第三讲 因式分解-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

8.填空,使之符合立方和或立方差公式或完全 立方公式: (1)(x-3)( )=x3-27; (2)(2x+3)( )=8x3+27; (3)(x2+2)( )=x6+8; (4)(3a-2)( )=27a3-8; (5)(x+2)3=( ); (6)(2x-3y)3=( ); (7)19a 2-14b 2= 13a+ 1 2b ; (8)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+( ). 9.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章 算法》中提出“杨辉三角”,此图揭示了(a+ b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系 数的有关规律. 例如: (a+b)0=1,它只有一项,系数为1; (a+b)1=a+b,它有两项,系数分别为1,1, 系数和为2; (a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别 为1,2,1,系数和为4; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系 数分别为1,3,3,1,系数和为8; … 根据以上规律,解答下列问题: (1)(a+b)4展开式共有 项,系数 分别为 ; (2)(a+b)n展开式共有 项,系 数和为 . 10.(1)若x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的 值; (2)若a-b=3,求a3-b3-9ab的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第三讲❘ 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变 形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运 算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用. 是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及 的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全 平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公 式)、十字相乘法和分组分解法等等. 1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的 为 ( ) A.2x+4y+1=2(x+2y)+1 B.(x+2)(x-2)=x2-4 C.x(x-10)=x2-10x D.x2-4x+4=(x-2)2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 012 2.多项式x3+6x2y+9xy2与x3y-9xy3的公 因式是 ( ) A.x(x+3y)2 B.x(x+3y) C.xy(x+3y) D.x(x-3y) 3.下列多项式:①4x2+4x;②x2-2xy+4y2; ③a2-ab+14b 2;④-a2+4b2中,能用公式法 分解因式的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.分解因式:2ax2-4axy+2ay2的结果是 . 5.若x2-y2=16,x+y=8,则x-y= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高中阶段的因式分解要复杂多了,因式分解的 方法有十字相乘法,初中阶段局限于x2+(p+ q)x+pq=(x+p)(x+q),高中阶段要求把一 般的二次多项式ax2+bx+c分解.还有换元 法、配方法、拆项添项法等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点1 公式法分解因式 分解因式:(1)3a3b-81b4;(2)a7-ab6. [针对训练1-1] 把下列各式分解因式: (1)xy3+x4; (2)xn+3-xny3; (3)y2(x2-2x)3+y2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 013 衔接点2 分组分解法 分解因式: (1)x2-y2+ax+ay; (2)2x2+4xy+2y2-8z2. [针对训练2-1] 分解因式: (1)a2(b-5)+a(5-b); (2)x3+9+3x2+3x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点3 十字相乘法 把下列各式因式分解: (1)x2-3x+2; (2)x2+4x-12; (3)xy-1+x-y; (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12. 把下列各式因式分解: (1)12x2-5x-2; (2)5x2+6xy-8y2. 3 4× -2 1 1 5× 2y -4y 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 014 [针对训练3-1] 把下列各式因式分解: (1)x2+5x-24; (2)x2-2x-15; (3)5x2+6x-8; (4)14x2-67xy+18y2. 1.下列各式中:①-x2-y2=-(x+y)(x- y),②-x2+y2=(-x+y)(x+y),③x2- 2x-4=(x-2)2,④x2+x+14= x+12 2 . 分解因式正确的个数有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.把16m2-4n2分解因式 ( ) A.(4m+2n)(4m-2n)B.(4m-2n)2 C.4(2m+n)(2m-n) D.2(2m-n)2 3.把多项式x2+x-2分解因式,下列结果正确 的是 ( ) A.(x+2)(x-1) B.(x-2)(x+1) C.(x-1)2 D.(2x-1)(x+2) 4.下列多项式不能分解的是 ( ) A.(ab+cd)2+(bc-ad)2 B.x2-y2-6x+9 C.x2-2xy-3y2+4x+8y-5 D.x2+2x+4 5.把多项式(x-y)2-2(x-y)-8分解因式, 正确的结果是 ( ) A.(x-y+4)(x-y+2) B.(x-y-4)(x-y-2) C.(x-y-4)(x-y+2) D.(x-y+4)(x-y-2) 6.分解因式:x2-3xy-4y2= . 7.阅读下列文字与例题:将一个型如x2+px+ q的二次三项式因式分解时,如果能满足q= mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式 分解成(x+m)(x+n). 例如:(1)x2+3x+2=(x+1)(x+2), (2)x2-3x-10=(x-5)(x+2). 要使二次三项式x2+mx-6能在整数范围内 分解因式,则m可取的整数为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 015 8.多项式kx2-9xy-10y2可分解因式得(mx+ 2y)(3x-5y),则k= ,m= . 9.分解因式:x2+12x-189,分析:由于常数项数 值较大,则将x2+12x-189变为完全平方公式, 再运用平方差公式进行分解,这样简单易行. x2+12x-189=x2+2×6x+62-36-189 =(x+6)2-225 =(x+6)2-152 =(x+6+15)(x+6-15) =(x+21)(x-9). 请按照上面的方法分解因式:x2-60x+884. 10.李伟课余时间非常喜欢研究数学,在一次课 外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问 题:x2-2x-3>0.经过思考,他给出了下列 解法: 左边因式分解可得(x+1)(x-3)>0, x+1>0, x-3>0 或 x+1<0, x-3<0, 解得x>3或x< -1. 聪明的你,请根据上述思想求一元三次不等 式(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第四讲❘ 一元二次方程的韦达定理 一、一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),记Δ= b2-4ac, (1)Δ>0,方程有两个不相等的实数根,x1,2 =-b± b 2-4ac 2a ; (2)Δ=0,方程有两个相等的实数根,x1=x2 =-b2a ; (3)Δ<0,方程无实数根. 二、韦达定理及其应用 初中不要求掌握,教材上以选学内容或阅读 材料形式给出,供学生自学选用. 1.一元二次方程x(2x-1)=1的根的情况为 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 2.下列一元二次方程中,无实数根的是 ( ) A.x2-2x-3=0 B.x2+3x+2=0 C.x2-2x+1=0 D.x2+2x+3=0 3.已知关于x的一元二次方程x2+(k-1)x+ 1=0的两个实数根相等,则k的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2或-2 D.3或-1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 016 第三讲 因式分解 归纳初中知识 回顾训练 1.D 解析:A中,没把一个多项式转化成几个整式积的 形式,故A不合题意;B中,是整式的乘法,故B不合题 意;C中,是整式的乘法,故C不合题意;D中,把一个 多项式转化成几个整式积的形式,故D符合题意. 2.B 解析:因为x3+6x2y+9xy2=x(x2+6xy+9y2)= x(x+3y)2,x3y-9xy3=xy(x2-9y2)=xy(x+3y)(x- 3y),所以多项式x3+6x2y+9xy2与x3y-9xy3的公 因式是x(x+3y).故选B. 3.B 解析:①4x2+4x=4x(x+1),是提取公因式法分 解因式;②x2-2xy+4y2,不能用公式法分解因式; ③a2-ab+14b 2= a-12b 2 ,符 合 题 意;④-a2+ 4b2=(2b-a)(2b+a),符合题意.故选B. 4.2a(x-y)2 解析:2ax2-4axy+2ay2=2a(x2-2xy+ y2)= 2a(x-y)2. 5.2 解析:因为x2-y2=16,所以(x-y)(x+y)=16, 因为x+y=8,所以x-y=2. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)3a3b-81b4=3b(a3-27b3)=3b(a- 3b)(a2+3ab+9b2). (2)a7-ab6=a(a6-b6)=a(a3+b3)(a3-b3) =a(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+ b2) =a(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+ b2). 【规律方法】(1)在运用立方和(差)公式分解因式时,经 常要逆用幂的运算法则,如8a3b3=(2ab)3,这里逆用 了法则(ab)n=anbn; (2)在运用立方和(差)公式分解因式时,一定要看准 因式中各项的符号. [针对训练1-1] 解:(1)xy3+x4=x(x+y)(y2-xy+x2). (2)xn+3-xny3=xn(x-y)(x2+xy+y2). (3)y2(x2-2x)3+y2=y2(x-1)2(x4-4x3+3x2+ 2x+1). 衔接点2 例2-1 解:(1)x2-y2+ax+ay=(x+y)(x-y)+a(x +y)=(x+y)(x-y+a). (2)2x2+4xy+2y2-8z2=2(x2+2xy+y2-4z2)= 2[(x+y)2-(2z)2]=2(x+y+2z)(x+y-2z). 【规律方法】分组分解法是指对于四个或四个以上的多 项式,既不能用提取公因式法分解,也不能用公式法分 解时,可能通过适当的分组后局部分解,然后再综合分 解,从而达到分解因式的方法. [针对训练2-1] 解:(1)a2(b-5)+a(5-b)= a(a-1)(b-5). (2)x3+9+3x2+3x=(x3+3x2)+(3x+9) =x2(x+3)+3(x+3) =(x+3)(x2+3). 衔接点3 例3-1 解:(1)x2-3x+2=(x-1)(x-2). (2)x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)xy-1+x-y=xy+(x-y)-1=(x-1)(y+1). (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-2)(x2+x- 6)=(x+2)(x-1)(x+3)(x-2). 【规律方法】这类式子在许多问题中经常出现,其特点 是:(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积; (3)一次项系数是常数项的两个因数之和. x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+ q(x+p)=(x+p)(x+q), 运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三 项式分解因式. 例3-2 解:(1)12x2-5x-2=(3x-2)(4x+1). (2)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y). 【方法规律】用十字相乘法分解二次三项式很重要.当 二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高解题 速度,可先分解有关常数,交叉相乘后,若原常数为负 数,用减法“凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法 “凑”,先“凑”绝对值,然后调整,添加正、负号. [针对训练3-1] 解:(1)因为-24=(-3)×8, (-3)+8=5, 所以x2+5x-24=[x+(-3)](x+8)=(x-3)(x+ 8). (2)因为-15=(-5)×3,(-5)+3=-2, 所以x2-2x-15=[x+(-5)](x+3)=(x-5)(x+ 3). (3)5x2+6x-8=(x+2)(5x-4). (4)14x2-67xy+18y2=(2x-9y)(7x-2y). 衔接训练 1.B 解析:①-x2-y2=-(x2+y2),无法分解因式,故 此选项错误;②-x2+y2=(-x+y)(x+y),故此选项 正确;③x2-2x-4=(x-1)2-5=(x-1+ 5)(x- 1- 5),故此选项错误;④x2+x+14= x+ 1 2 2 ,故 此选项正确.故选B. 2.C 解析:16m2-4n2=4(4m2-n2)=4(2m+n)(2m- n),故选C. 3.A 解析:x2+x-2=(x-1)(x+2),故选A. 4.D 解析:(ab+cd)2+(bc-ad)2=(a2+c2)(b2+d2), 故A选项能分解;x2-y2-6x+9=(x-3+y)(x- 3-y),故B选项能分解;x2-2xy-3y2+4x+8y-5 =(x+y-1)(x-3y+5),故C选项能分解;x2+2x+ 4不能分解,故D选项符合题意.故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 062 5.C 解析:(x-y)2-2(x-y)-8=(x-y-4)(x-y+ 2).故选C. 6.(x-4y)(x+y) 解析:x2-3xy-4y2=(x-4y)(x+ y). 7.-5,-1,1,5 解析:因为-6=-1×6=-2×3=1× (-6)=2×(-3), 所以m=-1+6=5或m=-2+3=1或m=1+(-6) =-5或m=2+(-3)=-1. 8.9 3 解析:因为kx2-9xy-10y2=(mx+2y)(3x- 5y), 所以kx2-9xy-10y2=3mx2-5mxy+6xy-10y2, 所以 3m=k, -5m+6=-9, 解得 k=9,m=3. 9.解:x2-60x+884=x2-2×30x+900-900+884= (x-30)2-16=(x-30+4)(x-30-4)=(x-26)(x -34). 10.解:由题意知x-1,x-2,x-3中负数的个数为偶数个, 则 x-1>0, x-2>0, x-3>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得x>3; x-1>0, x-2<0, x-3<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得1<x<2. 所以原不等式的解集为x>3或1<x<2. 第四讲 一元二次方程的韦达定理 归纳初中知识 回顾训练 1.A 解析:x(2x-1)=1,整理得2x2-x-1=0,因为Δ =(-1)2-4×2×(-1)=9>0,所以方程有两个不相 等的实数根,故选A. 2.D 解析:在x2-2x-3=0中,Δ=b2-4ac=(-2)2- 4×1×(-3)=16>0,即该方程有两个不等实数根,故 选项A不符合题意;在x2+3x+2=0中,Δ=b2- 4ac=32-4×1×2=1>0,即该方程有两个不等实数 根,故选项B不符合题意;在x2-2x+1=0中,Δ= b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,即该方程有两个相等 实数根,故选项C不符合题意;在x2+2x+3=0中, Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,即该方程无实数 根,故选项D符合题意.故选D. 3.D 解析:根据题意得Δ=(k-1)2-4=0,解得k1=3, k2=-1.故选D. 4.1(答案不唯一) 解析:根据题意得Δ=(-3)2-4m> 0,解得m<94 ,所以当m 取1时,方程有两个不相等的 实数根. 5.4 解析:因为关于x的方程x2- mx+n=0有两个 相等的 实 根,所 以 Δ=(- m)2-4n=0,m=4n, m n =4. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)因为Δ=(-3)2-4×2×1=1>0,所以 原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可化为4y2-12y+9=0. 因为Δ=(-12)2-4×4×9=0,所以原方程有两个相 等的实数根. (3)原方程可化为5x2-6x+15=0. 因为Δ=(-6)2-4×5×15=-264<0,所以原方程没 有实数根. 【规律方法】在求判断式时,务必先把方程变形为一元 二次方程的一般形式. [针对训练1-1] 解:Δ=(-2)2-4×3×k=4-12k. (1)4-12k>0⇒k<13 ;(2)4-12k=0⇒k=13 ; (3)4-12k≥0⇒k≥13 ;(4)4-12k<0⇒k<13. 衔接点2 例2-1 解:由题意,由根与系数的关系得x1+x2= -2,x1x2=-2007. (1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =(-2)2-2(-2007)=4018. (2)1x1 +1x2 = x1+x2 x1x2 = -2-2007= 2 2007. (3)(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25= -2007-5(-2)+25=-1972. (4)|x1-x2|= (x1-x2)2= (x1+x2)2-4x1x2= (-2)2-4(-2007)=4 502. 【规律方法】利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以 下等式变形: x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, 1 x1 +1x2 = x1+x2 x1x2 ,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, |x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2, x1x22+x12x2=x1x2(x1+x2), x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)等等,体现了 整体思想. [针对训练2-1] 解:因为x1和x2分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0的两根,所以x1+x2=- 5 2 ,x1x2= -32. (1)因为|x1-x2|2=x12+x22-2x1x2=(x1+x2)2 -4x1x2= -52 2 -4× -32 =254+6=494, 所以|x1-x2|= 7 2. (2)1 x12 + 1 x22 = x12+x22 x12·x22 = (x1+x2)2-2x1x2 (x1x2)2 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 063