第二讲 多项式的乘法公式-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

9.解不等式:(1)1≤|2x-1|<5; (2)|4x-3|>2x+1. 10.解不等式:|x-1|+|x-3|>4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第二讲❘ 多项式的乘法公式 一、多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一 项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积 相加. 二、乘法公式 初中阶段只需掌握两个基本公式:平方差公式 和完全平方公式. 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2. 1.乘积等于a2-b2的式子是 ( ) A.(a+b)(-a+b) B.(-a-b)(a-b) C.(-a+b)(-a-b)D.以上都不对 2.下列各式能用平方差公式计算的是 ( ) A.(x-3)(3-x) B.(-2x-1)(-2x+1) C.(x-3)(2x+3) D.(-x-3)(x+3) 3.计算(-a+2b)2的结果是 ( ) A.-a2+4ab+b2 B.a2-4ab+4b2 C.-a2-4ab+b2 D.a2-2ab+2b2 4.若x2+kx+25=(x±5)2,则k= . 5.已 知 a+b=10,a-b=8,则 a2-b2 = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 009 高中阶段需要掌握更多的多项式乘法公式,例 如:立方和(差)公式,两数之和(差)的立方公 式,n个数之和的完全平方公式,甚至二项式定 理、杨辉三角等. 立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3, 立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3, 三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2 +2(ab+ac+bc), 两数和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2 +b3, 两数差立方公式(a-b)3+a3-3a2b+3ab2 -b3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点1 平方公式的应用 计算: (1)(a+2)(a-2)(a4+4a2+16); (2)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2; (3)x2- 2x+13 2 . [针对训练1-1] 计算:(2x+y+1)2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点2 立方公式的应用 计算:(1)(x+1)3;(2)(2x-3)3. [针对训练2-1] 用立方和或立方差公式分解 下列各多项式:(1)8+x3;(2)0.125-27b3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 010 衔接点3 整体代换 已知x+1x=3 ,求:(1)x2+1 x2 ;(2)x3 +1 x3 . [针对训练3-1] 已知x2+3x-1=0, 求:(1)x2+1 x2 ;(2)x3-1 x3 . [针对训练3-2] 已知a+b+c=4,ab+bc+ ac=4,求a2+b2+c2的值. 1.下列式子计算正确的是 ( ) A.m3•m2=m6 B.(-m)-2=-1 m2 C.m2+m2=2m2 D.(m+n)2=m2+n2 2.不论a,b为何实数,a2+b2-2a-4b+8的值 ( ) A.总是正数 B.总是负数 C.可以是零 D.可以是正数也可以是负数 3.已知x2+y2=169,x-y=7,那么xy的值 为 ( ) A.120 B.60 C.30 D.15 4.如图甲,边长为m 的正方形剪去边长为n 的 正方形得到①②两部分,再把①②两部分拼 接成图乙所示的长方形,根据阴影部分面积 不变,你能验证以下哪个结论 ( ) A.(m-n)2=m2-2mn+n2 B.(m+n)2=m2+2mn+n2 C.(m-n)2=m2+n2 D.m2-n2=(m+n)(m-n) 5.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=4,则(2x- y)2+(2y-z)2+(2z-x)2的最大值是 ( ) A.12 B.20 C.28 D.36 6.已知(a+b)2=7,a2+b2=5,则ab 的值 为 . 7.如果多项式x2+8x+k是一个完全平方式, 则k的值是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 011 8.填空,使之符合立方和或立方差公式或完全 立方公式: (1)(x-3)( )=x3-27; (2)(2x+3)( )=8x3+27; (3)(x2+2)( )=x6+8; (4)(3a-2)( )=27a3-8; (5)(x+2)3=( ); (6)(2x-3y)3=( ); (7)19a 2-14b 2= 13a+ 1 2b ; (8)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+( ). 9.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章 算法》中提出“杨辉三角”,此图揭示了(a+ b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系 数的有关规律. 例如: (a+b)0=1,它只有一项,系数为1; (a+b)1=a+b,它有两项,系数分别为1,1, 系数和为2; (a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别 为1,2,1,系数和为4; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系 数分别为1,3,3,1,系数和为8; … 根据以上规律,解答下列问题: (1)(a+b)4展开式共有 项,系数 分别为 ; (2)(a+b)n展开式共有 项,系 数和为 . 10.(1)若x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的 值; (2)若a-b=3,求a3-b3-9ab的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第三讲❘ 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变 形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运 算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用. 是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及 的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全 平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公 式)、十字相乘法和分组分解法等等. 1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的 为 ( ) A.2x+4y+1=2(x+2y)+1 B.(x+2)(x-2)=x2-4 C.x(x-10)=x2-10x D.x2-4x+4=(x-2)2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 012 衔接训练 1.C 解析:因为|a|+a=0,所以|a|=-a,所以a≤0,故 选C. 2.B 解析:因为a<-6,所以 a2=-a,且a+6<0, 所以|6- a2|=|6+a|=-(6+a)=-a-6. 3.35 π-3 π-3.1415 解析:-35 的绝对值是它的 相反数3 5 ; 3-π<0,则|3-π|=-(3-π)=π-3; 3.1415-π<0,则|3.1415-π|=-(3.1415-π)= π-3.1415. 4.2或-1 解析:把x=4代入|x-2|+|2y-1|=5得 |4-2|+|2y-1|=5. 所以2+|2y-1|=5,|2y-1|=3.所以2y-1=±3, 解得y=2或y=-1. 5.-4 解析:根据数轴得b<a<0<c<2, 所以a+b<0,b-2<0,c-a>0,2-c>0, 则原式=-a-b+b-2-c+a-2+c=-4. 6.3 解析:因为(x-2)2+|2y-1|=0. 所以 x-2=0, 2y-1=0. 所以 x=2, y=12 , 所以x+2y=2+2×12=3. 7.{x|-5<x<1} {x|0<x<4} 解析:由|x+2|<3, 得-3<x+2<3, 解得-5<x<1. 由 1-12x <1 , 得 1 2x-1 <1 , 所以-1<12x-1<1 所以0<12x<2 , 所以0<x<4. 8.解:y= -2x-3, x≤-2, 1, -2<x<-1, 2x+3, x≥-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 图象如下. 第8答题图 9.解:(1)(方法一)由|2x-1|<5,解得-2<x<3;由1 ≤|2x-1|得x≤0或x≥1,联立得-2<x<0或1≤ x<3,所以原不等式的解为-2<x<0或1≤x<3. (方法二)1≤|2x-1|<5⇔1≤2x-1<5或-5<2x- 1≤-1,解得-2<x<0或1≤x<3,所以原不等式的 解为-2<x<0或1≤x<3. (2)(方法一:零点分段法)当x≤34 时,原不等式变为 -(4x-3)>2x+1,解得x<13 ,所以x<13 ;当x>34 时,原不等式变为4x-3>2x+1,解得x>2,所以x>2. 综上所述,原不等式的解集为 x x<13 或x>2 . (方法二)|4x-3|>2x+1⇔4x-3>2x+1或4x-3< -(2x+1),解得x<13 或x>2,所以原不等式的解集 为 x x<13 或x>2 . 10.解:由x-1=0得x=1;由x-3=0得x=3.当x<1 时,-(x-1)-(x-3)>4,解得x<0;当1≤x<3 时,(x-1)-(x-3)>4,即2>4,不存在;当x≥3 时,(x-1)+(x-3)>4,解得x>4.综上所述,原不 等式解集为x<0或x>4. 第二讲 多项式的乘法公式 归纳初中知识 回顾训练 1.C 解析:A.(a+b)(-a+b)=(b+a)(b-a)=b2- a2,选项错误; B.(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2 =b2-a2,选项错误; C.(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2,选项正 确,故选C. 2.B 解析:A.(x-3)(3-x)=-(x-3)2,故A错误; B.(-2x-1)(-2x+1)符合平方差公式,故B正确. C.(x-3)(2x+3)不符合平方差公式; D.(-x-3)(x+3)=-(x+3)2,故D错误. 3.B 解析:(-a+2b)2=(-a)2-4ab+4b2=a2-4ab +4b2. 4.±10 解析:因为x2+kx+25=(x±5)2=x2±10x +25, 所以kx=±10x, 所以k=±10. 5.80 解析:a2-b2=(a+b)(a-b)=10×8=80. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)原式=(a2-4)(a4+4a2+42) =(a2)3-43 =a6-64. (2)原式=(x+y)2(x2-xy+y2)2 =[(x+y)(x2-xy+y2)]2 =(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 060 (3)原式= x2+(- 2x)+13 2 =(x2)2+(-2x)2+ 13 2 +2x2(-2)x+2x2 ×13+2× 1 3× (- 2x) =x4-2 2x3+83x 2-2 23x+ 1 9. 【规律方法】在进行代数式乘法、除法运算时,要观察代 数式的结构是否满足乘法公式的结构. [针对训练1-1] 解: 原式=[(2x+y)+1]2=(2x+y)2+2(2x+y)+1 =4x2+4xy+y2+4x+2y+1. 衔接点2 例2-1 解:(1)(x+1)3=x3+3x2+3x+1. (2)(2x-3)3=8x3-36x2+54x-27. 【规律方法】给了更好的使用公式,应记住常见数值1, 2,3,…,10的平方数和立方数. [针对训练2-1] 解:(1)8+x3=23+x3= (2+x)(4-2x+x2). (2)0.125-27b3=0.53-(3b)3 =(0.5-3b)[0.52+0.5×3b+(3b)2] =(0.5-3b)(0.25+1.5b+9b2). 衔接点3 例3-1 解:(1)因 为 x+ 1x =3 ,所 以 x2+ 1 x2 = x+1x 2 -2=32-2=7. (2)x3+1 x3 = x+1x x2-1+1x2 = x+1x x+1x 2 -3 =3 32-3 =18. 【规律方法】(1)本题若先从方程x+1x=3 中解出x的 值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐.(2)本题是根 据条件式与求值式的联系,用“整体代换”的方法计算, 简化了计算.(3)常用配方法:a2+b2=(a+b)2-2ab= (a-b)2+2ab. [针对训练3-1] 解:因为x2+3x-1=0,所以x≠0,所 以x2-1=-3x,所以x-1x=-3. (1)x2+1 x2 = x-1x 2 +2=(-3)2+2=11; (2)x3-1 x3 = x-1x x2+1+1x2 =-3×(11+1) =-36. [针对训练3-2] 解:a2+b2+c2=(a+b+c)2- 2(ab+bc+ac)=8. 衔接训练 1.C 解析:m3•m2=m5,故 A错误;(-m)-2=1 m2 ,故 B错误;按照合并同类项的运算法则,m2+m2=2m2, 故C正确.(m+n)2=m2+2mn+n2,故D错误. 2.A 解析:a2+b2-2a-4b+8 =(a2-2a+1)+(b2-4b+4)+3 =(a-1)2+(b-2)2+3, 因为(a-1)2≥0,(b-2)2≥0, 所以(a-1)2+(b+2)2+3≥3, 故a2+b2-2a-4b+8的值总不小于3. 3.B 解析:因为x2+y2=169,x-y=7, 所以(x-y)2=x2+y2-2xy =169-2xy=49. 所以2xy=120,所以xy=60. 4.D 解析:题图甲中,①②两部分的面积之和为 m2- n2,题图乙中,①②两部分拼成长为 m+n,宽为 m-n 的矩形,面积为(m+n)(m-n),因为阴影部分面积相 等,所以m2-n2=(m+n)(m-n). 5.C 解析:因为实数x,y,z满足x2+y2+z2=4,所以 (2x-y)2+(2y-z)2+(2z-x)2=5(x2+y2+z2)-4 (xy+yz+xz)=20-2[(x+y+z)2-(x2+y2+z2)] =28-2(x+y+z)2≤28.所以当x+y+z=0时, (2x-y)2+(2y-z)2+(2z-x)2的最大值是28. 6.1 解析:因为(a+b)2=7,所以a2+2ab+b2=7,因为 a2+b2=5,所以5+2ab=7,所以ab=1. 7.16 解析:因为x2+8x+k是一个完全平方式, 所以x2+2×4x+42-16+k=(x+4)2-16+k. 所以-16+k=0,k=16. 8.(1)x2+3x+9 (2)4x2-6x+9 (3)x4-2x2+4 (4)9a2+6a+4 (5)x3+6x2+12x+8 (6)8x3-36x2y+54xy2-27y3 (7)13a- 1 2b (8)4ab-2ac-4bc 9.(1)5 1,4,6,4,1 (2)n+1 2n 解析:(1)展开式共 有5项,展开式的各项系数分别为1,4,6,4,1. (2)展开式共有n+1项,系数和为2n. 10.解:(1)因为x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2), 所以x2-xy+y2=10, 因为x+y=10.所以x2+2xy+y2=100,所以3xy= 90,即xy=30. 所以x2+y2=40. (2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) =(a-b)[(a-b)2+3ab] =3(a-b)2+9ab, 所以a3-b3-9ab=3(a-b)2=27. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 061