 1+t ,则t(1+t)=6, 整理得t2+t-6=0,(t+3)(t-2)=0,解得t1=-3, t2=2, 当t=-3时,则 3 x=-3,解得x=-27, 当t=2时,则 3 x=2,解得x=8, 则原方程的根是x=-27或x=8. 5.a≥0 非负 算术平方根 ≥ 非负 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1) 12b=2 3b.(2)a2b=|a|b=ab(a≥ 0).(3)4x6y=2|x3|y=-2x3 y(x<0). 【规律方法】注意性质 a2=|a|的使用:当化去绝对值 符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论. [针对训 练 1-1] 解:原 式 =|x-1|+|x-2| = (x-1)+(x-2)=2x-3, x>2 (x-1)-(x-2)=1, 1≤x≤2 例1-2 (1)3≤x≤5 (2)C 解析:(1) (5-x)(x-3)2=|x-3| 5-x=(x- 3) 5-x, 因为|x-3|=(x-3),所以(x-3)≥0,所以x≥3,又 x≤5,所以3≤x≤5. (2)由于 x≥0, x-2>0, 所以x>2.故选C. 【规律方法】解题时要注意二次根式有意义的条件,同 时注意去掉根式时被开方数的符号问题. [针对训练1-2] (1)-8 6 (2)1 解析:(1)4 24-6 54+3 96-2 150=8 6- 18 6+12 6-10 6=-8 6. (2)因为 a2-1≥0, 1-a2≥0, a+1≠0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以a=1,此时b=0+02 =0 , 所以a+b=1. 衔接点2 例2-1 解:(方 法 一) 3 3- 3 = 3 ·(3+ 3) (3- 3)(3+ 3) = 3 3+3 9-3 = 3(3+1) 6 = 3+1 2 . (方 法 二 ) 3 3- 3 = 3 3(3-1) = 1 3-1 = 3+1 (3-1)(3+1) = 3+12 . 例2-2 解:原式=(3+ 2) 2022·(3- 2) 2022· (3- 2) = (3+ 2)·(3- 2) 2022·(3- 2) =12022·(3- 2)= 3- 2. 例2-3 解:(1)原式= 5+4 5+4 = (5) 2 +2×2× 5+22 = (2- 5) 2 =|2- 5|= 5-2. (2)原式= x-1x 2 = x-1x ,因为0<x<1,所以 1 x>1>x ,所以原式=1x-x. 【规律方法】解决与二次根式化简求值的有关问题时, 关键要明确二次根式化简求值的方法和分母有理化的 方法. [针对训练2-1] 3-2 解析:1- 3 1+ 3 = (1- 3) 2 (1+ 3)(1- 3) =4-2 31-3 = 3-2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 067