2025届高三高考数学一轮课时练习：高度测量问题

2025届高三高考数学一轮课时练习： 高度测量问题 一、单选题 1．如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高（    ）    A． B． C． D． 2．如图，测量河对岸的可视塔底的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得°，，米，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（    ） A． B． C． D． 3．某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，不可计算出旗杆高度的方案是（   ）． A．在水平地面上任意寻找两点A、B，分别测量旗杆顶端的仰角、，再测量A、B两点间距离 B．在旗杆对面找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和 C．在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角，再测量A到旗杆底部的距离 D．在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角 4．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了100米后到达，在处测得山顶的仰角为．设山高为，若在同一铅垂面，且在该铅垂面上位于直线的同侧，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（    ）    A．米 B．80米 C．米 D．米 7．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（   ）米 A． B． C． D． 8．“元素周期大厦”是百年名校川大附中校园里的标志性建筑之一.如图，身高1.6m的李红同学为了测量该建筑的高度，在其正前方A处观察建筑的顶端的仰角为30°，然后向前行走到B处，观察其顶端的仰角为45°，则此建筑的高度大约为（    ） A．2.6m B．3.2m C．3.6m D．4m 9．湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为，则黄鹤楼的高度可表示为（    ） A． B． C． D． 10．下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（    ） A．米 B．55米 C．米 D．米 二、多选题 11．某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有 A．在水平地面上任意寻找两点，，分别测量旗杆顶端的仰角，，再测量，两点间距离 B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和 C．在地面上任意寻找一点，测量旗杆顶端的仰角，再测量到旗杆底部的距离 D．在旗杆的正前方处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达处，再次测量旗杆顶端的仰角 13．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为，山脚A处的俯角为，已知，则下列选项中山的高度BC错误的是（    ）    A．700m B．640m C．600m D．560m 14．八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、南、西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕．塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点，测得CD的长为m．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、、、、，则根据下列各组中的测量数据，能计算出纪念塔高度AB的是（    ）        A．m、、、 B．m、、、 C．m、、、 D．m、、、 三、填空题 15．海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）      16．文峰塔位于安徽省阜阳市中心干道颍州路文峰公园内，文峰公园因此得名，康熙三十五年（1696）于此建文峰塔，以振兴阜阳文风．文峰塔是安徽省级文物保护单位．小张为了测量文峰塔的高度AB，采取了以下方法：在公园内D点处测得塔顶A点处的仰角为，后退22.1米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为，已知小张的眼睛距离地面高度为米，则文峰塔高度AB约为 米.（结果保留小数点后一位，参考数据：）. 17．某人在高出海面的山顶处，测得海面上的航标A在正东方向，俯角为，航标B在南偏东的方向上，俯角为，若航标A、B间的距离为400米，则山的海拔高度为 米． 18．如图，为了测量河对岸铁塔的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.在C点测得塔顶A的仰角为30°，塔底B在北偏东75°方向，然后向正东方向前进40米到达D，此时测得塔底B在北偏东30°方向，则此铁塔高为 米.    四、解答题 19．佛山电视塔位于文华公园内，是佛山地标性建筑．某位高中生想运用所学知识测量验证一下高度，通过查阅资料获取了两种测量方案． 方案一（两次测角法）：如图一，在电视塔附近广场上的点测得电视塔顶部的仰角为，正对电视塔前进米后，到达点，在点测得电视塔顶部的仰角为，然后计算出电视塔的高度． 方案二（镜面反射法）：如图二，在电视塔附近广场上，进行两个操作步骤：①将平面镜（大小合适，厚度忽略不计）置于地面上，人后退至从镜子中恰能看到电视塔的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对电视塔，将镜子后移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出电视塔的高度． 实际操作中，方案一测量数据为米，，测得电视塔高度为；方案二测量数据为米，米，米，测得电视塔高度为；假设测量者的“眼高”都用1.6米． (1)用表示； (2)计算的实际测量值（参考数据：，结果保留整数）． 20．杭州世纪中心是杭州最高楼，同时是浙江省最高的双子塔楼，建筑高度310米，以杭州拼音首字母“”为外形蓝本，被称为杭州之门，双塔的设计像一对翅膀，结合了杭州文化的城市之形，拱桥之意。某位高中生想运用所学知识测量验证一下高度，通过查阅资料获取了两种测量方案． 方案一（“两次测角法”）：如图一，在双子塔附近广场上的点测得双子塔顶部的仰角为，正对双子塔前进了米后，到达点，在点测得双子塔顶部的仰角为，然后计算出双子塔的高度. 方案二（“镜面反射法”）：如图二，在双子塔附近广场上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于地面上，人后退至从镜中能看到双子塔的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对双子塔，将镜子后移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米．然后计算出双子塔的高度. 实际操作中，方案一测量数据为米，，测得双子塔高度为；方案二测量数据为米，米，米，测得双子塔高度为；假设测量者的“眼高”都为1.6米. (1)试用表示出； (2)计算的实际测量值（结果取整，参考数据：）． 21．如图，为了测量某塔的高度，无人机在与塔底B位于同一水平面的C点测得塔顶A的仰角为45°，无人机沿着仰角α（）的方向靠近塔，飞行了m后到达D点，在D点测得塔顶A的仰角为26°，塔底B的俯角为45°，且A，B，C，D四点在同一平面上，求该塔的高度．（参考数据:取 tan 26°=，cos 56°=）    22．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为189km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过960s后，又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度．（精确到1m）   答案： 1．B 【分析】在中计算，然后在中计算，最后在中计算出即可. 【详解】根据题意，， 在中，， 由正弦定理得， 所以， 在中，. 故选：B 2．A 【分析】由已知，，CD=50米,利用正弦定理求出,在中，求出. 【详解】由已知，，CD=50米，故， 所以，即，解得， 又因为在点C测得塔顶A的仰角为，即， 所以在中，. 故选：A 3．A 【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可. 【详解】对于A：如果，两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确． 对于B：如下图， 中由正弦定理求，则旗杆的高，故B正确； 对于C：在直角三角形直接利用锐角三角函数求出旗杆的高，故C正确； 对于D：如下图，中由正弦定理求，则旗杆的高，故D正确； 故选：A. 4．B 【分析】根据条件，结合图形，利用三角形的性质，再根据正弦定理列式，即可求解. 【详解】由题意可知，，，， 在中，， ， 由正弦定理得，即， ，所以米.， 故选：B 5．D 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米． 故选：D． 6．B 【分析】由题意可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由题意可得，米，， 则． 在中，由正弦定理可得， 即，解得米． 故选：B 7．B 【分析】先利用正弦定理得出的长，再利用直角三角形可求答案. 【详解】在中，则， 因为， 且， 则， 在中，则． 故选：B． 8．C 【分析】记建筑物的高为，延长交于，设，由题意可得， 可得，可求建筑物的高. 【详解】记建筑物的高为，延长交于， 由题意可得， 设，在中，， 在中，，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 9．A 【分析】根据题意由三角形相似解出，再由图形，解出即可. 【详解】 如图，由知：，即， 由可知，即， 则，可得. 故选：A. 10．A 【分析】设，由直角三角形中三角函数定义可得，再在中利用余弦定理可解. 【详解】设，由已知，，，， 则，又， 在中：，则 解得或（舍去），所以解放碑的高度为米. 故选：A. 11．BCD 【分析】利用正弦定理，选择合适的三角形进行求解即可求解出答案. 【详解】对于A，在中，由正弦定理得所以米，故A错误； 对于B，在中米，故B正确； 对于C，在中，由正弦定理得，所以米，故C正确； 对于D，在中，米，所以米，故D正确． 故选：BCD． 12．BCD 【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可. 【详解】对于A：如果，两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确． 对于B：如下图， 中由正弦定理求，则旗杆的高，故B正确； 对于C：在直角三角形直接利用锐角三角函数求出旗杆的高，故C正确； 对于D：如下图，中由正弦定理求，则旗杆的高，故D正确； 故选：BCD. 13．ABD 【分析】利用正弦定理解三角形即可得解. 【详解】根据题意，可得在中，，， 所以； 因为在中，，， 所以， 由正弦定理得， 在中，． 故选：ABD. 14．ACD 【分析】根据解三角形的条件，逐项判断可解三角形求出塔高AB的选项即可. 【详解】对于A：由m，、可以解，又，可求塔高度AB； 对于B：在中，由，无法解三角形，在中，由，无法解三角形， 在中，已知两角、无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度AB； 对于C：由，、可以解，可求AC，又，即可求塔高度AB； 对于D：由，可求，在中，由正弦定理可求BC， 在中，由BC，可求AB．即D项可求塔高AB． 故选：ACD．    15． 【分析】如图，由三角形的外角和可得，进而求出BD，设m，利用勾股定理求出DG，即可求出DC. 【详解】如图，设海宝塔塔底中心为点，与交于点， 过点作于点，则，    由题意知，m，m， 所以，则， 在中，m， 又是的外角，即有， 所以， 在中，m，设m，则m， 在中，由勾股定理得， 即，整理得，解得或（舍）， 所以m，所以m， 即海宝塔的高度为m. 故答案为： 16．31.9 【分析】根据题意，由可得，从而得到. 【详解】由已知可得， 因为，所以， 即，解得， 所以文峰塔高度AB约为米. 故答案为：. 17． 【分析】作出图形，设山在海平面处为，设山的海拔高度为，则可得出，再在中，利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，设山在海平面处为， 由题意可得， 设山的海拔高度为，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 即山的海拔高度为米. 故答案为：. 18． 【分析】在中，利用正弦定理求出，进而在中求即可. 【详解】在中， 所以， 由正弦定理 得， 所以. 故答案为：. 19．(1) (2)238；256 【分析】（1）在，中，分别解三角形求出，结合，求出，进而得解； （2）根据（1）结果代入数据求得，在、中，由镜面反射可求得， ，于是， ． ，可求得即. 【详解】（1）在中，，所以． 在中，，所以． 所以． 于是． 所以． （2）代入数据，可得． 在中，由镜面反射可知，所以，于是． 在中，由镜面反射可知，所以，于是． 因为，于是． 20．(1) (2)（米），（米） 【分析】（1）在，中，分别解三角形求出，结合，求出，进而得解； （2）根据（1）结果代入数据求得，由，可得，，可得，结合可求得即. 【详解】（1）在中，， 在中，，又， 所以，， 所以. （2）由（1）得（米）； 由，可得，即， ，可得，即， 又，所以， 解得，（米）. 21．326m 【分析】设，根据条件得到是等腰直角三角形，所以，同理是等腰直角三角形，得，进而得，然后根据余弦定理列方程求解可得 【详解】因为A、B、C、D四点在一个平面上 如图，过点作，垂足为． 由题意得． 在中，又塔底B与C位于同一水平面，所以，所以， 又，所以是等腰直角三角形，所以， 在中，，又，所以是等腰直角三角形， 所以， 设，则， 又，所以， 所以． 在中，由余弦定理得， 即， 得，即该塔的高度为．    22．2443m 【分析】解三角形计算即可. 【详解】    如图所示，假设山顶为A点，飞机经过960秒，从B到C处，过A作BC的垂线交BC延长线于D点， 由题意可知，，千米， 在直角三角形中，有， 所以千米， 故山顶海拔高度为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$