第15讲 反比例函数（8个知识点+10种经典题型+试题练习）2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第15讲 反比例函数（8个知识点+10种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 【例1】（2023秋•金山区期末）下列四个函数中，是反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式】（2020秋•静安区期末）已知，与成反比例，与成正比例，且当时，，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 知识点2．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【例2】（2023秋•浦东新区校级期末）下列函数中，函数值随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【变式】（2022秋•长宁区校级期中）反比例函数（其中的图象在第　　象限． 知识点3．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 【例3】（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知双曲线经过矩形的边的中点，交于点，且四边形的面积为2．则　　 A．2 B． C．1 D．4 【变式】（2022秋•黄浦区月考）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是　　． 知识点4．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【例4】（2023秋•浦东新区校级期末）已知三点，，，，都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【变式】（2023秋•崇明区期末）已知三点、和在反比例函数的图象上，若，则、和的大小关系是 　　．（用“”连接） 知识点5．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 【例5】（2022秋•徐汇区期末）反比例函数在第二象限内的图象上有一点，过作轴于点，联结，已知的面积为4．则反比例函数的解析式为 　　． 【变式】（2023秋•静安区校级期中）如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数图象上，点是函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为． （1）点的坐标是 　　，　　； （2）当，求点的坐标； （3）求出关于的函数关系式． 知识点6．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 【例6】（2023秋•虹口区校级期末）正比例函数和反比例函数的图象都经过，则正比例函数的解析式为 　　． 【变式】（2021•杨浦区二模）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点． （1）求、的值； （2）联结，如果，求的面积． 知识点7．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 【例7】（2022秋•松江区校级期中）甲乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地，则他的平均速度（千米小时）与时间（时之间的关系用图象大致可表示为　　 A． B． C． D． 【变式】（2023秋•静安区校级期末）某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚载培．某一天恒温系统从开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度随时间（时变化的函数图象如图，其中段和段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． （1）分别求出段和段所对应的与的函数关系式； （2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 知识点8．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 【例8】（2023秋•嘉定区期末）如图，等边三角形的一边在轴上，双曲线在第一象限内的图象经过边的中点，则点的坐标是　　 A． B．， C． D．， 【变式】（2023秋•长宁区校级期末）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标是4．双曲线上有一动点，．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）联结、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 经典题型汇编 题型一．反比例函数的定义 1．（2021秋•黄浦区校级期末）下列函数中，反比例函数是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•虹口区校级期中）已知和成正比例，和成反比例，则和成　　比例． 题型二．反比例函数的图象 3．（2023秋•静安区校级期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是　　 A． B． C． D． 4．在同一坐标平面内，分别画出与的图象． 题型三．反比例函数图象的对称性 5．（浦东新区期末）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是　　 A． B． C． D． 6．（长宁区期末）已知函数与的图象的一个交点坐标是，则它们的图象的另一个交点的坐标是　　． 题型四．反比例函数的性质 7．（2023秋•普陀区期末）下列函数中，的值随的值增大而减小的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•长宁区校级期末）如果函数，那么　　． 题型五．反比例函数系数k的几何意义 9．（2022秋•宝山区校级期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为 　　． 10．（黄浦区期末）如图，已知点是反比例函数图象上一点，是坐标原点，的面积为，且．求： （1）反比例函数解析式； （2）直线的表达式． 题型六．反比例函数图象上点的坐标特征 11．（2023秋•闵行区期末）已知反比例函数的图象上有两点，，，，如果，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 12．（2022秋•黄浦区月考）如图，反比例函数的图象上的一点在第一象限内，点在轴的正半轴上，且，过点作轴，与线段的延长线相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）用含的代数式表示点的坐标； （2）求证：． 题型七．待定系数法求反比例函数解析式 13．（2022秋•奉贤区校级期中）已知是反比例函数图象上的点，若轴，且的面积是3，那么反比例函数的解析式是 　　． 14．（2023秋•虹口区校级期末）已知与成反比例，与成正比例．又当时，；当时，．试说明是的函数吗？当时，的值是多少？ 题型八．反比例函数与一次函数的交点问题 15．（2023秋•虹口区校级期末）函数与图象没有交点，则的取值范围是 　　． 16．（2023秋•虹口区校级期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． （1）求的值； （2）若与的面积比为，求点的坐标； （3）将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 题型九．反比例函数的应用 17．（徐汇区校级月考）甲、乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地，那么他的速度（千米小时）与时间（小时）之间的函数关系用图象表示大致为　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•宝山区期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为小时，平均速度为千米小时（骑行速度不超过40千米小时）．根据以往的骑行经验，、的一些对应值如下表： （千米小时） 15 20 25 30 （小时） 2 1.5 1.2 1 （1）根据表中的数据，求出平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； （2）如果这位骑行爱好者上午从家出发，能否在上午之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； （3）若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间满足，求平均速度的取值范围． 题型一十．反比例函数综合题 19．（2021秋•宝山区校级期中）如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点和点，若为轴上任意一点，连接，，则的面积为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 20．（2023秋•普陀区校级期中）如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　　． 试题练习 一、单选题 1．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）下列函数中，反比例函数是（    ） A． B． C． D． 2．（2022八年级上·上海·专题练习）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（    ） A．周长为1的矩形的长与宽成正比例 B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例 C．面积为1的矩形的长与宽成反比例 D．等边三角形的面积与它的边长成正比例 4．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像经过点 B．图像位于第二、四象限 C．图像关于直线对称 D．函数值y图像随x增大而减小 6．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知反比例函数的图像上有两点，如果，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如果点是反比例函数图象上一点，那么 ． 8．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如果反比例函数（是常数，）的图像位于第二、四象限，那么 ．（只需写一个数值） 9．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是 ． 10．（22-23八年级上·上海闵行·阶段练习）已知函数的图像经过点，那么k的值是 ． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期末）如果点、在反比例函数的图像上，那么 ． 12．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图象上，且，那么m的取值范围是 ． 13．（21-22八年级上·上海宝山·期中）已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是 ．（用“＜”连接） 14．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么当，这个函数中的函数值随自变量值的增大而 ．（填写“增大”或“减小”） 15．（21-22八年级上·上海杨浦·期中）已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1•k2≠0，则y关于x成 比例．（填“正”或“反”） 16．（20-21八年级上·上海青浦·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为．如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为 ． 17．（19-20八年级上·上海浦东新·期末）已知函数与的图像的一个交点坐标是（1，2），则它们的图像的另一个交点的坐标是 ． 18．（19-20八年级上·上海浦东新·期末）连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.如图1，中，分别是的中点，则，且.试用三角形中位线的性质解决下列问题：如图2，函数的图像经过的顶点和边的中点，分别过作轴，轴，垂足分别为是的中位线.如果点的横坐标为，则点的坐标为 . 三、解答题 19．（20-21八年级上·上海·期末）已知与成反比例，且当时，；求：当时，的值． 20．（22-23八年级上·上海松江·阶段练习）已知反比例函数的图像在第一象限内经过点A、B，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，过点B作垂直于x轴，垂足为点H，若，，求这个反比例函数的解析式和的面积． 21．（2022八年级上·上海·专题练习）如图，点A、B在 反比例函数的图像上，且A、B 横坐标分别是a、2a．轴，垂足为C，三角形的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点也在反比例函数的图像上，试比较的大小． 22．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 23．（22-23八年级·上海·假期作业）已知反比例函数，求的值，并求当时的函数值． 24．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 25．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 26．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 27．（23-24八年级上·上海崇明·期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作， 交反比例函数的图象于点交正比例函数的图象于点，    (1)求a、k的值 (2)连接，求的面积 (3)P为射线上一点，若的面积为9，求点P的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 反比例函数（8个知识点+10种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 【例1】（2023秋•金山区期末）下列四个函数中，是反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义解答． 【解答】解：、是正比例函数，故本选项错误； 、符合反比例函数的定义，故本选项正确； 、是一次函数，故本选项错误； 、是二次函数，故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 【变式】（2020秋•静安区期末）已知，与成反比例，与成正比例，且当时，，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【分析】（1）设，，把，和，分别代入求解即可得到答案； （2）把代入解析式计算可得答案． 【解答】解：（1）设，， ， 把，和，分别代入得， 解得， 关于的函数解析式为； （2）当时，． 【点评】此题考查的是反比例函数的定义、正比例函数的定义，掌握其概念是解决此题关键． 知识点2．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【例2】（2023秋•浦东新区校级期末）下列函数中，函数值随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【分析】由一次函数和反比例函数的增减性判断． 【解答】解：、， 函数的函数值随的增大而减小，故选项错误，不符合题意； 、， 函数的函数值随的增大而增大，故选项正确，符合题意； 、， 函数在第一象限和第三象限内的函数值随的增大而减小，故选项错误，不符合题意； 、， 函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的增减性，解题的关键是熟知一次函数和反比例函数的增减性和系数之间的关系． 【变式】（2022秋•长宁区校级期中）反比例函数（其中的图象在第　二　象限． 【分析】根据反比例函数的性质和的取值范围为，即可得到该函数的图象在哪个象限． 【解答】解：反比例函数（其中， 该函数的图象在第二象限， 故答案为：二． 【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 知识点3．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 【例3】（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知双曲线经过矩形的边的中点，交于点，且四边形的面积为2．则　　 A．2 B． C．1 D．4 【分析】设点坐标为，由矩形的边的中点为，则点的坐标为，根据反比例函数系数的几何意义得到，则，利用矩形得到，所以，再解一次方程即可． 【解答】解：设点坐标为， 矩形的边的中点为， 点的坐标为， ， ， 矩形， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 【变式】（2022秋•黄浦区月考）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是　8　． 【分析】设，，代入双曲线得到，，根据三角形的面积公式求出，即可得出答案． 【解答】解：设，， 代入得：，， ， ， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出是解此题的关键． 知识点4．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【例4】（2023秋•浦东新区校级期末）已知三点，，，，都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 【解答】解：点在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数解析式为， 点，，，都在反比例函数的图象上，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【变式】（2023秋•崇明区期末）已知三点、和在反比例函数的图象上，若，则、和的大小关系是 　　．（用“”连接） 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【解答】解：， 反比例函数的图象位于一、三象限， ， 点在第三象限，点和点在第一象限， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 知识点5．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 【例5】（2022秋•徐汇区期末）反比例函数在第二象限内的图象上有一点，过作轴于点，联结，已知的面积为4．则反比例函数的解析式为 　　． 【分析】根据反比例函数系数的几何意义及图象所在的象限求出，即可求出反比例函数解析式． 【解答】解：根据题意可知：， 反比例函数的图象位于第二象限，， ， 反比例函数解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键． 【变式】（2023秋•静安区校级期中）如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数图象上，点是函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为． （1）点的坐标是 　　，　　； （2）当，求点的坐标； （3）求出关于的函数关系式． 【分析】（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求得的坐标； （2）分两种情形，用坐标表示出不重合的四边形的边长，进而表示出面积，求解即可； （3）分两种情形求解即可：①当点在点的左侧时；②当点在点或的右侧时． 【解答】解：（1）正方形的面积为9， ， ． 又点在函数的图象上， ． 故答案为：，9． （2）分两种情况：①当点在点的左侧时， 在函数上， ． 则， ， ． ，； ②当点在点或的右侧时， 在函数上， ． ， ， ． ． （3）当时，． 当，时，的纵坐标是， 由题意 【点评】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键． 知识点6．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 【例6】（2023秋•虹口区校级期末）正比例函数和反比例函数的图象都经过，则正比例函数的解析式为 　　． 【分析】由反比例函数解析式得出点的坐标，由点的坐标利用待定系数法即可得出正比例函数的解析式． 【解答】解：点在反比例函数的图象上， ，解得：． 即点的坐标为． 又点在一次函数的图象上， ，解得：． 正比例函数的解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点的坐标． 【变式】（2021•杨浦区二模）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点． （1）求、的值； （2）联结，如果，求的面积． 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式可求出的值，确定点的坐标，进而求出正比例函数的关系式； （2）根据，求出点的横坐标，求出，代入求出，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）把点代入反比例函数得，， 解得， 点，代入得，； （2）当时，代入得，， ， 当代入得，，即， ， ． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键． 知识点7．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 【例7】（2022秋•松江区校级期中）甲乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地，则他的平均速度（千米小时）与时间（时之间的关系用图象大致可表示为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用速度，进而得出函数关系式，即可得出其函数图形． 【解答】解：甲、乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地， 他的速度（千米小时）与时间（小时）之间的函数关系为：， 则此函数关系用图象表示大致为： ． 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 【变式】（2023秋•静安区校级期末）某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚载培．某一天恒温系统从开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度随时间（时变化的函数图象如图，其中段和段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． （1）分别求出段和段所对应的与的函数关系式； （2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）将分别代入两个函数解析式求出时间，再根据图像计算出一天中该种蘑菇适宜生长的时间即可． 【解答】解：（1）设段所在的解析式为， 在函数图象上， ，， 段所在的解析式为， 设段所在的曲线解析式为， 在函数图象上， ， 段所在的曲线解析式为， （2）当时，，， ，， 该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 知识点8．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 【例8】（2023秋•嘉定区期末）如图，等边三角形的一边在轴上，双曲线在第一象限内的图象经过边的中点，则点的坐标是　　 A． B．， C． D．， 【分析】过点作轴，垂足为，设点的坐标为，，再求出和的关系和点的坐标，由点在双曲线上，求出的值，进而求出点坐标． 【解答】解：过点作轴，垂足为，设点的坐标为，， 三角形是等边三角形， ， 在中，， ， 点是的中点， 点坐标为，， 点在双曲线上， ， （负值舍去）， 点的坐标是，， 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是求出点的坐标，此题难度不大． 【变式】（2023秋•长宁区校级期末）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标是4．双曲线上有一动点，．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）联结、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 【分析】（1）设点的坐标为，根据列方程组即可得到结论； （2）由（1）知，，得到，设点，求得，根据在直线上，得到，求得（舍去负值），于是得到结论； （3）设与的重合部分的面积值为，设点的坐标为，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）设点的坐标为， 由题意得， 解得，， 的值为8； （2）由（1）知，， ， 设点， ， ， ， 在直线上， ， 解得（舍去负值）， ， ，； （3）如图，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或（舍去）， ， 点在函数的图象上， ， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．反比例函数的定义 1．（2021秋•黄浦区校级期末）下列函数中，反比例函数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可求解． 【解答】解：、不是反比例函数，不符合题意； 、是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； 、是反比例函数，符合题意； 、，当时，不是反比例函数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般式：是解题的关键． 2．（2022秋•虹口区校级期中）已知和成正比例，和成反比例，则和成　反　比例． 【分析】根据正比例函数和反比例函数的定义分析． 【解答】解：由题意可列解析式， 是的反比例函数． 故答案为：反． 【点评】本题考查正比例函数和反比例函数的定义．关键是先求出函数的解析式，然后代值验证答案． 题型二．反比例函数的图象 3．（2023秋•静安区校级期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据的符号可以确定函数与在同一坐标系中的图象所经过的象限． 【解答】解：， 函数经过第二、四象限，且过原点，故、错误； ， 函数经过第二、四象限，故错误； 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的图象性质和反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 4．在同一坐标平面内，分别画出与的图象． 【分析】列表，描点，连线即可． 【解答】解：列表： 3 4 2 1.5 3 4 描点，连线： 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，关键是正确作出两个函数的图象． 题型三．反比例函数图象的对称性 5．（浦东新区期末）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 另一个交点的坐标与点关于原点对称， 该点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数． 6．（长宁区期末）已知函数与的图象的一个交点坐标是，则它们的图象的另一个交点的坐标是　　． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点关于原点对称的点是， 所求的点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数． 题型四．反比例函数的性质 7．（2023秋•普陀区期末）下列函数中，的值随的值增大而减小的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数及正比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、一次函数中，，的值随的值增大而增大，不符合题意； 、反比例函数中，，函数图象的两个分支分别位于第一三象限，在每一象限内，的值随的值增大而减小，不符合题意； 、一次函数中，，的值随的值增大而减小，符合题意； 、反比例函数中，，函数图象的两个分支分别位于第二四象限，在每一象限内，的值随的值增大而增大，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数及正比例函数的性质，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键． 8．（2023秋•长宁区校级期末）如果函数，那么　　． 【分析】把代入进行计算即可． 【解答】解：函数， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 题型五．反比例函数系数k的几何意义 9．（2022秋•宝山区校级期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为 　2　． 【分析】根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断． 【解答】解：延长交轴于， 轴， 垂直于轴， 点在双曲线上， 四边形的面积为1， 点在双曲线上，且轴， 四边形的面积为3， 矩形的面积为． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 10．（黄浦区期末）如图，已知点是反比例函数图象上一点，是坐标原点，的面积为，且．求： （1）反比例函数解析式； （2）直线的表达式． 【分析】（1）根据直角三角形的面积利用比例系数的几何意义求得值即可； （2）设，将点的坐标代入正比例函数的解析式求得值即可． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为， 的面积为， ， ； 反比例函数解析式是：； （2）设直线的解析式为，设， 代入得， ． 【点评】本题考查了反比例函数的几何意义及待定系数法求正比例函数的解析式的知识，解题的关键是能够了解比例系数的几何意义，难度不大． 题型六．反比例函数图象上点的坐标特征 11．（2023秋•闵行区期末）已知反比例函数的图象上有两点，，，，如果，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【分析】根据反比例函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可解答本题． 【解答】解：， 反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 12．（2022秋•黄浦区月考）如图，反比例函数的图象上的一点在第一象限内，点在轴的正半轴上，且，过点作轴，与线段的延长线相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）用含的代数式表示点的坐标； （2）求证：． 【分析】（1）先用表示点的坐标，进而利用等腰三角形的性质得出点的坐标，即可得出结论； （2）先确定出直线的解析式，即可得出点的坐标，求出，即可得出结论； 【解答】（1）解：如图， 过点作轴于， ， ， ， ， 轴于， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ； （2）证明：设直线的解析式为， 点， ， ， 直线的解析式为， 点在直线上，且横坐标为， ， ， ， ； 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平面坐标系中几何图形的面积的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型七．待定系数法求反比例函数解析式 13．（2022秋•奉贤区校级期中）已知是反比例函数图象上的点，若轴，且的面积是3，那么反比例函数的解析式是 　或　． 【分析】根据反比例函数系数的几何意义可知，的面积，再根据图象所在象限求出的值既可． 【解答】解：依据比例系数的几何意义可得，的面积， 即， 解得，， 函数解析式为或， 故答案为：或． 【点评】考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 14．（2023秋•虹口区校级期末）已知与成反比例，与成正比例．又当时，；当时，．试说明是的函数吗？当时，的值是多少？ 【分析】根据题意设，将，代入，利用待定系数法求出的值；设，将时，代入计算求出的值，即可确定出与的函数解析式；将代入，可求出与的函数解析式，再将代入，即可求出的值． 【解答】解：设， 当时，， ， ， ； 设， 当时，， ， ， ， ，即， 将代入，得． 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 题型八．反比例函数与一次函数的交点问题 15．（2023秋•虹口区校级期末）函数与图象没有交点，则的取值范围是 　　． 【分析】根据反比例函数与一次函数图象的特征，得到小于0，即可确定出的范围． 【解答】解：函数图象过一、三象限，而函数与图象没有交点， 函数在二、四象限， ，即， 故答案为：． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两函数的性质是解本题的关键． 16．（2023秋•虹口区校级期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． （1）求的值； （2）若与的面积比为，求点的坐标； （3）将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【分析】（1）将代入可求出的值； （2）过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，由与的面积比为，可推出，由点的坐标可知，进一步求出，即为点的纵坐标，根据题意设直线的解析式为，把的坐标代入即可求得，代入中，可求出点坐标； （3）过点作轴，垂足为，设，，由题意可知，，将其坐标代入得到关于的方程内接方程即可求得． 【解答】解：（1）将代入得，， ， （2）如图1，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ， 又点的坐标为， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线的解析式为， 把代入中， 解得，， ； （3）直线的解析式为， 设，， 由题意可知，， 点恰好落在函数的图象上， ， ， 解得或， 或． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质． 题型九．反比例函数的应用 17．（徐汇区校级月考）甲、乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地，那么他的速度（千米小时）与时间（小时）之间的函数关系用图象表示大致为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用速度，进而得出函数关系式，即可得出其函数图形． 【解答】解：甲、乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地， 他的速度（千米小时）与时间（小时）之间的函数关系为：， 则此函数关系用图象表示大致为： ． 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 18．（2023秋•宝山区期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为小时，平均速度为千米小时（骑行速度不超过40千米小时）．根据以往的骑行经验，、的一些对应值如下表： （千米小时） 15 20 25 30 （小时） 2 1.5 1.2 1 （1）根据表中的数据，求出平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； （2）如果这位骑行爱好者上午从家出发，能否在上午之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； （3）若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间满足，求平均速度的取值范围． 【分析】（1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出，从而得出结论； （3）根据和的取值范围得出结论． 【解答】解：（1）根据表中数据可知，， ， 平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午到上午，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米小时）， 骑行速度不超过40千米小时， 骑行者在上午之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度的取值范围为． 【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． 题型一十．反比例函数综合题 19．（2021秋•宝山区校级期中）如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点和点，若为轴上任意一点，连接，，则的面积为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先设，由直线轴，则，两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数的图象上，可得到点坐标为，，点坐标为，，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：设， 直线轴， ，两点的纵坐标都为， 而点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为，， 又点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式．也考查了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式． 20．（2023秋•普陀区校级期中）如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　　． 【分析】连接，作轴于，轴于，设点坐标为，利用反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，则，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后利用等角的余角相等可得到，则根据“”可判断，所以，，于是点坐标为，，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定点所在的函数图象解析式． 【解答】解：连接，作轴于，轴于，如图， 设点坐标为， 点、点是正比例函数图象与双曲线的交点， 点与点关于原点对称， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中 ， ，， 点坐标为，， ， 点在反比例函数图象上． 故答案为． 【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质；熟练运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题． 试题练习 一、单选题 1．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）下列函数中，反比例函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，不符合题意； B、是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、当时，不是反比例函数，不符合题意； 故选C． 2．（2022八年级上·上海·专题练习）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（    ） A．周长为1的矩形的长与宽成正比例 B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例 C．面积为1的矩形的长与宽成反比例 D．等边三角形的面积与它的边长成正比例 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义，属于基础题，关键是掌握反比例函数解析式的一般形式． 根据正比例函数的定义及形式反比例函数的定义及形式可判断各个命题的真假． 【详解】解：A、设长方形的长为x、宽为y， ∴，即， ∴长方形的长和宽不成任何比例关系，故本选项错误； B、设等腰三角形的腰为a，底边长为b， ∴等腰三角形底边上的高为， ∵等腰三角形的面积为1， ∴，即， ∴面积一定的等腰三角形的腰长和底边长不成任何比例关系，故本选项错误； C、∵长方形的面积长宽，该长方形的面积是定值1， ∴长与宽的乘积为定值， ∴面积为1的长方形的长与宽成反比例，故本选项正确； D、设等边三角形的边长为t，面积为S， ∴等边三角形的高为， ∴， ∴等边三角形的面积与边长不成比例关系，故本选项错误． 故选C． 4．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，根据得到反比例函数的图象、正比例函数的图象所在的象限即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，函数的图象位于第二、四象限， 故选项C中图像符合题意， 故选：C． 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像经过点 B．图像位于第二、四象限 C．图像关于直线对称 D．函数值y图像随x增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、时，，故图象经过点，正确； B、，图象位于二、四象限，故正确； C、反比例函数的图象关于直线对称，故正确； D、∵，∴图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而证得，故错误； 故选：D． 6．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知反比例函数的图像上有两点，如果，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵中，， ∴在每一个象限，随的增大而减小， 当时，； 当时，， 当时，， ∴与的大小关系不能确定， 故选：． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如果点是反比例函数图象上一点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式．把代入函数即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如果反比例函数（是常数，）的图像位于第二、四象限，那么 ．（只需写一个数值） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据“反比例函数，当时，函数过一、三象限，当时，函数过二、四象限”，即可解答． 【详解】解：反比例函数（是常数，）的图像位于第二、四象限， ， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是 ． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 函数的图像经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 10．（22-23八年级上·上海闵行·阶段练习）已知函数的图像经过点，那么k的值是 ． 【答案】4 【分析】根据反比例函数的定义，，将点代入即可求得k的值． 【详解】解：依题意： 把代入得： 解得： 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，熟练掌握图像上的坐标与解析式的关系是解答的关键． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期末）如果点、在反比例函数的图像上，那么 ． 【答案】< 【分析】本题考查了反比例函数的增减性来比较函数值，依题意，得出在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，即可作答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：<． 12．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图象上，且，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据题意可得在每个象限内y随x增大而增大，据此可得，则． 【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且， ∴在每个象限内y随x增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（21-22八年级上·上海宝山·期中）已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】先画出反比例函数y＝（k＞0）的图象，在函数图象上描出点（a，m）、（b，n）和（c，t），再利用函数图象可得答案. 【详解】解：如图，反比例函数y＝（k＞0）的图像在第一，三象限， 而点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，a＜0＜b＜c， 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握“利用数形结合比较反比例函数值的大小”是解本题的关键. 14．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么当，这个函数中的函数值随自变量值的增大而 ．（填写“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】此题考查了反比例函数的性质，根据题意，利用待定系数法解出系数的符号，再根据值的正负确定函数值的增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 【详解】设反比例函数的图象解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 15．（21-22八年级上·上海杨浦·期中）已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1•k2≠0，则y关于x成 比例．（填“正”或“反”） 【答案】反 【分析】求出y与x的关系式即可求解． 【详解】解：y与2z成反比例，则 z与x成正比例，则 将代入得 ∵ ∴ y关于x成反比例 故答案为：反 【点睛】此题考查了正比例函数和反比例函数的定义，解题的关键是理解正比例函数和反比例函数的定义，求得y与x的关系式． 16．（20-21八年级上·上海青浦·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为．如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为 ． 【答案】300 【分析】将焦距代入函数关系式求解即可． 【详解】解：将焦距代入中，得， 故答案为：300． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单． 17．（19-20八年级上·上海浦东新·期末）已知函数与的图像的一个交点坐标是（1，2），则它们的图像的另一个交点的坐标是 ． 【答案】（-1，-2） 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】∵函数与的图像都是中心对称图形， ∴函数与的图像的一个交点坐标是（1，2）关于原点对称的点是（-1，-2）， ∴它们的图像的另一个交点的坐标是（-1，-2）． 故答案是：（-1，-2）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数． 18．（19-20八年级上·上海浦东新·期末）连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.如图1，中，分别是的中点，则，且.试用三角形中位线的性质解决下列问题：如图2，函数的图像经过的顶点和边的中点，分别过作轴，轴，垂足分别为是的中位线.如果点的横坐标为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出点B的坐标，根据三角形的中位线得到CE=2即点C的纵坐标为2，再代入中求出点E的横坐标. 【详解】∵点的横坐标为，且点B在上， ∴将x=3代入，得y=4， ∴B(3，4), ∴BD=4， ∵CE是的中位线, ∴=2， ∴点C的纵坐标为2， 将y=2代入中，得x=6， ∴C(6，2). 故答案为：. 【点睛】此题考查反比例函数的性质，点在反比例图象上时，点的坐标符合函数关系式，代入解析式即可确定点的横坐标或是纵坐标，解题中三角形的中位线的利用是解题的关键. 三、解答题 19．（20-21八年级上·上海·期末）已知与成反比例，且当时，；求：当时，的值． 【答案】 【分析】设，由时，求解k，从而代入求解即可． 【详解】根据题意得，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，理解成反比例时表达式的设立是解题关键． 20．（22-23八年级上·上海松江·阶段练习）已知反比例函数的图像在第一象限内经过点A、B，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，过点B作垂直于x轴，垂足为点H，若，，求这个反比例函数的解析式和的面积． 【答案】反比例函数为：，． 【分析】先根据题意画好简易图像，确定A的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数解析式，再利用k的几何意义求解的面积即可． 【详解】解：如图， ∵过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，，， ∴，设反比例函数为， ∴， ∴反比例函数为：， ∵过点B作垂直于x轴， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 21．（2022八年级上·上海·专题练习）如图，点A、B在 反比例函数的图像上，且A、B 横坐标分别是a、2a．轴，垂足为C，三角形的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点也在反比例函数的图像上，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的面积为2，可得，从而可得答案； （2）由时，反比例函数图像在每个象限内，y随x的减小而增大，结合，可得答案． 【详解】（1）解：根据反比例函数的几何意义，可得 ，由，即得：， 则反比例函数解析式为； （2）当时，反比例函数图像在每个象限内， y随x的减小而增大，由，即得：， 由此即得：． 【点睛】考查反比例函数的几何意义，反比例函数的增减性，掌握“的几何意义”是解本题的关键． 22．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 23．（22-23八年级·上海·假期作业）已知反比例函数，求的值，并求当时的函数值． 【答案】， 【分析】根据反比例函数的定义求得的值，进而求出当时的函数值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴． ∴函数解析式为：， 当时，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的定义是解题的关键． 24．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）将代入得，可得，再将点A代入反比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）根据点A的坐标，可知，过点C作于G，由题意得，分点C在上或的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案； （3）由，分三种情形，分别得出答案． 【详解】（1）解：， ∴点A的纵坐标为3， ∵正比例函数的图象经过点A， 把代入得， ∴， 设反比例函数的解析式为， 将点代入得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：∵轴于点B，设点C的坐标为， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 过点C作于G， 由题意得， 当点C在上时， 则平分， ， ， ， 当点C在延长线上时， 同理可得， 综上所述：点C的坐标为或； （3）解：当时，则点的坐标为或， 当时，由得，， ， 当时， ， 则平分， ， 综上所述：则点的坐标为或或或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 25．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过A作，根据三角形为等腰直角三角形，得到，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）过A作轴，过B作，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得出三角形与三角形全等，由确定三角形的对应边相等得到进而表示出及的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交x轴于点C， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将代入反比例解析式， 并解得：， 则反比例解析式为； （2）解：过A作轴，过B作， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴ 则； ∵由A与B都在反比例图象上，得到， 整理得： 即 这里 ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴ 则． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 26．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1) (2)不能，理由详见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据和t的取值范围得出结论． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度不超过40千米/小时， 骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度v的取值范围为． 27．（23-24八年级上·上海崇明·期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作， 交反比例函数的图象于点交正比例函数的图象于点，    (1)求a、k的值 (2)连接，求的面积 (3)P为射线上一点，若的面积为9，求点P的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是利用函数的解析式求出点坐标． （1）先根据反比例函数的图象求出a，在根据点B的坐标求出k的值即可； （2）过点B作，垂足为E，先根据正比例函数的图象求出点C的坐标 ，再根据点C和点A的横坐标相等和点A在反比例函数的图象上求出点A的坐标，即可求出和的长度，即可求出三角形的面积； （3）过点P作，垂足为F，根据三角形的面积求出的值，根据两种情况展开讨论，结合正比例函数的图象就可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：过点B作，垂足为E，    设点，， ∵正比例函数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，, ∴； （3）解；如下图所示，过点P作，垂足为F，设, ∵，    ∴， ∴， 当P在C点上方时， ∴的横坐标为， ∴， ∴， 当P在C点下方时， ∴的横坐标为， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$