第四讲 一元二次方程的韦达定理-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

8.多项式kx2-9xy-10y2可分解因式得(mx+ 2y)(3x-5y),则k= ,m= . 9.分解因式:x2+12x-189,分析:由于常数项数 值较大,则将x2+12x-189变为完全平方公式, 再运用平方差公式进行分解,这样简单易行. x2+12x-189=x2+2×6x+62-36-189 =(x+6)2-225 =(x+6)2-152 =(x+6+15)(x+6-15) =(x+21)(x-9). 请按照上面的方法分解因式:x2-60x+884. 10.李伟课余时间非常喜欢研究数学,在一次课 外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问 题:x2-2x-3>0.经过思考,他给出了下列 解法: 左边因式分解可得(x+1)(x-3)>0, x+1>0, x-3>0 或 x+1<0, x-3<0, 解得x>3或x< -1. 聪明的你,请根据上述思想求一元三次不等 式(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第四讲❘ 一元二次方程的韦达定理 一、一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),记Δ= b2-4ac, (1)Δ>0,方程有两个不相等的实数根,x1,2 =-b± b 2-4ac 2a ; (2)Δ=0,方程有两个相等的实数根,x1=x2 =-b2a ; (3)Δ<0,方程无实数根. 二、韦达定理及其应用 初中不要求掌握,教材上以选学内容或阅读 材料形式给出,供学生自学选用. 1.一元二次方程x(2x-1)=1的根的情况为 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 2.下列一元二次方程中,无实数根的是 ( ) A.x2-2x-3=0 B.x2+3x+2=0 C.x2-2x+1=0 D.x2+2x+3=0 3.已知关于x的一元二次方程x2+(k-1)x+ 1=0的两个实数根相等,则k的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2或-2 D.3或-1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 016 4.关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两 个不相等的实数根,写出一个满足条件的实 数m 的值为 .(写出一个即可) 5.若关于x的方程x2- mx+n=0有两个相 等的实根,则m n= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用一元二次方程根的判别式,判断圆锥曲线、 二次曲线的交点个数. 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当Δ= b2-4ac≥0,方程两根分别为x1,x2,那么 x1+x2=- b a , x1x2= c a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 这一关系叫做一元二次方程根 与系数的关系,也叫韦达定理. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点1 Δ与根个数之间的关系 不解方程,判断下列方程的实数根的 个数. (1)2x2-3x+1=0; (2)4y2+9=12y; (3)5(x2+3)-6x=0. [针对训练1-1] 已知关于x 的一元二次方 程3x2-2x+k=0,根据下列条件,分别求出 k的范围. (1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根; (3)方程有实数根; (4)方程无实数根. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 017 衔接点2 一元二次方程的根与系数的关系 若x1,x2是方程x2+2x-2007=0的两 个根,试求下列各式的值: (1)x12+x22;(2) 1 x1 +1x2 ;(3)(x1-5)(x2 -5);(4)|x1-x2|. [针对训练2-1] 若x1和x2分别是一元二次 方程2x2+5x-3=0的两根. (1)求|x1-x2|的值; (2)求 1 x12 + 1 x22 的值; (3)求x13+x23的值. 已知两个数的和为4,积为-12,求这两 个数. [针对训练2-2] 写出一个一元二次方程,使 它的两个根为-5和23. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 018 衔接点3 一元二次方程的根的分布 若关于x的一元二次方程x2-x+a-4 =0的一根大于零、另一根小于零,求实数a 的取值范围. 一元二次方程x2-4x+a=0有两个实 根,一个比3大,一个比3小,求a 的取值 范围. [针对训练3-1] 已知一元二次方程x2+(a2 -9)x+a2-5a+6=0一个根小于0,另一根 大于2,求a的取值范围. 1.若关于x的方程x2-2x+(m-1)=0没有 实数根,则m 的取值范围是 ( ) A.m<2 B.m<-2C.m>2 D.m>-2 2.已知关于x的一元二次方程x2+bx-2=0,则 下列关于该方程根的判断,正确的是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数与实数b的取值有关 3.已知一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0) 的两根分别为-3,1,则方程a(x+m-2)2+ n=0(a≠0)的两根分别为 ( ) A.1,5 B.-1,3 C.-3,1 D.-1,5 4.若x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根, 则1 x1 +1x2 的值为 ( ) A.2 B.-2 C.12 D. 9 2 5.已知菱形ABCD 的边长为5,两条对角线交 于O点,且OA,OB 的长分别是关于x 的方 程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根,则m 等 于 ( ) A.-3 B.5 C.5或-3 D.-5或3 6.若t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根,则判别式Δ=b2-4ac和完全平方式M =(2at+b)2的关系是 ( ) A.Δ=M B.Δ>M C.Δ<M D.大小关系不能确定 7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是 方程2x2-8x+7=0的两个根,则这个直角 三角形的斜边长是 . 8.若方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根之差 为1,则k的值是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 019 9.已知实数x,y满足x2+y2-xy+2x-y+1 =0,试求x,y的值. 10.已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4 =0有两个实数根,并且这两个实数根的平 方和比两个根的积大21,求m 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第五讲❘ 分式与分式方程 一、可化为一元一次方程的分式方程 1.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程 叫分式方程. 2.解分式方程的数学思想:根据分式方程的不 同条件,将其转化为整式方程.解题方法主要 使用的数学转化的思想方法. 3.初中阶段学习要求:需掌握可化为一元一次 方程的分式方程的解法. 4.解可化为一元一次分式方程的一般步骤: (1)去分母(关键是确定分母的最简公分母) (2)去括号 (3)移项 (4)合并同类项 (5)系数化为1 (6)检验:把求出的整式方程的根代入最简公 分母检验.若使最简公分母等于0,则是原方 程的增根,增根必须舍去;若使最简公分母不 等于0,则是原方程的解. 5.解分式方程与解整式方程不同.①分式方程 比整式方程多了一步:去分母.②最大的区别 是分式方程可能产生增根,所以必须验根.产 生增根的原因是分式方程本身隐含着分母不 为零的条件,当把分式方程转化成整式方程 后,方程中未知数的取值范围扩大了,如果转 化后整式方程的根恰好使原分式方程中分母 的值为0,那么就会出现不适合原方程的根, 即增根.③解分式方程去分母转化成整式方 程来求解,体现了数学转化的思想方法. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 020 5.C 解析:(x-y)2-2(x-y)-8=(x-y-4)(x-y+ 2).故选C. 6.(x-4y)(x+y) 解析:x2-3xy-4y2=(x-4y)(x+ y). 7.-5,-1,1,5 解析:因为-6=-1×6=-2×3=1× (-6)=2×(-3), 所以m=-1+6=5或m=-2+3=1或m=1+(-6) =-5或m=2+(-3)=-1. 8.9 3 解析:因为kx2-9xy-10y2=(mx+2y)(3x- 5y), 所以kx2-9xy-10y2=3mx2-5mxy+6xy-10y2, 所以 3m=k, -5m+6=-9, 解得 k=9,m=3. 9.解:x2-60x+884=x2-2×30x+900-900+884= (x-30)2-16=(x-30+4)(x-30-4)=(x-26)(x -34). 10.解:由题意知x-1,x-2,x-3中负数的个数为偶数个, 则 x-1>0, x-2>0, x-3>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得x>3; x-1>0, x-2<0, x-3<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得1<x<2. 所以原不等式的解集为x>3或1<x<2. 第四讲 一元二次方程的韦达定理 归纳初中知识 回顾训练 1.A 解析:x(2x-1)=1,整理得2x2-x-1=0,因为Δ =(-1)2-4×2×(-1)=9>0,所以方程有两个不相 等的实数根,故选A. 2.D 解析:在x2-2x-3=0中,Δ=b2-4ac=(-2)2- 4×1×(-3)=16>0,即该方程有两个不等实数根,故 选项A不符合题意;在x2+3x+2=0中,Δ=b2- 4ac=32-4×1×2=1>0,即该方程有两个不等实数 根,故选项B不符合题意;在x2-2x+1=0中,Δ= b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,即该方程有两个相等 实数根,故选项C不符合题意;在x2+2x+3=0中, Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,即该方程无实数 根,故选项D符合题意.故选D. 3.D 解析:根据题意得Δ=(k-1)2-4=0,解得k1=3, k2=-1.故选D. 4.1(答案不唯一) 解析:根据题意得Δ=(-3)2-4m> 0,解得m<94 ,所以当m 取1时,方程有两个不相等的 实数根. 5.4 解析:因为关于x的方程x2- mx+n=0有两个 相等的 实 根,所 以 Δ=(- m)2-4n=0,m=4n, m n =4. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)因为Δ=(-3)2-4×2×1=1>0,所以 原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可化为4y2-12y+9=0. 因为Δ=(-12)2-4×4×9=0,所以原方程有两个相 等的实数根. (3)原方程可化为5x2-6x+15=0. 因为Δ=(-6)2-4×5×15=-264<0,所以原方程没 有实数根. 【规律方法】在求判断式时,务必先把方程变形为一元 二次方程的一般形式. [针对训练1-1] 解:Δ=(-2)2-4×3×k=4-12k. (1)4-12k>0⇒k<13 ;(2)4-12k=0⇒k=13 ; (3)4-12k≥0⇒k≥13 ;(4)4-12k<0⇒k<13. 衔接点2 例2-1 解:由题意,由根与系数的关系得x1+x2= -2,x1x2=-2007. (1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =(-2)2-2(-2007)=4018. (2)1x1 +1x2 = x1+x2 x1x2 = -2-2007= 2 2007. (3)(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25= -2007-5(-2)+25=-1972. (4)|x1-x2|= (x1-x2)2= (x1+x2)2-4x1x2= (-2)2-4(-2007)=4 502. 【规律方法】利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以 下等式变形: x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, 1 x1 +1x2 = x1+x2 x1x2 ,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, |x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2, x1x22+x12x2=x1x2(x1+x2), x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)等等,体现了 整体思想. [针对训练2-1] 解:因为x1和x2分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0的两根,所以x1+x2=- 5 2 ,x1x2= -32. (1)因为|x1-x2|2=x12+x22-2x1x2=(x1+x2)2 -4x1x2= -52 2 -4× -32 =254+6=494, 所以|x1-x2|= 7 2. (2)1 x12 + 1 x22 = x12+x22 x12·x22 = (x1+x2)2-2x1x2 (x1x2)2 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 063 -52 2 -2× -32 -32 2 = 25 4+3 9 4 =379. (3)x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)=(x1+ x2)[ (x1 + x2)2 - 3x1x2]= - 52 × -52 2 -3× -32 =-2158 . 例2-2 解:(方 法 一)设 这 两 个 数 分 别 是 x,y,则 x+y=4 xy=-12 ⇒ x1=-2y1=6 或 x2=6 y2=-2 因此,这两个数是-2和6. (方法二)由韦达定理知,这两个数是方程x2-4x-12 =0的两个根.解方程得x1=-2,x2=6.所以这两个 数是-2和6. 【规律方法】方程的根是由它的系数决定的,给出根与 系数的关系可以构造出一元二次方程,但得到的一元 二次方程不唯一,不过它们各次项的系数对应成比例, 为了方便,一般设所求的方程为x2+px+q=0. [针对训练2-2] 解:设所求的方程为x2+px+q=0, 由根与系数的关系可知-5+23=-p ,-5×23=q ,解 得p=133 ,q=-103. 因此,一元二次方程为x2+133x- 10 3=0 ,即 3x2+13x-10=0. 衔接点3 例3-1 解:设x1,x2是方程的两根,则 x1x2=a-4<0,① 且Δ=(-1)2-4(a-4)>0. ② 由①得a<4,由②得a<174. 所以a的取值范围是a<4. 例3-2 解:(方法一)由 Δ>0 (x1-3)(x2-3)<0 解得a<3. (方法二)设f(x)=x2-4x+a,如图所示,只需f(3)< 0,解得a<3. 例3-2题答图 【规律方法】一元二次方程根的分布即为对应二次函数 图象与x轴交点的横坐标,因此一元二次方程根的分 布问题,可以借助于二次函数的图象,利用数形结合的 方法来研究. [针对训练3-1] 解:如图,f(x)=x2+(a2-9)x+a2 -5a+6, 则只需 f(0)<0 f(2)<0 解得 2<a<3 -1<a<83 所以2<a<83. 针对训练3-1题答图 衔接训练 1.C 解析:根据题意得Δ=(-2)2-4(m-1)<0,解得 m>2.故选C. 2.A 解析:x2+bx-2=0,Δ=b2-4×1×(-2)=b2+8, 因为不论b为何值,b2≥0,所以Δ>0,方程有两个不相 等的实数根,故选A. 3.B 解析:因为一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0) 的两根分别为-3,1, 所以在方程a(x+m-2)2+n=0(a≠0)中,x-2=-3 或x-2=1,解得x=-1或3,即方程a(x+m-2)2+ n=0(a≠0)的两根分别为-1和3. 4.A 解析:由题意可知x1+x2=3,x1x2= 3 2 ,则1 x1 + 1 x2 = x1+x2 x1x2 =2. 5.A 解析:因为菱形ABCD 的边长为5,两条对角线交 于O点, 所以OA2+OB2=25. 因为OA,OB的长分别是关于x 的方程x2+(2m-1)x +m2+3=0的根, 所以OA+OB=1-2m, OA×OB=m2+3. 所以OA2+OB2=(OA+OB)2-2OA×OB=25, 所以(1-2m)2-2(m2+3)=25, 整理得m2-2m-15=0. 解得m=5或m=-3,当m=5时,OA+OB=-9(不 合题意,舍去). 所以m=-3. 6.A 解析:由t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根, 则at2+bt+c=0. 4a2t2+4abt+4ac=0, 4a2t2+4abt=-4ac, (2at)2+4abt+b2=b2-4ac, (2at+b)2=b2-4ac=Δ. 7.3 解析:设直角三角形的斜边为c,两直角边分别为a, b. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 064 因为直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2- 8x+7=0的两个根, 所以a+b=--82 =4 ,ab=72 , 根据勾股定理可得 c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2×72=9. 所以c=3(负值舍去). 8.9或-3 解析:由根与系数的关系可知 x1+x2= k+1 2 ,x1x2= k+3 2 . 由已知两根之差为1,得|x1-x2|=1,即(x1-x2)2 =1. 则(x1+x2)2-4x1x2=1. 即 (k+1)2 4 -2 (k+3)=1, 解得k=-3或9. 9.解:可以把所给方程看作为关于x的方程,整理得x2- (y-2)x+y2-y+1=0, 由于x是实数,所以上述方程有实数根, Δ=[-(y-2)]2-4(y2-y+1)=-3y2≥0⇒y=0, 代入原方程得x2+2x+1=0⇒x=-1. 综上知,x=-1,y=0. 10.解:设x1,x2是方程的两根,由根与系数的关系得 x1+x2=-2(m-2),x1x2=m2+4. 因为x12+x22-x1x2=21, 所以(x1+x2)2-3x1x2=21, 即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21,化简得m2-16m -17=0,解得m=-1或m=17.当m=-1时,方程 为x2-6x+5=0,Δ>0,满足题意;当m=17时,方程 为x2+30x+293=0,Δ=302-4×1×293<0,不合 题意,舍去.综上,m=-1. 第五讲 分式与分式方程 归纳初中知识 回顾训练 1.C 解析: 2xy2 3 · 2yx 2 ÷ -2yx =8x 3 y6 ·4y 2 x2 ÷ -2yx =32xy4 · -x2y =-16x 2 y5 .故选C. 2.B 解析:原式=a 2-b2 a · a a-b=a+b. 故选B. 3.D 解析:a 2 b5 ·b 3 a5 = 1 a3b2 ,故A错误;ab ·d c = ad bc ,故B 错误;7b 2a2 ·8a 3 7b2 =4ab ,故C错误;a·ba ·1 a= b a ,故D 正确.故选D. 4.710 解析:因为a b =3 ,所以a=3b,则a 2-ab+b2 a2+b2 = 9b2-3b2+b2 9b2+b2 =710. 5.-x-yx+y 解析:由题意,得- (x-y)2 x ÷ x2-y2 x = - (x-y)2 x ÷ (x+y)(x-y) x = - (x-y)2 x · x (x+y)(x-y)=- x-y x+y. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)因为 1x+1+1≠0 且x+1≠0,解得x≠ -1且x≠-2. (2)因 为Ax + B x+2= A(x+2)+Bx x(x+2) = (A+B)x+2A x(x+2) = 5x+4x(x+2) , 所以 A+B=5, 2A=4, 解得A=2,B=3. 【规律方法】有条件的分式化简与求值时,既要瞄准目 标,又要抓住条件;既要根据目标变换条件,又要依据 条件来调整目标. [针对训练1-1] 解:(1)化简过程如下: x2 x4+x2+1 = 1 x2+1+1 x2 = 1 x+1x 2 -1 ,将x+1x=2 代入上式得原式 1 4-1= 1 3. (2)将2c2-5ac+2a2=0两边同除以a2, 得2e2-5e+2=0, 所以(2e-1)(e-2)=0, e=2或e=12 (舍去), e=2. 衔接点2 例 2-1 (1)证 明:因 为 1n - 1 n+1= (n+1)-n n(n+1) = 1n(n+1) , 所以 1 n(n+1)= 1 n- 1 n+1 (其中n是正整数)成立. (2)解:由(1)可知 1 1×2+ 1 2×3+ …+ 19×10= 1-12 + 12-13 +… + 19-110 =1-110=910. (3)证明:因为 12×3+ 1 3×4+ …+ 1n(n+1)= 12-13 + 13-14 +…+ 1n- 1n+1 =12- 1n+1, 又n≥2,且n是正整数,所以 1n+1 一定为正数, 所以 1 2×3+ 1 3×4+ …+ 1n(n+1)< 1 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 065