精品解析：河南省信阳市固始县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下期期末教学质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 4. 正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 5. 某单位招聘一名员工，从专业知识，工作业绩，面试成绩三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的权重比依次为，小明经过考核后所得的分数依次为90，85，80分，那么小明考核的最后得分是（ ） A. 0 B. 84 C. 87 D. 90 6. 如图，在四边形ABCD中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移2个单位长度后经过点，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 8. 已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ） A. y 的值随 x 的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 当 时，y<0 9. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列5个结论：①，②，③一定是等腰三角形，④⑤，其中正确的结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，是平面直角坐标系中轴上的一点，，以为底构造等腰，且，将沿着射线方向平移，每次平移的距离都等于线段的长，则第2024次平移结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 12. 请写出一个图象经过的函数的解析式____________． 13. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是___． 14. 如图，，，分别是各边的中点，是高，如果，那么的长为___． 15. 如图，一次函数分别与坐标轴交于，，点M为y轴上一点，把直线沿翻折，点B刚好落在x轴上，则点M坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 教育部在落实“双减”的同时，推动“双增”，即增加学生参加户外活动、体育锻炼、艺术活动、劳动活动的时间和机会，增加学生接受体育和美育教育的时间和机会，确保学生的身心健康．甲、乙两名队员参加射击选拔赛，射击成绩见统计图： 根据以上信息，整理分析数据如下： 队员 平均数（环） 中位数（环） 众数（环） 方差（环） 甲 7.9 b c 4.09 乙 a 7 7 d （1）直接写出表格中a，b，c的值； （2）求出d值； （3）若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，你认为应选哪名队员？请结合表中的四个统计量，作出简要分析． 18. 如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，． （1）求的长； （2）若，，求图中阴影部分面积． 19. 若直线，，则称直线为这两条直线的友好直线． （1）直线与的友好直线为________． （2）已知直线是直线与的友好直线，且直线经过第一、三、四象限，与轴相交于点． ①求的取值范围； ②若直线经过定点，且，求的值． 20. 某校计划租用甲、乙两种客车送330名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需600元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1560元．甲客车每辆可坐30名师生，乙型客车每辆可坐45名师生． （1）租用甲、乙两种客车每辆各需多少元？ （2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？ 21. 如图，已知平行四边形ABCD． （1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形； （2）若∠BAD＝120°，CD＝3，AB⊥AC，求平行四边形ABCD面积． 22. 2月11日左右，河北省教育厅公布《河北省初中学业水平体育与健康科目考试方案》（下称《方案》）．方案提到，河北中考体育总分50分，跑步为必考项目．甲、乙两名同学相约在同一路段进行跑步训练，二人在起点会合后，甲出发3分钟时，乙出发，结果乙比甲提前2分钟到达终点．二人到达终点即停止，全程匀速．如图，设甲离开起点后经过的时间为x（分），甲离开起点的路程y（米）与x（分）之间的函数关系式为，图像为线段；乙离开起点的路程（米）与x（分）之间的函数关系用线段表示，请根据图像中的信息解决下列问题： （1）图像中m的值为_______，n的值为_______； （2）求线段BC对应函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； （3）直接写出点D的坐标，并解释点D坐标表示的实际意义． 23. 综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？ 已知：如图1，在中，D、E分别是的中点，求证：，． 思路分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，我们可以用“倍长法”将延长一倍：即延长到F，使得，连接，通过证明四边形与四边形是平行四边形从而得出最后结论． 问题解决： （1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是______．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想　B．转化思想　C．分类讨论思想　D．方程思想 （2）请根据以上思路分析，完成“三角形中位线定理”的证明过程． 方法迁移： （3）如图3，四边形和均为正方形，连接，N是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下期期末教学质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数不含能开得尽的因数或因式． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法与乘法、二次根式的化简逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式加减法与乘法、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 3. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理等知识点，灵活运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形成为解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，则最大角为,即是直角三角形，不符合题意； B、由，符合勾股定理的逆定理，即是直角三角形，不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意； D、由，则,即是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4. 正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图象有四种情况： ①当，函数的图象经过第二、三象、一象限； ②当，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当时，函数的图象经过第二、三、四象限． 因为正比例函数的函数值y随x的增大而减小，可以判断；再根据判断出函数图象的大致位置． 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选：B． 5. 某单位招聘一名员工，从专业知识，工作业绩，面试成绩三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的权重比依次为，小明经过考核后所得的分数依次为90，85，80分，那么小明考核的最后得分是（ ） A. 0 B. 84 C. 87 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】将三个方面考核后所得的分数分别乘上它们的权重，再相加，即可得到最后得分． 【详解】解：小明的最后得分（分）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． 6. 如图，在四边形ABCD中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴四边形可以是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移2个单位长度后经过点，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律：上加下减，是解题的关键． 根据平移的规律确定平移后的直线的解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度， 平移后的直线的解析式为：， ∵过点， ∴， 解得：， 故选：D． 8. 已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ） A. y 的值随 x 的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 当 时，y<0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质逐项进行分析即可． 【详解】解：A、由于一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意； B、一次函数y=-x+2的k=-1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意； C、将（0,2）代入y=-x+2中得2=0+2，等式成立，所以（0,2）在y=-x+2上，故该选项符合题意； D、一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x<2时，y>0，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 9. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列5个结论：①，②，③一定是等腰三角形，④⑤，其中正确的结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】可以证明△ANP≌△FPE，即可证得①④是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据P的任意性可以判断③⑤的正确性． 【详解】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M． ∵四边形ABCD是正方形． ∴∠ABP=∠CBD， 又∵NP⊥AB，PE⊥BC， ∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE， ∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF， ∴NP=EP， ∴AN=PF， 在△ANP与△FPE中， ， ∴△ANP≌△FPE（SAS）， ∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）； △APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM， ∴∠PMF=∠ANP=90°， ∴AP⊥EF，（故②正确）； P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，（故③⑤错误）； 故正确的是：①②④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键． 10. 如图，是平面直角坐标系中轴上的一点，，以为底构造等腰，且，将沿着射线方向平移，每次平移的距离都等于线段的长，则第2024次平移结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，平面直角坐标系中平移规律探索，作于点C，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得，，再解求出点B坐标，找出平移后点B坐标的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：如图，作于点C， ，，，， ，， ， ， 由图观察可知，第1次平移相当于点向上平移1个单位，向右平移个单位，第2次平移相当于点向上2平移个单位，向右平移个单位，…… 以此类推，第n次平移后点的对应点坐标为， 第2024次平移结束时，点的对应点的坐标为，即， 故选D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件．直接利用二次根式和分式有意义的条件得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故答案为：且． 12. 请写出一个图象经过的函数的解析式____________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】写出一个经过点的一次函数即可． 【详解】解：经过点的函数的解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足其函数解析式是解题的关键． 13. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是___． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，根据，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】因为，，，， 所以，由此可得成绩最稳定的为丁． 故答案为：丁． 14. 如图，，，分别是各边的中点，是高，如果，那么的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质，根据、、分别是的中点，可知为的中位线，根据的长度可求得的长度，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，即可求解． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴为的中位线， ∵， ∴， ∵，且F为的中点， ∴． 故答案为：． 15. 如图，一次函数分别与坐标轴交于，，点M为y轴上一点，把直线沿翻折，点B刚好落在x轴上，则点M的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，则有，而的长度根据已知可以求出，所以点的坐标由此求出；又由于折叠得到，在直角中根据勾股定理可以求出，也就求出的坐标． 【详解】解：如图所示，当点在轴正半轴上时， 设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，则有， ∵，， ，， ， ， 点的坐标为． 设点坐标为，则，， ， ， ， ； 如图所示，当点在轴负半轴上时， ， 设点坐标为，则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题综合考查了翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算括号里面的，再合并同类项即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．注意运用平方差公式和完全平方公式. 17. 教育部在落实“双减”的同时，推动“双增”，即增加学生参加户外活动、体育锻炼、艺术活动、劳动活动的时间和机会，增加学生接受体育和美育教育的时间和机会，确保学生的身心健康．甲、乙两名队员参加射击选拔赛，射击成绩见统计图： 根据以上信息，整理分析数据如下： 队员 平均数（环） 中位数（环） 众数（环） 方差（环） 甲 7.9 b c 4.09 乙 a 7 7 d （1）直接写出表格中a，b，c的值； （2）求出d的值； （3）若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，你认为应选哪名队员？请结合表中的四个统计量，作出简要分析． 【答案】（1），， （2） （3）应选甲，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据以及平均数，中位数以及众数的定义即可得出答案； （2）根据方差的公式计算即可； （3）综合平均数，中位数及众数分析即可得出答案． 【小问1详解】 乙的平均数（环） 甲射击的成绩从小到大排列为：3、6、7、8、8、9、9、9、10、10 甲射击成绩的中位数（环） 甲射击成绩中出现次数最多的是9 故，，； 【小问2详解】 方差 【小问3详解】 应选甲，理由如下： 因为甲的平均数，中位数，众数均高于乙，所以应选甲． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，中位数，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解题的关键． 18. 如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，． （1）求的长； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，用勾股定理求解即可； （2）先用勾股定理逆定理证明，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：在中， 根据勾股定理可得， 即的长为； 【小问2详解】 解：在中， ，，， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了几何问题，涉及到勾股定理和逆定理等，灵活运用所学知识是关键． 19. 若直线，，则称直线为这两条直线的友好直线． （1）直线与的友好直线为________． （2）已知直线是直线与的友好直线，且直线经过第一、三、四象限，与轴相交于点． ①求的取值范围； ②若直线经过定点，且，求的值． 【答案】（1）；（2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据“友好直线”定义解答即可； （2）①首先写出友好直线，然后根据直线经过第一、三、四象限可得k＞0，b＜0，据此解答即可； ②根据直线的解析式得出直线经过定点，再根据三线合一得出列出关于m的方程即可． 【详解】解：（1）直线y=3x+2与y=-4x+3的友好直线为：y=（3-4）x+2×3=-x+6 故答案：y=-x+6； （2）①直线与的友好直线为， 根据题意，得， 解得． ②由①得， 由，得， 当时，， 直线一定过定点． 与y轴的交点A(0，-6m) 当时， 可得，即， 解得． ，则 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型． 20. 某校计划租用甲、乙两种客车送330名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需600元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1560元．甲客车每辆可坐30名师生，乙型客车每辆可坐45名师生． （1）租用甲、乙两种客车每辆各需多少元？ （2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？ 【答案】（1）租用甲种客车每辆240元，租用乙种客车每辆360元 （2）租用甲型客车2辆，租用乙型客车6辆，租车总费用最少为2640元 【解析】 【分析】（1）设租用甲种客车每辆元，租用乙种客车每辆元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可获得答案； （2）设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，租车总费用为元，根据题意列出一元一次不等式，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设租用甲种客车每辆元，租用乙种客车每辆元， 根据题意可得，， 解得． 答：租用甲种客车每辆240元，租用乙种客车每辆360元； 【小问2详解】 设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，租车总费用为元， 则，解得， 根据题意可知，， 又∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最小值为． 答：当租用甲型客车2辆，租用乙型客车6辆，租车总费用最少为2640元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． 21. 如图，已知平行四边形ABCD． （1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形； （2）若∠BAD＝120°，CD＝3，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)证明见详解；（2）9 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD＝3，求得∠ABC＝60°，勾股定理即可求出AC,可得到结论． 【详解】1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵AC＝2OM， ∴MN＝AC， ∴四边形AMCN是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝3， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BCA=30° ∴BC=6 ∴AC＝3， ∴平行四边形ABCD的面积＝AC•AB＝33＝9． 【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 2月11日左右，河北省教育厅公布《河北省初中学业水平体育与健康科目考试方案》（下称《方案》）．方案提到，河北中考体育总分50分，跑步为必考项目．甲、乙两名同学相约在同一路段进行跑步训练，二人在起点会合后，甲出发3分钟时，乙出发，结果乙比甲提前2分钟到达终点．二人到达终点即停止，全程匀速．如图，设甲离开起点后经过的时间为x（分），甲离开起点的路程y（米）与x（分）之间的函数关系式为，图像为线段；乙离开起点的路程（米）与x（分）之间的函数关系用线段表示，请根据图像中的信息解决下列问题： （1）图像中m的值为_______，n的值为_______； （2）求线段BC对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； （3）直接写出点D的坐标，并解释点D坐标表示的实际意义． 【答案】（1）20，18 （2） （3）点D坐标表示的实际意义是甲出发12分钟后，乙在距出发点1800米的地方追上甲 【解析】 【分析】（1）当时，由可得m值，再根据乙比甲提前2分钟到达终点即可求得n的值． （2）由（1）得，设线段对应的函数表达式为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． （3）将两直线的交点联立二元一次方程组，解方程组即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， 则， 故答案为：20；18． 【小问2详解】 由（1）得：， 由甲出发3分钟时，乙出发可知，设线段对应的函数表达式为，将，代入得：， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． 【小问3详解】 由题意得：， 解得：， ∴， ∴点D坐标表示的实际意义是甲出发12分钟后，乙在距出发点1800米的地方追上甲． 【点睛】本题考查了一次函数的应用及待定系数法求函数解析式，能从图象中获取信息解决问题是解题的关键． 23. 综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？ 已知：如图1，在中，D、E分别是的中点，求证：，． 思路分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，我们可以用“倍长法”将延长一倍：即延长到F，使得，连接，通过证明四边形与四边形是平行四边形从而得出最后结论． 问题解决： （1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是______．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想　B．转化思想　C．分类讨论思想　D．方程思想 （2）请根据以上思路分析，完成“三角形中位线定理”的证明过程． 方法迁移： （3）如图3，四边形和均为正方形，连接，N是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 【答案】（1）B；（2）见解析；（3）4． 【解析】 【分析】(1)根据解题方法知, 将证明“, 的问题转化为平行四边形性质的问题，即可得到答案； (2)延长到.使得, 连接, 证明四边形是平行四边形, 得,又是中点，可证四边形是平行四边形，故,,即得; (3)延长到点, 使得, 连接,证明四边形是平行四边形，结合该平行四边形和图中正方形的性质, 证得, 故, 从而. 【详解】解：（1）述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是转化思想， 故选B． （2）证明：延长到F，使得，连接， ∵E是的中点， ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵ ∴， （3）延长到M，使得，连接， ∵N是的中点， ∴ ∴ ∴四边形平行四边形 ∴，， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$