第一讲 绝对值与零点分段法-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

❘第一讲❘ 绝对值与零点分段法 一、绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它本身, 负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍 是零,即|a|= a, a>0 0, a=0 -a,a<0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴 上表示它的点到原点的距离. 两个数之差的绝对值的几何意义:|a-b|表 示在数轴上,数a和数b之间的距离. 1.-2的绝对值是 ( ) A.2 B.-2 C.12 D.- 1 2 2.若|a|=2,则a的值是 ( ) A.-2 B.2 C.12 D.±2 3.如图,数轴的单位长度为1,如果A,B 表示的 数的绝对值相等,那么点A 表示的数是 ( ) 第3题图 A.-4 B.-2 C.0 D.2 4.若|a|=|b|,则a与b的关系是 ( ) A.相等 B.互为相反数 C.相等或互为相反数 D.无法判断 5.已知|x|=3,|y|=5,且xy<0,则x-y的值 等于 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二、零点分段法 对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求 解问题,不少同学感到无从下手,下面介绍一 种通法———零点分段法.所谓零点分段法,是 指:若数x1,x2,…,xm 分别使含有|x-x1|, |x-x2|,…,|x-xm|的代数式中相应绝对 值为零,称x1,x2,…,xm 为相应绝对值的零 点,零点x1,x2,…,xm将数轴分为m+1段, 利用绝对值的意义去掉绝对值符号,得到代 数式在各段的简化式,从而化为不含绝对值 符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得 到的值作为分区点,然后再分区间讨论绝对 值不等式,最后应求出解集的并集.零点分段 是解含绝对值符号不等式的常用解法,这种 解法体现了化归、分类讨论等数学思想方法, 它可以把求解条理化、思路直观化. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 006 衔接点1 绝对值的应用 若|a-4|= -|b+2|,则 a+b = . [针对训练1-1] (a+1)2+|b-2|=0,a= ;b= . 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点2 零点分段法去绝对值 化简代数式|x+2|+|x-4|. [针对训练2-1] 化简代数式|x-1|+2|x- 2|. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点3 解绝对值不等式 解不等式:|x-2|<1. [针对训练3-1] 解不等式:(1)|x-10|<3; (2)|2x-5|>2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 007 解不等式:|x+2|+|x-1|<5. [针对训练3-2] 解不等式: |x-1|+|x-3|>4. 1.若|a|+a=0,那么a一定是 ( ) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 2.已知a<-6,化简|6- a2|得 ( ) A.6-a B.-a-6 C.a+6 D.a-6 3.-35 = ;|3-π|= ; |3.1415-π|= . 4.|x-2|+|2y-1|=5,x=4,则 y = . 5.如图,化简|a+b|-|b-2|-|c-a|-|2-c| = . 第5题图 6.已 知 (x-2)2 +|2y-1|=0,则 x + 2y= . 7.不等式|x+2|<3的解是 ,不等 式 1-12x <1 的解是 . 8.化简|x+1|+|x+2|,并画出y=|x+1|+ |x+2|的图象. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 008 9.解不等式:(1)1≤|2x-1|<5; (2)|4x-3|>2x+1. 10.解不等式:|x-1|+|x-3|>4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第二讲❘ 多项式的乘法公式 一、多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一 项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积 相加. 二、乘法公式 初中阶段只需掌握两个基本公式:平方差公式 和完全平方公式. 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2. 1.乘积等于a2-b2的式子是 ( ) A.(a+b)(-a+b) B.(-a-b)(a-b) C.(-a+b)(-a-b)D.以上都不对 2.下列各式能用平方差公式计算的是 ( ) A.(x-3)(3-x) B.(-2x-1)(-2x+1) C.(x-3)(2x+3) D.(-x-3)(x+3) 3.计算(-a+2b)2的结果是 ( ) A.-a2+4ab+b2 B.a2-4ab+4b2 C.-a2-4ab+b2 D.a2-2ab+2b2 4.若x2+kx+25=(x±5)2,则k= . 5.已 知 a+b=10,a-b=8,则 a2-b2 = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 009 答 案 精 析 第二部分 衔接突破 第一讲 绝对值与零点分段法 归纳初中知识 回顾训练 1.A 解析:由绝对值的定义,得|-2|=2,故选A. 2.D 解析:因为|a|=2,所以a=±2,故选D. 3.B 解析:因为A,B两点之间的距离是4, 且点A、B表示的数的绝对值相等,所以点A 表示的数 的绝对值=点 B 表示的绝对值=2,因为 A 在B 的 左边, 所以点A 表示的数是-2.故选B. 4.C 解析:|a|=|b|,则a=b或a=-b,故选C. 5.8或-8 解析:因为|x|=3,所以x=±3,因为|y|= 5,所以y=±5,因为xy<0,所以x=3,y=-5或x= -3,y=5,所以x-y=8或-8.故答案为8或-8. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 2 解析:|a-4|=-|b+2|⇒|a-4|+|b+2|=0⇒a= 4,b=-2,所以a+b=2. 【规律方法】绝对值具有非负性,即若|a|+|b|+|c|= 0,则必有a=0,b=0,c=0. [针对训练1-1] -1 2 解析:由题可知a+1=0,b-2=0,所以a=-1,b=2. 衔接点2 例2-1 解:当x≤-2时,原式=-(x+2)-(x-4)= -2x+2;当-2<x<4时,原式=(x+2)-(x-4)=6; 当x≥4时,原式=x+2+x-4=2x-2. 综上讨论,原式= -2x+2, x≤-2 6, -2<x<4 2x-2, x≥4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 【规律方法】利用零点分段法,先求出对应的零点,然后 利用不同范围内代数式的符号去绝对值. [针对训练2-1] 解:当x≤1时,y=-(x-1)-2(x- 2)=5-3x;当1<x<2时,y=(x-1)-2(x-2)=3- x;当x≥2时,y=(x-1)+2(x-2)=3x-5. 综上讨论,原式= 5-3x, x≤1 3-x, 1<x<2 3x-5, x≥2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 衔接点3 例3-1 解:由题意,-1<x-2<1,解得1<x<3,所以 原不等式的解集为{x|1<x<3}. 【规律方法】(1)|ax+b|<c(c>0)⇔-c<ax+b<c. (2)|ax+b|>c(c>0)⇔ax+b>c或ax+b<-c. [针对训练3-1] 解:(1)由题意,-3<x-10<3,解得 7<x<13,所以原不等式的解为7<x<13. (2)由题意,2x-5>2或2x-5<-2,解得x>72 或x <32 ,所以原不等式的解为x>72 或x<32. 例3-2 解:(方法一:利用零点分区间法) 当x<-2时,得 x<-2, -(x-1)-(x+2)<5, 解得-3<x<-2; 当-2≤x≤1时,得 -2≤x≤1, -(x-1)+(x+2)<5, 解得-2≤x≤1; 当x>1时,得 x>1, (x-1)+(x+2)<5, 解得1<x<2. 综上,原不等式的解为-3<x<2. (方法二:利用绝对值的几何意义) |x+2|+|x-1|<5的几何意义是数轴上的点x到1 和-2的距离之和小于5的点所对应的取值范围,由数 轴可知,1-(-2)=3<5,易知当x=-3或x=2时, |x+2|+|x-1|=5,所以x位于-3和2之间(不含 端点),所以原不等式的解为-3<x<2. 【规律方法】分区间讨论是解决本题的关键,解题时应 先去掉绝对值符号,解一元一次不等式,采用“零点分 段法”求解. [针对训练3-2] 解:(方法一)由x-1=0,得x=1;由 x-3=0,得x=3. ①若x<1,不等式可变为-(x-1)-(x-3)>4,即 -2x+4>4,解得x<0,又x<1,所以<0; ②若1≤x<2,不等式可变为(x-1)-(x-3)>4,即2 >4,所以不存在满足条件的x; ③若x≥3,不等式可变为(x-1)+(x-3)>4, 即2x-4>4,解得x>4.又x≥3,所以x>4. 综上所述,原不等式的解为x<0或x>4. (方 法 二)如 图 所 示, |x-1|表示x轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA|,即|PA|=|x-1|;|x-3|表示x轴 上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB|,即|PB| =|x-3|.所以不等式|x-1|+|x-3|>4的几何意 义即为|PA|+|PB|>4.由|AB|=2,可知点P 在点C (坐标为0)的左侧或点P 在点D(坐标为4)的右侧,即 x<0或x>4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 059 衔接训练 1.C 解析:因为|a|+a=0,所以|a|=-a,所以a≤0,故 选C. 2.B 解析:因为a<-6,所以 a2=-a,且a+6<0, 所以|6- a2|=|6+a|=-(6+a)=-a-6. 3.35 π-3 π-3.1415 解析:-35 的绝对值是它的 相反数3 5 ; 3-π<0,则|3-π|=-(3-π)=π-3; 3.1415-π<0,则|3.1415-π|=-(3.1415-π)= π-3.1415. 4.2或-1 解析:把x=4代入|x-2|+|2y-1|=5得 |4-2|+|2y-1|=5. 所以2+|2y-1|=5,|2y-1|=3.所以2y-1=±3, 解得y=2或y=-1. 5.-4 解析:根据数轴得b<a<0<c<2, 所以a+b<0,b-2<0,c-a>0,2-c>0, 则原式=-a-b+b-2-c+a-2+c=-4. 6.3 解析:因为(x-2)2+|2y-1|=0. 所以 x-2=0, 2y-1=0. 所以 x=2, y=12 , 所以x+2y=2+2×12=3. 7.{x|-5<x<1} {x|0<x<4} 解析:由|x+2|<3, 得-3<x+2<3, 解得-5<x<1. 由 1-12x <1 , 得 1 2x-1 <1 , 所以-1<12x-1<1 所以0<12x<2 , 所以0<x<4. 8.解:y= -2x-3, x≤-2, 1, -2<x<-1, 2x+3, x≥-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 图象如下. 第8答题图 9.解:(1)(方法一)由|2x-1|<5,解得-2<x<3;由1 ≤|2x-1|得x≤0或x≥1,联立得-2<x<0或1≤ x<3,所以原不等式的解为-2<x<0或1≤x<3. (方法二)1≤|2x-1|<5⇔1≤2x-1<5或-5<2x- 1≤-1,解得-2<x<0或1≤x<3,所以原不等式的 解为-2<x<0或1≤x<3. (2)(方法一:零点分段法)当x≤34 时,原不等式变为 -(4x-3)>2x+1,解得x<13 ,所以x<13 ;当x>34 时,原不等式变为4x-3>2x+1,解得x>2,所以x>2. 综上所述,原不等式的解集为 x x<13 或x>2 . (方法二)|4x-3|>2x+1⇔4x-3>2x+1或4x-3< -(2x+1),解得x<13 或x>2,所以原不等式的解集 为 x x<13 或x>2 . 10.解:由x-1=0得x=1;由x-3=0得x=3.当x<1 时,-(x-1)-(x-3)>4,解得x<0;当1≤x<3 时,(x-1)-(x-3)>4,即2>4,不存在;当x≥3 时,(x-1)+(x-3)>4,解得x>4.综上所述,原不 等式解集为x<0或x>4. 第二讲 多项式的乘法公式 归纳初中知识 回顾训练 1.C 解析:A.(a+b)(-a+b)=(b+a)(b-a)=b2- a2,选项错误; B.(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2 =b2-a2,选项错误; C.(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2,选项正 确,故选C. 2.B 解析:A.(x-3)(3-x)=-(x-3)2,故A错误; B.(-2x-1)(-2x+1)符合平方差公式,故B正确. C.(x-3)(2x+3)不符合平方差公式; D.(-x-3)(x+3)=-(x+3)2,故D错误. 3.B 解析:(-a+2b)2=(-a)2-4ab+4b2=a2-4ab +4b2. 4.±10 解析:因为x2+kx+25=(x±5)2=x2±10x +25, 所以kx=±10x, 所以k=±10. 5.80 解析:a2-b2=(a+b)(a-b)=10×8=80. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(1)原式=(a2-4)(a4+4a2+42) =(a2)3-43 =a6-64. (2)原式=(x+y)2(x2-xy+y2)2 =[(x+y)(x2-xy+y2)]2 =(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 060