安徽省五河第一中学2023-2024学年高一下学期阶段性测试数学试卷

2023-2024 学年度五河一中第二学期阶段性测试 数学试卷 一、单选题 1．已知 (1 i) 2 iz   ，其中 i是虚数单位， z是复数 z的共轭复数，则复数 z （ ） A． 3 3 i 2 2  B． 1 3 i2 2  C． 1 3 i2 2  D． 3 3 i 2 2  2．若 π 2cos 4 3       ，则 sin 2 （ ） A． 23 B． 4 9  C． 5 9  D． 59 3．已知平面向量 ,a b  满足 2, 1a b   ，且    4 3 2a b a b      ，则向量 ,a b 的夹角为（ ） A． 2π 3 B． π 3 C． π 2 D． π 6 4．9 tan10 2 tan 20 4 tan 40 tan80   等于（ ） A．0 B． 3 3 C．1 D． 3 5．将   π2cos 8 4f x x       的图象横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移 π 16 个单位长度，得到  g x 的图象，若 π8g x      在 π π, 12 6      上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A． 30, 2      B． 3 9, 2 4      C． 30, 4      D． 3 9, 4 4      6．已知 ABC 中， 2 ( ) ( )AC AB BC CB CA AB           ，则 tanC的最大值是（ ） A． 7 3 B． 2 3 C． 14 7 D． 14 2 7．在 ABC 中， 2AB  ， AC 3 3 ， 30BAC  ，若CP PB PA     ，若 49 4 CP BC     ，则的 值为（ ） A．2 或 3 B． 3 C．1 D．2 8．已知函数    πsin 03f x x         在 π ,0 12      上单调递增，且在 π 3π, 2 2       上有且仅有 1 个零 点，则的取值范围为（ ） A． 2 2, 9 3       B． 2 2 8 14, , 9 3 9 9            C． 2 2 8 14, , 9 3 9 9           D． 2 2 8 14, , 9 3 9 9          二、多选题 9．在 ABC 中，角 、 、A B C的对边分别是a b c、 、 ．下面四个结论正确的是（ ） A． 2, 30a A  ，则 ABC 的外接圆半径是 4 B．若 cos sin a b A B  ，则 45A   C．在 5, 60 , 4a A b    ，解三角形有两解． D．已知 ( )( ) 3a b c a b c ab     ，则 60C  ； 10．下列说法正确的是（ ） A．已知a，b  均为单位向量．若 1a b   ，则a  在b  上的投影向量为 1 2b  B．P是 ABC 所在平面内的一动点，且  1AP AB BC 02            ，则点 P的轨迹一定通过 ABC 的重心； C．已知O为 ABC 的外心，边 AB AC、 长为定值，则 AO BC   为定值； D．若点O满足 , AO AB AO AC CO CA CO CB AB AC CA CB                   ，则点O是 ABC 的垂心. 11．已知 ABC 内角 , ,A B C的对边分别为 , , ,a b c O为 ABC 的重心， 1cos , 2 5 A AO  ，则（ ） A． 1 1 4 4 AO AB AC     B． 3AB AC    C． ABC 的面积的最大值为3 6 D． a的最小值为 2 5 三、填空题 12．已知平面向量    sin ,cos , 3,1a b    ，若 / /a b  ，则 πcos cos 4        ． 13．已知复数 z满足 | z 2 2i | 1   ，则 | z 2 2i |  的最大值为 ． 14．“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘 制，此图曾作为 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标如图，在正方形 ABCD 中，有 4 个全等的直角三角形，若图中Rt ABS△ 的两锐角分别为 , ，且小正方形与大正方 形的面积之比为1: 9，则 cos( )  的值为 ． 四、解答题 15．已知 3sin( )cos cos( )sin 5          ，且 是第三象限角. (1)求 tan 2的值；(2)求 πcos 2cos( π ) 2 πsin(π ) sin 2                   的值. 16．在复数范围内有关于 x的方程 2 1 0x x   . (1)求该方程的根；(2)求  1x x  的值； (3)有人观察到    21 1 0x x x    ，得 3 1x  ，试求 2024 20241 1 1 x x x            的值. 17．如图，在等腰梯形 ABCD中，AD BC∥ ， 3AB CD AD BC   ，点 E为边 AD上靠近点A 的 六等分点， F为CD中点． (1)用 ,AB AD   表示EF  ； (2)设G为 AB中点，P是线段 AG（不含端点）上的动点，DP交 EF于点M ， 若 EM EF   ， AP AB   ，求 2 23 1     的取值范围． 18．已知 2 1( ) 3 sin cos cos 2 f x x x x   ， (1)若 π 30, , ( ) 4 3 x f x     ，求cos 2x的值； (2)在三角形 ABC中，若 ( ) 1f A  ，求 sin sinB C 的最大值； (3)若关于 x的不等式 π2 ( ) 2 0 6 f x af x        在 π π, 6 3      上恒成立，求实数 a的取值范围 19.如图，设 ABC 中角 , ,A B C所对的边分别为 , , ,a b c AD为BC边上的中线，已知 1c  ，且 212 sin cos sin 15 sin ,cos 7 c A B a A c C BAD    ． (1)求b的值； (2)求 ABC 的面积； (3)设点 ,E F 分别为边 ,AB AC上的动点（含端点），线段 EF交 AD于G，且 AEF△ 的面积为 ABC 面积的 1 6，求 AG EF   的取值范围。 2023-2024学年度五河一中第二学期阶段性测试 数学试卷 一、单选题 1．已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量满足，且，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．等于（    ） A．0 B． C．1 D． 5．将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，若，若，则的值为（    ） A．2或 B． C．1 D．2 8．已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（    ） A．，则的外接圆半径是4 B．若，则 C．在，解三角形有两解． D．已知，则； 10．下列说法正确的是（    ） A．已知，均为单位向量．若，则在上的投影向量为 B．是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的重心； C．已知为的外心，边长为定值，则为定值； D．若点满足，则点是的垂心. 11．已知内角的对边分别为为的重心，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．已知平面向量，若，则 ． 13．已知复数满足，则的最大值为 ． 14．“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ．    四、解答题 15．已知，且是第三象限角. (1)求的值；(2)求的值. 16．在复数范围内有关于的方程. (1)求该方程的根；(2)求的值； (3)有人观察到，得，试求的值. 17．如图，在等腰梯形中，，，点为边上靠近点的六等分点，为中点． (1)用表示； (2)设为中点，是线段（不含端点）上的动点，交于点，若，，求的取值范围． 18．已知， (1)若，求的值； (2)在三角形ABC中，若，求的最大值； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围 19.如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． (1)求的值； (2)求的面积； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．C 【分析】利用复数的除法运算法则求得复数，从而得到结果. 【详解】依题意，得 ， 故. 故选：C. 2．C 【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 3．A 【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果. 【详解】， ， 所以， 可得， 即，， 设两向量夹角为， 则， ， ， 即为，故选A. 【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）. 4．A 【分析】由可求三角函数式的值. 【详解】由于， 于是， ， ， 三式相加即得． 故选：A 5．B 【分析】利用三角函数图象的变换规律求得的解析式，进而得的解析式，再利用三角函数的单调性求得的范围． 【详解】将的图象横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象． ， 由，， 得， ∴的增区间为， 若在上单调递增，则， ∴且，∴且， 又，∴当时，， 故答案为：B． 6．D 【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求出的最大值． 【详解】因为， 所以， 即 所以，由余弦定理得： ， 即， ， 当且仅当即时取等号， 显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时， 所以，即的最大值是． 故选：D． 7．D 【分析】根据已知条件判断出三点共线，然后根据向量数量积列方程，化简求得的值. 【详解】设是的中点， 由于，所以， 所以三点共线，且， ，且， 所以， 令，则， 所以 ， 解得，则，解得. 故选：D    8．C 【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案. 【详解】当，， 因为在上单调递增，故，则； 当，，且，， 又因为在上有且仅有1个零点， 故讨论两种情况： ①， ②， 综上：的取值范围为， 故选：C. 9．BD 【分析】A、B、C选项直接由正弦定理进行判断即可；D选项利用余弦定理判断即可. 【详解】对于A，设外接圆半径为，则，故，A错误； 对于B，由可得，又，故，B正确； 对于C，由可得，又，所以，三角形只有一解，C错误； 对于D，由可得，故，又，故，D正确. 故选：BD. 10．ABC 【分析】A选项，根据数量积的运算律得到，然后求投影向量即可；BCD选项，根据平面向量四心的结论判断即可. 【详解】A选项，，因为为单位向量，所以， 所以在上的投影向量为，故A正确； B选项，设中点为，则， 又，所以点三点共线，且点为射线上的动点，通过三角形的重心，故B正确； C选项，， 因为、为定值，所以为定值，故C正确； D选项，表示在、上的投影相等，即点到、的距离相等，所以点在角的角平分线上， 同理可得点在角的角平分线上，即点为内心，故D错. 故选：ABC. 11．BC 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【详解】是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错； 由得，所以， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，， ，C正确； 由得， 所以， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错． 故选：BC．    12．/ 【分析】由平行向量的坐标表示可得，再由两角差的余弦公式和同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】因为平面向量，若， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 13．5 【分析】确定表示复数几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离为， 所以的最大值为. 故答案为：5 14． 【分析】由面积之比得到，不妨设，，再由锐角三角函数推导出，，将两式相乘结合诱导公式及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为小正方形与大正方形的面积之比为，所以， 设，则，又， 不妨设，，所以，， 所以， 又，，所以， 又，所以，， 所以，即， 所以，即， 所以. 故答案为： 15．(1) (2)5 【分析】（1）根据题意，求得和，得到，再由正切的倍角公式，即可求解； （2）由（1），结合，代入即可求解. 【详解】（1）解：由， 可得，因为是第三象限角，可得，所以. 则. （2）解：由（1）知且， 可得. 16．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据求根公式即可求解复数根. （2）对目标式子变形，代入即可求值. （3）由于，结合，即可求解. 【详解】（1）因为， 则在复数范围内由求根公式可得方程的根为， 则，. （2）因为，所以，则， 由（1）知，故. （3）因为，所以， 所以 . 17．(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算法则求解； （2）设，将通过用表示，在根据共线，将通过用表示，然后利用平面向量基本定理列方程求出的关系，代入求范围即可. 【详解】（1）由已知得 ； （2）设， 则，， ， 由于共线，设， 则， 所以，所以， 因为是线段（不含端点）上的动点， 所以，所以， 所以， 当时，. 18.【详解】（1）函数, 因为，所以，所以， . （2）由，而，可得，即， 所以， 因为，所以,则， 故当时，取最大值，最大值为． （3）由（1）可知 ,令，因为，所以，从而，则即为：在上恒成立，所以在在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立． 所以，即实数a的取值范围为. 19.(1) (2) (3) 【分析】（1）首先利用正弦定理将角化为边，再根据余弦定理，即可求解； （2）首先根据三角形的面积公式求解和的正弦和余弦，再利用两角和的正弦公式求，最后代入三角形的面积公式； （3）根据向量的线性关系，以及平面向量基本定理，表示，再利用所设变量，转化为函数关系求值域. 【详解】（1）由， 由正弦定理，可得， 由余弦定理，可得， 得，且，所以； （2）由为边上中线，可得， 则， 由，可得， 则，则， 则， ， 则； （3）由，可得， 设， 由的面积为面积的，可得， 则，则，设，由为中线，可得， 则，由共线可得， ， 由可得， 由，可得，则 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由面积公式得，从而利用向量转化求数量积. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$