第12讲 圆锥的侧面积（2大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第12讲 圆锥的侧面积（2大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求圆锥的侧面积 题型二 求圆锥底面半径 题型三 求圆锥的高 题型四 求圆锥侧面展开图的圆心角 题型五 圆锥的实际问题 题型六 圆锥侧面上最短路径问题 知识点一、圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 知识点二、圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 【典型例题一 求圆锥的侧面积】 1．将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 3．圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π） 4．如图，在中，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个圆锥，这个圆锥的侧面积为 ． 5．如果圆锥的底面圆的周长是，侧面展开后所得的扇形的圆心角为，求该圆锥的侧面积和全面积． 【典型例题二 求圆锥底面半径】 1．用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 3．将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 4．一个母线长为的圆锥，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是 ． 5．如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 【典型例题三 求圆锥的高】 1．一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 2．在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是（   ） A． B． C． D． 3．若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm． 4．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ． 5．如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高．    【典型例题四 求圆锥侧面展开图的圆心角】 1．如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 2．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 4．数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥侧面展开图的圆心角为 5．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）． (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【典型例题五 圆锥的实际问题】 1．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 2．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．    4．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000cm²，母线长为 50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为 ． 5．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 【典型例题六 圆锥侧面上最短路径问题】 1．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 2．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 3．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为 （结果保留根号） 4．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为 ． 5．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 【变式训练1 求圆锥的侧面积】 1．一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，圆锥底面圆的半径r为，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角θ为的扇形，则圆锥的侧面积为 ．（用含的式子表示） 3．如图，已知每个小正方形的边长为，都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图．    (1)计算这个圆锥侧面展开图的面积； (2)求这个圆锥的底面半径． 【变式训练2 求圆锥底面半径】 1．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6的扇形，这个圆锥的底面圆的直径为（    ） A． B． C．5 D．12 2．用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为 ． 3．如图，在扇形中，C是上一点，延长到D，且． (1)求的度数； (2)扇形是某圆锥的侧面展开图，若，求该圆锥的底面半径． 【变式训练3 求圆锥的高】 1．如图是将一个圆锥的侧面展开得到的扇形纸片，已知该扇形的半径是，弧长是，则这个圆锥的高是（　　）    A． B． C． D． 2．若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 ． 3．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度. 【变式训练4 求圆锥侧面展开图的圆心角】 1．如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（）度． A．120 B．150 C．135 D．125 2．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °． 3．如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数 【变式训练5 圆锥的实际问题】 1．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 2．某班设计小组想制作如图纸帽，使纸帽的高为，底面半径为，若小李用漂亮的彩纸做一顶这样的纸帽，则纸帽的外部面积为 ． 3．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 【变式训练6 圆锥侧面上最短路径问题】 1．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 2．如图，圆锥的轴截面是边长为8cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 ． 3．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 1．（2024·江苏苏州·二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃武威·三模） 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 4．（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，从一个直径为的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 5．（2024八年级·全国·竞赛）有一个圆锥，其母线长是，底面圆的直径是，点为底面圆周上的任意一点，现在用笔在该圆锥的侧面上画出一条线，这条线从点开始绕圆锥侧面一圈后又回到点，则这条线最短为（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·江苏无锡·一模）如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    7．（2024·广东广州·三模）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留） 8．（2024·江苏泰州·三模）如图，正五边形的边长为6，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）小亮在手工制作课上，用半径为，圆心角为的扇形彩纸围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面积为 ． 10．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 11．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请利用网格图计算． (1)在网格图中画出该圆弧所在圆的圆心点的位置； (2)连接，则的半径为 ，的度数为 ； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 12．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．    (1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； (2)在中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． (1)求扇形的面积； (2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高． 14．（23-24九年级上·广东云浮·期末）如图，是的直径，C、D为上的点，点E在的延长线上，直线经过点C，已知，． (1)求证：为的切线． (2)若，的半径等于，求绕旋转一周得到的几何体的表面积（结果保留）． 15．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）． (1)求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数． (2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 圆锥的侧面积（2大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求圆锥的侧面积 题型二 求圆锥底面半径 题型三 求圆锥的高 题型四 求圆锥侧面展开图的圆心角 题型五 圆锥的实际问题 题型六 圆锥侧面上最短路径问题 知识点一、圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 知识点二、圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 【典型例题一 求圆锥的侧面积】 1．将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，扇形弧长公式；利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆周长，先求出圆锥母线长，再求出侧面积即可． 【详解】解：设圆锥母线长为l，则有：， 解得：， 则圆锥侧面积为：， 故选：B． 2．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 3．圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】此题考查了圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 4．如图，在中，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个圆锥，这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算，掌握圆锥的定义以及侧面积计算公式成为解题的关键． 先根据勾股定理求解得到的母线长，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由已知得，圆锥母线长，底面圆的半径r为8， ∴圆锥的侧面积是． 故答案为：． 5．如果圆锥的底面圆的周长是，侧面展开后所得的扇形的圆心角为，求该圆锥的侧面积和全面积． 【答案】该圆锥的侧面积为，全面积为 【分析】根据底面周长可求得底面半径，进而可求得底面积，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长可得到母线长，进而求得侧面积． 【详解】解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长， 所以， ∴底面面积， ∵， ∴， ∴侧面面积， 所以全面积． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于． 【典型例题二 求圆锥底面半径】 1．用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查求圆锥的底面直径，熟记公式的灵活应用是解题的关键．先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可． 【详解】解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：B． 2．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题是圆锥的计算，主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 3．将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键．设圆锥的底面圆半径为，根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】设圆锥的底面圆半径为， 根据题意得， 解得：， 即这个圆锥的底面圆半径为1． 故答案为：1． 4．一个母线长为的圆锥，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是 ． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，掌握扇形的弧长等于圆锥底面周长是解题的关键． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为， 由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 5．如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】（1）解：的长． （2）设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 【典型例题三 求圆锥的高】 1．一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则， 解得：， ∴圆锥侧面展开图的弧长为： ∴圆锥的底面圆半径是， ∴圆锥的高为 故选C． 2．在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为(cm)，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为(cm)， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故选B． 3．若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得：． 即圆锥的母线长为， ∴圆锥的高cm， 故答案是：． 4．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的相关计算，易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，加上母线长6，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：， ∴圆锥的底面半径为， ∴该圆锥的高为：． 故答案为：． 5．如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高．    【答案】圆锥的高为． 【分析】本题考查了圆锥的计算，重点考查了扇形的弧长公式．求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为， 故圆锥的高为：． 【典型例题四 求圆锥侧面展开图的圆心角】 1．如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， ∵ ∴ ∴ 解得： 故选：C． 2．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm， 由题意得：，解得：， 则，解得，即扇形的圆心角为， 故答案为：B． 3．若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆心角的度数为，根据圆锥底面圆的周长为展开图扇形的弧长，列出方程求解即可． 【详解】解：设圆心角的度数为，由题意，得：， 解得：， ∴圆心角的度数为； 故答案为：． 4．数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：（分米）， 设圆心角的度数是n度．则 ， 解得：． 故答案为：． 5．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）． (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）先求出半径为的圆面积，结合面积为的扇形，即可作答． （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，结合弧长公式：，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解方程求出r即可． 【详解】（1）解：∵一个半径为，面积为的扇形铁皮 ∴ ∴扇形的圆心角的度数为； （2）解：根据题意得 解得． 所以圆锥的底面半径r为 【典型例题五 圆锥的实际问题】 1．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：设底面圆的半径为，母线长为， 由题意，得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，是解题的关键． 2．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为l， 由题意得：， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键． 3．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．    【答案】22 【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：， ∴， ∴米堆的体积为：， ∴米堆的斛数为：； 故答案为：22． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大． 4．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000cm²，母线长为 50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为 ． 【答案】 【分析】先根据圆锥的侧面积公式，求得圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式即可求得底面圆半径，从而得到结果． 【详解】解：圆锥侧面展开为扇形，则，其中为圆锥母线长，为圆锥底面圆的半径， ∴，解得：， 即：底面圆的直径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式，圆的周长公式等，掌握圆锥的相关知识以及运算公式是解题关键． 5．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 【答案】 【分析】 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是利用题目已知条件得到扇形的弧长和圆的周长之间的关系．根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系． 【详解】 解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得：． 【典型例题六 圆锥侧面上最短路径问题】 1．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长． 【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图， 连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6， 在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2， 解得AS＝10． ∵A，S两点之间线段AS最短， ∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 2．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是 6π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l=6π， 设展开后的圆心角是n°，则 解得：n=180， 即展开后 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得： 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 3．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为 （结果保留根号） 【答案】6 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离． 【详解】∵底面圆的半径为， ∴圆锥的底面周长为2×＝3， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n． ∴， 解得n＝90°， 如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程， ∵∠O=90°，OA′=OA=6， ∴AA′＝． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点． 4．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可． 【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4， 侧面展开的圆心角，n=90º即∠ASC=90º， C为SD的中点SD=4， 线段AC是小虫爬行的最短距离， 在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键． 5．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 【答案】详见解析． 【分析】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： ． 【点睛】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理． 【变式训练1 求圆锥的侧面积】 1．一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥侧面积展开图公式计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 侧面展开图的面积是， 故选：C． 2．如图，圆锥底面圆的半径r为，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角θ为的扇形，则圆锥的侧面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】/厘米 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，求圆锥的母线长，根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的弧长结合弧长公式求出母线长，进而根据扇形面积计算公式求出对应的侧面积即可． 【详解】解：设该圆锥的母线长为l， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知每个小正方形的边长为，都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图．    (1)计算这个圆锥侧面展开图的面积； (2)求这个圆锥的底面半径． 【答案】(1) (2)这个圆锥的底面半径为． 【分析】（1）利用图形可以得到扇形的圆心角，和半径，利用扇形面积公式计算扇形的面积即可； （2）根据（1）的结果可求得圆锥底面半径． 【详解】（1）解：由图可知，； 则弧的长为， ∴面积为：； （2）解：设底面半径为r， 则， ． 这个圆锥的底面半径为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题需要准确掌握扇形的弧长公式，并且要善于读图． 【变式训练2 求圆锥底面半径】 1．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6的扇形，这个圆锥的底面圆的直径为（    ） A． B． C．5 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图与底面圆之间的关系，求弧长；理解圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故选：C． 2．用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式和圆的周长计算公式．根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为r，则， 所以， 所以圆的直径为． 故答案为：． 3．如图，在扇形中，C是上一点，延长到D，且． (1)求的度数； (2)扇形是某圆锥的侧面展开图，若，求该圆锥的底面半径． 【答案】(1)150° (2)5 【分析】对于（1），作一个圆周角，再求出这个角，然后根据圆周角定理求出答案即可； 对于（2），先根据弧长公式求出弧长，再根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出等式，求出半径即可． 【详解】（1）根据题意作图如下： 作出所对的圆周角， ∵，， ∴， ∴； （2）设该圆锥的底面半径为r， 根据题意得， 解得， ∴该圆锥的底面半径为5． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式等，掌握扇形弧长与对应的圆锥的底面周长之间的关系是解题的关键． 【变式训练3 求圆锥的高】 1．如图是将一个圆锥的侧面展开得到的扇形纸片，已知该扇形的半径是，弧长是，则这个圆锥的高是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程得到，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为， 所以这个圆锥的高为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式． 2．若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 已知半径为6 的半圆形纸片，就可以求出半圆形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：半圆形弧长为：， 设圆锥底面半径为r， 则：，所以，， 圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边， 设圆锥高为h，所以， 解得， 故答案为：． 3．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度. 【答案】 【分析】设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出结果. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， ∵， ∴的长， ∴，即：， 在中，， 根据勾股定理得，. 【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，正确理解圆锥的侧面展开图的弧长与其底面圆的半径的关系是解题的关键. 【变式训练4 求圆锥侧面展开图的圆心角】 1．如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（）度． A．120 B．150 C．135 D．125 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算． 【详解】解：圆锥底面周长， ∴这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为圆锥底面周长． 故选:． 2．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为， ∴底面周长为： 解得：， 故答案为： 3．如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数 【答案】120° 【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为1， ∴圆锥的底面周长为2π， ∵圆锥的高是， ∴圆锥的母线长为， 设扇形的圆心角为n°， ∴， 解得：． 即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．理解题意，将扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解是解题关键． 【变式训练5 圆锥的实际问题】 1．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 【答案】A 【分析】由底面圆的半径＝5米，根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和． 【详解】解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米， ∴圆锥的母线长=米， ∴圆锥的侧面积=， 圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高， 即， 故需要的毛毡：米， 故选：A． 【点睛】此题主要考查勾股定理，圆周长公式，圆锥侧面积，圆柱侧面积等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键． 2．某班设计小组想制作如图纸帽，使纸帽的高为，底面半径为，若小李用漂亮的彩纸做一顶这样的纸帽，则纸帽的外部面积为 ． 【答案】cm2． 【分析】纸帽的外部面积就是圆锥侧面展开图的面积，所以计算侧面展开图的面积，问题即可求解． 【详解】解：纸帽底面圆的周长为： ∴侧面展开图的扇形的弧长为 ∵圆锥的母线长为：（cm） ∴圆锥侧面展开图的面积为：cm2 故答案为：cm2． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 3．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 【答案】(1)5m (2)63m2 【分析】（1）如图，构造Rt，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长，根据勾股定理进而得出结论； （2）先求出顶部圆锥的底面圆周长，再求出圆锥的侧面积即可求出所需油毡的面积． 【详解】（1）如图，圆锥的轴截面为， 为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长， 由题意可知，m，m， ∴母线长m； （2）顶部圆锥的底面圆周长为m， ∴圆锥的侧面积为m2， ∴所需油毡的面积至少是m2． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和顶部圆锥的底面圆周长，正确掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 【变式训练6 圆锥侧面上最短路径问题】 1．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 2．如图，圆锥的轴截面是边长为8cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 ． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝8π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝8π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：， 即展开后∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝4，AB＝8， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 3．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 【答案】cm 【分析】求出圆锥底面圆的周长，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC＝90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：n＝180°， 则∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝3，AB＝6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 如图， 由勾股定理得：BP＝， 答：在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长是3cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和空间想象能力，题目是一道具有代表性的题目，有一定的难度． 1．（2024·江苏苏州·二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得，所以，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可． 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R， 由题意得， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 2．（2024·甘肃武威·三模） 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，解直角三角形；作于，如图，根据折叠的性质得等于半径的一半，即 ，再根据特殊角的三角函数值得出，则，所以，则利用弧长公式可计算出弧的长，再求出底面圆的半径为，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 由折叠的性质可知，，则 由此可得，在中，， 同理可得， 在中，由三角形内角和定理，得． 弧的长为． 设围成的圆锥的底面半径为，则， ． 圆锥的高为． 故选A． 3．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键． 根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，求出半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 4．（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，从一个直径为的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了圆锥的计算的知识，应用的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长；设圆锥的底面圆半径为先根据勾股定理求出扇形的半径，再根据圆锥的弧长等于底面周长列方程求出，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】：设圆锥的底面圆半径为 过圆心O作于点D，连接，如图． ∵， ∴． ∴，， ∴ ∴ ∴圆锥的底面圆的半径． ∴圆锥的高为， 故选：A． 5．（2024八年级·全国·竞赛）有一个圆锥，其母线长是，底面圆的直径是，点为底面圆周上的任意一点，现在用笔在该圆锥的侧面上画出一条线，这条线从点开始绕圆锥侧面一圈后又回到点，则这条线最短为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了圆锥平面展开图的最短路径问题，利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，进而得出扇形圆心角的度数，再利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，由两点间直线距离最短可知，圆锥侧面展开图最短， 由题意可知：， ， 解得：， ， ， 故选：B． 6．（2024·江苏无锡·一模）如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【详解】解：由勾股定理得：母线， ． 故答案为：． 7．（2024·广东广州·三模）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键． 根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，相加即可得出该几何体的全面积． 【详解】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为， 圆锥的母线为：， 圆锥的侧面积为：， 底面圆的面积为：， 该几何体的全面积为：． 故答案为：． 8．（2024·江苏泰州·三模）如图，正五边形的边长为6，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】1.8 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键． 先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：∵是正五边形， ∴， 设底面圆的半径为r，则 ， 解得， 故答案为：． 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）小亮在手工制作课上，用半径为，圆心角为的扇形彩纸围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，弧长的计算，根据圆锥的计算公式即可求出答案． 【详解】解：由弧长公式可知： ∴底面圆的周长为， 设底面圆的半径为r ， ∴圆锥的底面积为， 故答案为： 10．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 【答案】 /18度 【分析】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可． 本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为， 根据题意，得， 解得； 根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积， 得， 故答案为：，． 11．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请利用网格图计算． (1)在网格图中画出该圆弧所在圆的圆心点的位置； (2)连接，则的半径为 ，的度数为 ； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据圆的性质，利用弦的垂直平分线的经过圆心作图即可得到答案； （2）在网格中利用勾股定理即可得到的半径，数形结合即可得到的度数； （3）由前述得到的结论，求出的长度，设以扇形为圆锥的底面半径为，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 圆心点即为所求； （2）解：如图所示： 的半径为； 由网格可知、是全等的两个矩形的对角线，则； 故答案为：；； （3）解：由前述求解过程可知， 设以扇形为圆锥的底面半径为，则，解得． 【点睛】本题考查圆综合，涉及找圆弧所在圆的圆心、垂径定理、勾股定理、网格中求角度、弧长公式及圆锥侧面展开图性质等知识，熟练掌握圆综合问题的解法是解决问题的关键． 12．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．    (1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； (2)在中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在， 【分析】（1）设该圆锥的底面半径为r，根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列式即可得到答案； （2）连接，由垂径定理得到D为中点，E为中点．则为的中位线．得到．再求出的长，即可得到的长，结论得证； 【详解】（1）解：设该圆锥的底面半径为r， 由题意得． 解得， 即该圆锥的底面半径为1． （2）存在，的长为定值．如图，连接．    ∵，， ∴D为中点，E为中点． ∴为的中位线． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、垂径定理、三角形中位线定理的等知识，数形结合是解题的关键． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． (1)求扇形的面积； (2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高． 【答案】(1) (2)圆锥的底面半径为，高为 【分析】（1）先判断过圆心O，，然后由勾股定理求扇形的半径，再根据面积公式求解即可； （2）利用底面周长等于展开图的弧长，可求得半径径的长度，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】（1）连接，， ∵， ∴过圆心O， ∴， ∵从中剪出一个圆心角的扇形， ∴． ∵， ∴， ∴扇形半径为； ∴； （2）设围成圆锥的底面半径为r，则， 解得， ∵圆锥的母线长， ∴圆锥的高为． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 14．（23-24九年级上·广东云浮·期末）如图，是的直径，C、D为上的点，点E在的延长线上，直线经过点C，已知，． (1)求证：为的切线． (2)若，的半径等于，求绕旋转一周得到的几何体的表面积（结果保留）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接．根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而推出，即可证明结论； （2）连接，可证是等腰直角三角形，进而得出，绕旋转一周得到的几何体为两个相同的底面相对的圆锥，利用圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ，， ，， ， 是的直径，点在上， ，即． ， ，即． 是半径， 为的切线． （2）解：如图，连接， 的半径等于， ，． ，， ． 是的直径，点为在上， ， 是等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得， 解得， 绕旋转一周得到的几何体为两个相同的底面相对的圆锥，半径为，母线长为， 表面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，圆锥的侧面积公式等知识，掌握圆的相关性质，利用空想想象力判断出旋转后的几何体是解题关键． 15．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）． (1)求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数． (2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：） 【答案】(1) (2)方案二 【分析】（1）根据题意利用勾股定理求出圆锥母线长，再利用圆锥的底面周长与扇形的弧长之间的关系，即可得到本题答案； （2）过点作，利用矩形性质及（1）中结论可知，再利用含角的直角三角形三边关系求得，继而求出方案一所需的矩形铁皮的面积，同法可得方案二所需的矩形铁皮的面积，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为， ∵底面半径为，高为的锥形漏斗， ∴圆锥的母线长为：， ∴，解得：， 即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为； （2）解：如图，过点作， 四边形是矩形，由（1）知， ． 由（1）可得；， 在中， ， ， ， ， 方案一所需的矩形铁皮的面积； 如图，， ， 在中， ， ， ， 方案二所需的矩形铁皮的面积， ， 方案二所用的矩形铁皮面积较少． 【点睛】本题考查含角的直角三角形三边关系，矩形性质，弧长公式，勾股定理，圆锥的底面周长与扇形的弧长之间的关系，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$